非正弦周期信号
第十三章 非正弦周期信号
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS ( t ) 20cos(100t 10 )V 单独作用时产生
的电压 u' ( t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U' j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
u( t ) u' ( t ) u" ( t ) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
u(t ) u' (t ) u" (t ) 的 u ( t ) 和 u ( t ) 的波形如图(a)所示。
'
"
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 ) Anm cos(n1t n )
高次谐波
f ( t ) A0 Akm cos(k 1t k )
k 1
周期性方波信号的分解 解: 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
本章 要点 一、基本概念 非正弦周期信号的分解：直流分量，基波，高次谐波； 非正弦周期电量：平均值，有效值，平均功率 二、电路分析 电路的分解
直流分量作用的电路：电感短路，电容开路
谐波分量作用的电路分析：相量法 时域叠加求电流、电压； 电流、电压有效值计算；电路有功功率的计算
五次谐波电压单独作用时：
10 6 Z 5 10 j (5 314 0.05 ) 51.278.7 5 314 22.5 U 5m 2018 I 5m 0.39 60.7A Z 5 51.278.7
非正弦周期信号及其分解
k =1 ∞
∑ = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
∫ bk
=
2 T
T
u(t) sin kωtdt
0
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
∫ ∫ =
2(
1
sin kπtdt +
2
− sin kπtdt)
20
1
当k为偶数时： bk = 0
= − cos kπt 1 + cos kπt 2 = 2(1− cos kπ )
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
当k为偶数时： bk = 0
u(t) = 4 (sin πt + 1 sin 3πt + 1 sin 5πt + ⋅⋅⋅ + 1 sin kπt + ⋅⋅⋅)
π
3
5
k
k为奇数
图示为周期电压u(t) 的一段波形，求u(t)的傅里叶级数。
u(V ) 1
基波+三次+ 五次谐波分量
∑ ∑ f (t) = A0 + Akm sin(kωt +θk ) = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
k =1
k =1
a0 = A0
ak = Akm sinθk bk = Akm cosθk
A0 Akm
= a0 =
ak2
+
bk2
θ
k
=
arctan
k =1
k =1
T
∫0 f (t) sin kωtdt
第十二章 非正弦周期电流电路
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
非正弦周期信号电路
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
非正弦周期信号
实验一、非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的1、用同时分析法观测50Hz 非正弦周期信号的频谱，并与其傅里叶级数各项的频率与系数作比较。
2、观测基波和其谐波的合成。
二、实验设备1、信号与系统实验箱（参考型号：TKSS —B 型）2、双踪示波器三、实验原理1、一个非正弦周期函数可以用一系列频率成整数倍的正弦函数来表示，其中与非正弦函数具有相同频率的成分称为基波或一次谐波，其它成分则根据其频率为基波频率的2、3、4、┅、n 等倍数分别称二次、三次、四次、┅、n 次谐波，其幅度将随谐波次数的增加而减小，直至无穷小。
2、不同频率的谐波可以合成一个非正弦周期波，反过来，一个非正弦周期波也可以分解为无限个不同频率的谐波成分。
3、一个非正弦周期函数可用傅里叶级数来表示，级数各项系数之间的关系可用一个频谱来表示，不同的非正弦周期函数具有不同的频谱图。
例如，方波的频谱图如图1-2所示。
图1-1 方波图1-2 方波频谱图方波信号的傅里叶表达式：)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)( +++++=t t t t t U t u m ωωωωωπ 周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性；奇函数只含正弦项，偶函数只含直流量和余弦项；奇谐函数只含奇次谐波分量，偶谐函数只含偶次谐波分量、直流量；四、实验重难点1、本实验以方波和三角波为重点进行实验数据的观测。
2、进行本实验前应熟悉信号与系统实验箱（参考型号：TKSS －B 型）、双踪示波器等有关仪器设备的操作。
五、实验步骤实验装置的结构如图1-3所示。
图1-3 信号分解合成实验装置结构框图1、打开电源总开关，检查50Hz方波信号输出；观察方波的周期和幅值。
