高等数学 8-7.方向导数与梯度
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2 2 2
解 由梯度计算公式得
∂u ∂u ∂u gradu( x , y , z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z = ( 2 x + 3 ) i + ( 4 y − 2 ) j + 6 zk ,
gradu(1,1,2) = 5i + 2 j + 12k . 3 1 在 P0 ( − , ,0) 处梯度为 0. 2 2
二、方向导数的定义
讨论函数 z = f ( x, y) 在一点P沿某一方 在一点 沿某一方 向的变化率问题．
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 内有定义，自点 P 引射线 l．
设 x 轴正向到射线 l 的转角 ′( x + ∆ x , y + ∆ y ) o 为 ϕ , 并设 P 为 l 上的另一点且 P ′ ∈ U ( p ).
2 2
解 由方向导数的计算公式知
∂f ∂l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x − y ) (1,1) cosα + ( 2 y − x ) (1,1) sinα ,
π = cos α + sin α = 2 sin( α + ), 4
2
2
= − 14 .
P
故 ∂u = (∂ucosα + ∂ucosβ + ∂ucosγ ) = 11 . ∂n P ∂x ∂y ∂z 7 P
三、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数， 一阶连续偏导数 ， 则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ，
∂ f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
例 2 设 n 是曲面 2 x + 3 y + z = 6 在点 处的指向外侧的法向量， P (1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数
2 2 2
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1 2 的方向导数. u = (6 x + 8 y ) 在此处沿方向 n 的方向导数 z
得到
f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) ∂f ∆x ∂f ∆y o(ρ) = ⋅ + ⋅ + ∂x ρ ∂y ρ ρ ρ
cos ϕ
故有方向导数
sin ϕ
∂f f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) = lim ρ ∂l ρ → 0
∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ . ∂x ∂y
则 P 在０时刻的速度为
v0 = (v01 , v02 , v03 ), v01 = cos α , v02 = sin α , v03 = f x ( x0 , y0 )cos α + f y ( x0 , y0 )sin α
∂f = ∂l
在点(1, ） 例 1 求函数 f ( x, y) = x − xy + y 在点 1） 的方向导数.并 沿与 x轴方向夹角为α 的方向射线 l 的方向导数 并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ ）最大值； ）最小值； ）等于零？
故
讨论下列函数在原点处的连续性, 思考．讨论下列函数在原点处的连续性 可导性与可微性， 可导性与可微性，及各方向的方向导数 的存在性． 的存在性． 1.
xy x2 y2 f ( x, y) = + 0
x + y ≠0
2 2
.
x + y =0
2 2
1 2 2 x + y sin 2 2 , xy ≠ 0 2. f ( x, y) = x +y . 0, xy = 0
解 令 F ( x , y , z ) = 2 x + 3 y + z − 6,
2 2 2
1 2 2
Fx′ P = 4 x P = 4, Fy′ P = 6 y P = 6, Fz′ P = 2 z P = 2, ′ ′ 故 n = Fx , F y , Fz′ = {4, 6, 2},
{
}
n = 4 + 6 + 2 = 2 14 , 方向余弦为
2
gradf
2
P
− gradf
z = f ( x, y) 曲面被平面 z = c 所截得 , z = c
所得曲线在xoy面上投影如图 所得曲线在 面上投影如图 y f ( x, y ) = c2
在几何上 z = f ( x , y ) 表示一张曲面
gradf ( x , y )
P
f ( x, y ) = c1
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
考察函数在点( x0 , y0 )处, 沿方向 l = (cosα ,sinα ) 的方向导数，我们有： 的方向导数，我们有：
f ( x0 + t cosα, y0 + t sinα) − f (x0 , y0 ) ∂f = lim ∂l t→0+ t d f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α ) = dt t = 0+
∆x = ρ cos α , ∆y = ρ cos β , ∆z = ρ cos γ ),
(其中 ρ =
(∆x) + (∆y) + (∆z) ,
2 2 2
d f ( x0 + t cosα, y0 + t cos β , z0 + t cos γ ) = dt t =0+
同理：当函数在此点可微时， 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向L 的方向导数都存在， 沿任意方向 的方向导数都存在，且有
由方向导数公式知
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ = { , } ⋅ {cosϕ , sin ϕ } ∂ l ∂x ∂y ∂x ∂y
= gradf ( x , y ) ⋅ e =| gradf ( x , y ) | cosθ ,
∂f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) = 1时， 有最大值 有最大值. ∂l
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
一、问题的提出
实例：一块金属板，在某点 处有一个火焰 处有一个火焰， 实例：一块金属板，在某点O处有一个火焰， 它使金属板受热． 它使金属板受热．假定板上任意一点处的温 度与该点到O点的距离成反比 点的距离成反比． 度与该点到 点的距离成反比．在P点处有一 点处有一 个蚂蚁， 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？ 最快到达较凉快的地点？ 问题的实质： 问题的实质：应沿由热变冷变化最快的方 向 这个方向即是我们将要讲的梯度方向 梯度方向． 这个方向即是我们将要讲的梯度方向． 爬行. 爬行
2 2 2
2 3 1 cosα = , cos β = , cos γ = . 14 14 14
6x ∂u = = 2 2 ∂x P z 6 x + 8 y P 8y ∂u = = 2 2 ∂y P z 6 x + 8 y P
6 ; 14 8 ; 14
6x + 8 y ∂u =− 2 z ∂z P
处可微， 若函数在( x0 , y0 ) 处可微，则根据复合函数 求导法则， 求导法则，有 ∂f = f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )sinα ∂l
方向导数的几何意义： x = x0 + t cosα, z = f ( x0 + t cosα , y0 + t sinα ) ' y = y0 + t sinα, z z
∂f ∂f 都可定出一个向量 i + j ，这向量称为函数 ∂x ∂y z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )的梯度，记为 的梯度， ∂f ∂f gradf ( x , y ) = i + j. ∂x ∂y
