第9章重积分

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三、二重积分的性质
假设以下各积分存在
性质1 kf (x, y)d k f (x, y)d k为常数
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d D g(x, y)d
D
D
D
性质3 （可加性）
若D D1 D2 ,且D1 D2 （除分界线）
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并且 ρ(x，y)在D上连续
解：1） 分割D：任意分割
P(i ,i )
y
Di
D为（i i 1 ~ n） O
x
i
为
i
的直径，记
max i1n
i
2）近似： P(i ,i ) i (i 1 ~ n)
Mi (i ,i )i
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n
是D的面积，则 m f (x, y)d M
D
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性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D
上连续, 是D的面积, 则至少存在一点
( ,) D，使得 f (x, y)d f (,)
D
证明： f (x, y) 在D上连续
则 f (x, y) 在D上存在最大值、最小值M、m
n
3） 求和： M M i (i ,i ) i
i 1
i 1
n
4）
取极限：
M
lim
0
i 1
(i ,i ) i
由此可见：两个引例的实际意义虽不同，
但有共性：① 解决问题的步骤相同
② 和式极限的结构相同
在物理、几何、力学和工程技术中，有许多量都 可归结为这一形式和的极限，因此有必要一般地 研究这种和式的极限，抽象出二重积分的定义
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由性质6得： m f (x, y)d M
D
f (x, y)d
即m D
M
由有界闭区域上连续函数的介值定理得,
至少存在一点 (,) D ，使得
f (x, y)d
D
f ( ,)
即 f (x, y)d f (,)证毕。
则 f (x, y)d g(x, y)d
D
D
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特别的:
若f (x, y) 0则 g(x, y)d 0
D
而 f (x, y)d f (x, y) d
D
D
性质6 (估值性) 设
M max f (x, y),m min f (x, y)
( x, y)D
( x, y)D
, n)
(i ,i ) i x
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3）求和：
n
f (i ,i ) i
i 1
4）取极限 表示n个小区域的最大直径
n
lim
0
f (i ,i ) i
i 1
若和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，记为 f ( x, y)d D
n
即
D
f ( x, y)d = lim 0 i1
f (i ,i ) i
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即
n
D
f ( x, y ) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
积 分 和
式
由此，引例（1）体积 V f (x, y)d
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故记 d dxdy
从而 f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
（3）二重积分为数，与积分变量的符号无关
即 f (x, y)d f (u,v)d
D
D
（4） 0 i 0(i 1 ~ n)
但是 i 0不能 （0 为什么）
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D
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引例（2） 质量 M (x, y)d
D
注（1）极限存在指：任意分割、任意取点、
和式极限值相等
Y
(2) 在直角坐标系下，若 yk1
yk
用平行与x轴，y轴的
i x j yk
直线族划分D,则
O
x j x j1
X
i x j yk (除含边界的小区域 )
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二、 二重积分的概念
1、定义 设 f (x, y) 在平面有界闭区域D上有界
1）分割： 将平面区域 D 任意分成n个小闭区域
1 , 2 , , n
其中 i表示第 i个小区域，也表其面积.
y
D
2）求积： 任取 (i ,i ) i
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f (i ,i ) i (i 1,
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n
n
3）求和: V Vi f (i ,i )i
i 1
i 1
4）取极限
n
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
（其中
max
i1n
i
)
（2）计算平面薄板的质量
设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,
在点P(x,y)的质量面密度为 (x, y) 0
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f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
D2
性质4 如果 f (x, y) 1，(x, y) D
则 f (x, y)d d (D的面积)
D
D
性质5 (不等式性) 如果在D上 f (x, y) g(x, y)
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解: 1 ）分割D：任意划分D为n个小区域
1, 2, ｎ z
i 为 i 的直径
ｉ
:z f (x, y)(曲顶)
2） 近似：
Pi (i ,i ) （i i 1 ~ n）
o
y
(i,i )
Vi f (i ,i ) i x
i
定义 域
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2、二重积分存在的充分条件：
若 f ( x, y)在D上连续，则 f (x, y)d (存在)
D
3、二重积分的几何意义
f ( x, y) 0, f ( x, y)d V曲顶柱体 D
f ( x, y) 0, f ( x, y)d -V曲顶柱体 D
一般地， f ( x, y)d =曲顶柱体体积的Hale Waihona Puke Baidu数和 D
高等数学
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第九章 第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
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一、引例
（1） 计算曲顶柱体的体积（如图）
曲 顶：曲面 ：z f (x, y) 0
顶 柱
底：平面闭区域Ｄ
体 侧面：以Ｄ的边界为准线，母线平行于
ｚ轴的柱面，且f(x,y)在D上连续