2、将50Hz方波信号接到信号分解实验模块BPF输入端15脚（注意输入、输出地接在一起）；将1、2短接，观察直流分量的幅值；将3，4短接，观察基波分量的频率和幅值，并记录之。
将5，6短接，观察二次谐波分量的频率和幅值，并记录之。
13.1 非正弦周期信号
不是按正弦规律变化的信号
i
O
π
2π
ωt
图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
非正弦信号
模拟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子中常用的放大电路
+EC uC
UC0
uC
uC波形可以分解
UC0
uC
’
uC’’ +
二、常见的非正弦信号
1、实验室常用的信号发生器 可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；
i i
O
t
O
t
方波电流
锯齿波
2、整流分半波整流和全波整流 激励是正弦电压， 电路元件是非线性元件二极管 整流电压是非正弦量。
三、非正弦信号的分类
1、非正弦周期信号 f(t)=f(t+kT) k=0 , ±1 , ±2,… 2、非正弦非周期信号 不是按正弦规律变化的非周期信号
四、谐波分析法
1. 应用傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励 电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正 弦量之和； 2. 根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作 用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电 压分量； 3. 把所得分量按时域形式叠加。
u u
O
T/2
T
t
O
T/2
T
t
半波整流
全波整流
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
3、无线电工程和其他电子工程中 由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都 不是正弦信号； 4、非电量测量技术中 由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变 化的规律，也是非正弦的； 5、自动控制和电子计算机中 使用的脉冲信号都不是正弦信号。
3无线电工程和其他电子工程中1非正弦周期信号ftftkt2非正弦非周期信号不是按正弦规律变化的非周期信号三非正弦信号的分类四谐波分析法应用傅里叶级数展开方法将非正弦周期激励电压电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和
第六章-非正弦周期信号电路
2U m k
(1
cos
k
)
K为奇数时
cos k
1, Bk
4U m
k
K为偶数时
cos k 1, Bk 0
所以：u(t) 4Um (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sinkt )
3
5
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来
A0 1
T
f(t)dt 0
T0
AK 2
T
f ( t ) c o s k ωdtt
T0
BK 2
T
f ( t ) s i n k ωdtt
T0
不含直流分量和 偶次谐波， 只含
奇次谐波
f（ t） (Akcoskω t BKsinkω t） k 1
（K为奇数）
例6-4 已知周期函数f(t)如下图所示，试判断其中所含的谐 波成份，并求其傅里叶级数
I
2 0
1
T
T 0
I
2 mk
sin2
kt k
dt Imk 2
2
I
2 k
1
T
T 0
2I0
I mk
sinkt
k
dt
0
1
非正弦周期信号的电路
R=200
u1
u1
C
50f
u2
240V
t
解： （1）计算直流分量作用的结果（C开路）
U20=240V
（2）计算100HZ，100V交流分量作用的结果；
10
u11 100 2 sin2 100tV
XC
1
2fC
1
2 100 50106
32
Z1
R
1
jC
200
j32 202.5 9o
•
U 21
•
U11•
jXC
Z1
1000o ( j32) 202.5 9o
16 81o
11
u21 16 2 sin(2 100t 81o )
（3）将两结果叠加（瞬时值叠加）
u2 U20 u21
24016 2 sin(2 100t 81o )V
12
非正弦周期信号的电路
非正弦周期信号 不是正弦波 按周期规律变化
T
t
t
T
T
t
矩形波
全波整流波形
锯齿波
2
1.1 非正弦周期量的分解
设频率为 的非正弦周期电压u( t ) (满足狄里赫利
条件) ，可分解为傅立叶级数（可查手册）。
u(t ) U0 U1m sin(t 1 )
直流分量
U2m sin( 2t 2 )
基波（和原 函数同频）
二次谐波
U3m sin( 3t 3 ) （2倍频）
高次谐波
u(t ) U0 Ukm sin(kt k )
K 1
i(t ) I0 Ikm sin( kt k )
K 1
3
例12 周期性方波的分解
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
1 ．有效值：
（1 ）周期量有效值的定义：
留意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。
（2 ）非正弦周期量：
函数
则有效值为：
利用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有效值为：
结论：周期函数的有效值为直流重量及各次谐波重量有效值平方和的方根。
2 ．平均值：
非正弦周期性函数的平均值为直流重量：
明显正弦周期性函数的平均值为0
3 ．功率：
如图所示，所示一端口N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端口电路汲取的瞬时功率和平均功率为
一端口电路的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
在图示关联参考方向下，一端口电路汲取的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流重量和各次谐波重量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
即：平均功率＝直流重量的功率＋各次谐波的平均功率。
10.1 非正弦周期信号
第十单元非正弦周期电流电路
10.1非正弦周期信号
10.2傅立叶级数
10.3有效值和平均值
10.4平均功率
10.5非正弦周期电流电路的计算
第 1 页
10.1非正弦周期信号
在实际工程中除了正弦交流信号，在电气工程、电子技术、自动
控制等领域，还会出现周期性的非正弦波形的信号。
例如：半波整流电路的输出信号
第 2 页
脉冲信号
t
T
第 3 页
第
4 页
脉冲宽度调制（PWM)技术
通过调整脉冲宽度改变输出电压或输出频率等等，从而得到各种输出波形。
带很多“毛刺”的电流波形
第 5 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
在电力系统中当含有非线性负载时，导致电压与电流不是线性关系，若施加正弦交流电压产生的是非正弦周期电流。
第 6 页
第7 页。
13非正弦周期信号
1、发电机(generator)发出的电压波形，不可能是完全正弦的。 u(t)
t
2、大量脉冲信号均为周期性非正弦信号 f(t) f(t)
f(t)
…
0 尖脉冲
t
0
t
锯齿波
t
0
方波
2、 当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。
二极管整流电路 u2uS + _
uS
D
+
R
_
u2
t 0
T
0
f (t ) dt
2、周期函数傅里叶级数展开式为
a0 f (t ) (a1 cos t b1 sin t ) (a2 cos 2 t b2 sin 2 t ) 2 a0 [ak cos k t bk sin k t ] 2 k 1
1 T 2. I 0 dt I 02 T 0
（2）
2 Imk cos2 (kt k ) (k 1, 2,3,)各次谐波分量平方
2 I mk 1 T 2 I mk cos 2 (k t k )dt I k2 T 0 2
（3）
2I0 Imk cos(kt k ) (k 1, 2,3,) 直流分量与各
T T E ( 2 0) ( E )(T 2 ) 0
ak
1
2
0
f ( t ) cos kt d(t )
2 1 E cos kt d(t ) ( E ) cos kt d(t ) 0
1 E E 2 si nkt 0 si nkt k k E si nk si n0 (si n2k si nk ) k 0
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告
信系统非正弦周期信的分解与合成实验报告实验报告：信号系统的非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的：1.理解周期信号的概念和特点；2.学习如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分；3.学习如何合成一个非正弦周期信号。
二、实验原理：1.傅里叶级数展开：任何周期信号都可以由一系列谐波分量叠加而成；2.傅里叶级数中的谐波分量：频率是整数倍的基频信号，基频信号频率为信号周期的倒数。
三、实验仪器：1.计算机；2. 数字信号处理软件（如MATLAB、Python等）；3.数字音频信号采集卡（可选）；4.电脑音箱或音频耳机。
四、实验步骤：1.将采集卡连接至计算机（若使用）；2.打开信号处理软件，并导入需要处理的非正弦周期信号的音频文件；3.将音频信号从时域转换到频域，得到信号的频谱；4.分析频谱，找出频率成分较高的谐波分量；5.根据谐波分量的频率、振幅和初相位，计算每个谐波分量的波形；6.对所有谐波分量进行叠加，得到合成后的信号。
五、实验结果与讨论：1.实验结果：可以得到信号的频谱，并分析出频率较高的谐波分量；2.讨论：根据实验结果可以探讨信号的频谱结构、谐波的产生原理等，以及分析不同谐波分量对信号特性的影响；3.实验中还可以根据实际情况进行合理的参数选择，例如选择合适的采样率、截断频率等。
六、实验总结：通过本次实验，我们学会了如何分解一个非正弦周期信号的频谱成分，并根据谐波分量的频率、振幅和初相位计算每个谐波分量的波形。
同时，我们也学会了如何合成一个非正弦周期信号。
实验结果表明，通过傅里叶级数展开，我们可以准确地分解和合成周期信号，这对于理解信号的频谱结构、谐波的产生原理等有着重要的意义。
希望通过本次实验，同学们能对非正弦周期信号的分解与合成有更深刻的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
第十三章_非正弦周期信号(课件)讲解
D
R 输入正弦波 输出半波整流
2、信号本身为非正弦量
i
t
u
t
T/2
u
0 t
0
脉冲波
锯齿波
方波电压
3、正弦交流电压、电流的畸变或电路中出现不同频率的电源。
u
u1
t
u +
0
u2
t
u =
0
u3
t
0
4.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时
＋UCC
直流电源
＋
uS
－
交流电源
输出波为非正弦波
5.计算机内的脉冲信号
T
t
二、非正弦周期信号
定义 随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。
u ( t)
0
t
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号
波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍
的正弦波的合成波。
以一个周期的情况为例进行分析：
u ( t)
U1m u1
u1与方波同频率, 称为方波的基波 u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。 u3
并按照k是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波(基波)、 3次谐波……。
k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次谐波；k为偶
数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。而把2次以上的谐波均 称为高次谐波。
三、讨论范围及方法 1、范围：非正弦周期电源作用下的线性电路。
2、方法：谐波分析法（变换法） 谐波分析法—以线性电路的迭加定理为理论基础，把非正 弦周期电流电路的计算转化为不同频率的正弦交流电路的 计算。
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
9-1 非正弦周期信号
非正弦周期信号的有效值定义与正弦信号有效值的定义相同，即恒定值为有效值的直流
激励在电阻上一个周期内消耗的能量等于一个周期内非正弦周期激励在电阻上消耗的能量。
以电压激励为例，有效值定义的公式为
∫ U 2 T = T u2 (t) dt
R
0R
式中， U 为有效值， u(t) 为非正弦周期信号。
（4）
由式（4）可得
为了便于对比，图 2பைடு நூலகம்给出了正弦信号波形。
0
t
图 2 正弦信号波形
表面上看，非正弦周期信号波形与正弦信号波形差异很大，好像没有什么关系。不过根 据高等数学课程所学知识，非正弦周期信号可以分解为无穷多个不同频率的正弦信号，这称 为傅里叶级数分解。下面我们来回顾一下非正弦周期信号的傅里叶级数分解。
2. 非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号可以分解为
∞
∑ f (t) = a0 + [ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] k =1
（1）
式中， ω 为非正弦周期信号的角频率，各频率分量（含直流分量）幅值的计算公式为
∫ ∫ ∫ = a0
T1= 0T f (t)dt, ak
2 T
T
0 f (t) c= os(kωt)dt, bk
∫ U = 1 T u2 (t)dt T0 由式（5）可见，有效值还可称为方均根值。方指平方，均指平均，根指开根号。 将式（1）代入式（5），可得非正弦周期信号 f (t) 的有效值为
（5）
=F
∑∞
a02 +
k =1
ak 2
2
+
bk 2
2
（6）
可见，非正弦周期信号有效值计算过程很复杂。常见的非正弦周期信号的有效值没有必 要从头到尾推导，只需要记住最后的结果即可，这些结果在电路教材、高等数学教材、互联 网都很容易查到。
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直流电源
＋
uS
－
交流电源
ห้องสมุดไป่ตู้
输出波为非正弦波
.
4.计算机内的脉冲信号
t
T
.
12.1.2 非正弦周期信号 定义 随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。
u(t)
0
t
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非 正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小 不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。
.
.
12.1 非正弦周期信号 学习目标：掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与
各次谐波之间的关系。
12.1.1 非正弦周期信号的产生 1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
输入正弦波
D R
输出半波整流
.
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压
示波器
输入正弦波
输出周期性锯齿波
.
3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时
由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按1，
1/3，1/5，…规律递减、频率按基波频率的1、3、5
方…波奇电数压倍的递谐增波的展u1开、式u3、可u表5等示正为弦：波的合成波。因此
1
1
u (t) U 1 m C o st 3 U 1 m C o s 3t 5 U 1 m C o s 5t L
谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信 号的傅里叶级数表达式。
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u(t)
0
t
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点， 还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有sin项中的各奇次谐波。
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u(t)
0
t
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称 的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数 展开式中只含有cos项中的各偶次谐波，且包含零次 谐波成分。
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非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够
直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对
大小就会一目了然。
4A
U1m
图中每一条谱线代 表一个相应频率的谐波 分量，谱线的高度表示
U 1m 3
0 3
该谐波的振幅大小。显
U 1m 5
然，频谱图可以非常直 观地表示出非正弦周期 信号所包含的谐波以及
各次谐波所占的“比重”
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u ( t) 4 A ( C o st 1 C o s 3 t 1 C o s 5 t 1 C o s 7 t L ) 357
傅里叶级数表达式中的A是方波的最大值。 参看课本上P132页中的表9.1，表中所示的一些典 型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们 也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是，不 同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分 各不相同。 寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把 它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为谐波分 析。 12.2.2 非正弦周期信号的频谱 非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座 标系中，所构成的图形称为振幅频谱图。
以一个周期的情况为例进行分析：
u(t)
u1与方波同频率,
称为方波的基波
U1m
u1
u3的频率是方波的3倍,
称为方波的三次谐波。
1/3U1m
0
u3
t
u1和u3的合成波, 显然较接近方波
.
u(t)
u5的频率是方波 的5倍,称为方波 的五次谐波。
1/5U1m
0
u5
t
u135
u13和u5的合成波, 显然更接近方波
显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！ 谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非
正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所 含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词： 奇函数：其特点是波形对原点对称。奇函数的傅里叶
级数中只含有sin项，不存在直流和偶次谐 波。
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偶函数：特点是波形对纵轴对称。偶函数的傅里叶级 数表达式中只含有cos项，一般还包含直流 成分。
第十二章 非正弦周期电流电路
12.1非正 弦
周期信号
12.4 非正弦周期 信号作用下的 线性电路分析
12.2 谐波 分析和 频谱
12.3 非正弦 周期信号的 有效值、平均值 和平均功率
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本章学习目的与要求
了解非正弦周期量与正弦周期量 之间存在的特定关系；理解和掌握非 正弦周期信号的谐波分析法；明确非 正弦周期量的有效值与各次谐波有效 值的关系及其平均功率计算式；掌握 简单线性非正弦周期电流电路的分析 与计算方法。
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由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、 9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与 周期性方波电压的波形相重合。
即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波， 叠加以后可构成一个非正弦周期波。
分析中的u1、u3、u5等等，这些振幅不同、频率 分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正 弦周期波的谐波，并按照k是非正弦周期波频率的倍 数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波……。
5
如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚 线就称为振幅频谱的包络线。
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12.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系
观察表9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只 含有sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流 成分，且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波，全波整流 则包含cos项的各偶次谐波……。
掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给 谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快 找出相应的谐波。
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12.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系 观察表9.1中的波形1方波和波形2等腰三角波，不 难发现它们都是奇函数且具有奇次对称性，因此它们 的傅里叶级数表达式中都是仅只含sin项的奇次谐波。 进一步观察又可看出，方波中含有的高效谐波成 分比较严重，而等腰三角波中含有的高次谐波成分相 对较轻。什么原因呢？ 观察波形，方波在一个周期内发生两次正、负之 间的跃变，即波形极不平滑；而等腰三角波则总是在 正、负半周均按直线规律上升或下降，整个周期内并 没有发生跃变，因此其平滑性较方波好得多。
k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次 谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。 而把2次以上的谐波均称为高次谐波。
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12.2 谐波分析和频谱
学习目标：理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的
谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分
的关系，理解波形“平滑性”的概念。
12.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式
奇谐波函数：特点是波形的后半周与前半周具有镜像 对称性，也称为奇次对称性，奇谐波函 数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐 波。
偶谐波函数：特点是波形的前、后半周变化相同。也 称为偶次对称性，偶谐波函数的傅里叶 级数表达式中一般只包含偶次谐波。
零次谐波： 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐 波。偶次谐波中一般包含零次谐波。