上的单位向量， 设 e = cos ϕ i + sin ϕ j 是方向 l 上的单位向量，
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
f (x, y) = c
等高线
x 梯度为等高线上的法向量, 梯度为等高线上的法向量 且指向函数值增 加的方向. 加的方向
o
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 u = f ( x , y , z )在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数， 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y , z ) ∈ G ， 梯度) 都可定义一个向量(梯度 都可定义一个向量 梯度
其中ϕ 为 x轴到方向 L 的转角． 的转角．
∂f ∂f ∂f = cosϕ + sinϕ ， ∂l ∂x ∂y
由于函数可微， 证明 由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 ρ ,
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim ρ ∂l ρ → 0
可导， 若函数 f ( x , y ) 可导，则 (1). f ( x , y )在点 P 沿着 x 轴正向 e1 = {1,0}、 y
轴正向 e2 = {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
其中 θ = ( gradf ( x , y ), e )
函数在某点的梯度是这样一个向量， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的 方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为 方向导数的最大值． 方向导数的最大值．梯度的模为
结论
∂f ∂f . | gradf ( x, y) |= + ∂x ∂y
∂f ∂f ∂f gradf ( x , y , z ) = i + j + k. ∂x ∂y ∂z
类似于二元函数， 类似于二元函数，此梯度也是一个向 量，其方向与取得最大方向导数的方向 一致，其模为方向导数的最大值. 一致，其模为方向导数的最大值
例 4 求函数 u = x + 2 y + 3z + 3x − 2 y在点 处的梯度， 哪些点处梯度为零？ (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
轴正向变动时 因为在点 P 处 P ' 沿着 x 轴正向变动时 ∆y = 0, ρ = ∆x > 0
P
e1
(2). 沿着 x 轴负向、 轴负向的方向导数是 轴负向、 y
− f x ,− f y .
处可微， 定理 如果函数 z = f ( x, y)在点 P( x, y)处可微，那 的方向导数都存在， 末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且 有
3.
1, 0 < y < x f ( x, y) = 0, 其余情形
2
4.
f ( x, y) =
x +y
2
2
1与2：在原点处偏导为０，即沿两坐标轴正 与 ：在原点处偏导为０ 负向的方向导数存在, 负向的方向导数存在 但其余各方向的方 向导数均不存在． 向导数均不存在． 3 ：在原点处各方向的方向导数均存在，且 在原点处各方向的方向导数均存在， 在原点处可导; 为０;在原点处可导 在原点处不连续 当然 在原点处可导 在原点处不连续, 也不可微． 也不可微． 4 ：在原点处各方向的方向导数均存在，且为 在原点处各方向的方向导数均存在， 1; 但在原点处不可导 在原点处不可微 但在原点处不可导; 在原点处不可微.
解 由梯度计算公式得
∂u ∂u ∂u gradu( x , y , z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z = ( 2 x + 3 ) i + ( 4 y − 2 ) j + 6 zk ,
gradu(1,1,2) = 5i + 2 j + 12k . 3 1 在 P0 ( − , ,0) 处梯度为 0. 2 2
二、方向导数的定义
讨论函数 z = f ( x, y) 在一点P沿某一方 在一点 沿某一方 向的变化率问题．
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义， 内有定义，自点 P 引射线 l．
设 x 轴正向到射线 l 的转角 ′( x + ∆ x , y + ∆ y ) o 为 ϕ , 并设 P 为 l 上的另一点且 P ′ ∈ U ( p ).
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解 由方向导数的计算公式知
∂f ∂l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x − y ) (1,1) cosα + ( 2 y − x ) (1,1) sinα ,
π = cos α + sin α = 2 sin( α + ), 4
2
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= − 14 .
P
故 ∂u = (∂ucosα + ∂ucosβ + ∂ucosγ ) = 11 . ∂n P ∂x ∂y ∂z 7 P
三、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数， 一阶连续偏导数 ， 则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ，
∂ f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
例 2 设 n 是曲面 2 x + 3 y + z = 6 在点 处的指向外侧的法向量， P (1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数
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1 2 的方向导数. u = (6 x + 8 y ) 在此处沿方向 n 的方向导数 z
得到
f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) ∂f ∆x ∂f ∆y o(ρ) = ⋅ + ⋅ + ∂x ρ ∂y ρ ρ ρ
cos ϕ
故有方向导数
sin ϕ
∂f f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) = lim ρ ∂l ρ → 0
∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ . ∂x ∂y
则 P 在０时刻的速度为
v0 = (v01 , v02 , v03 ), v01 = cos α , v02 = sin α , v03 = f x ( x0 , y0 )cos α + f y ( x0 , y0 )sin α
∂f = ∂l
在点(1, ） 例 1 求函数 f ( x, y) = x − xy + y 在点 1） 的方向导数.并 沿与 x轴方向夹角为α 的方向射线 l 的方向导数 并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ ）最大值； ）最小值； ）等于零？
故
讨论下列函数在原点处的连续性, 思考．讨论下列函数在原点处的连续性 可导性与可微性， 可导性与可微性，及各方向的方向导数 的存在性． 的存在性． 1.
xy x2 y2 f ( x, y) = + 0
x + y ≠0
2 2
.
x + y =0
2 2
1 2 2 x + y sin 2 2 , xy ≠ 0 2. f ( x, y) = x +y . 0, xy = 0
解 令 F ( x , y , z ) = 2 x + 3 y + z − 6,
2 2 2
1 2 2
Fx′ P = 4 x P = 4, Fy′ P = 6 y P = 6, Fz′ P = 2 z P = 2, ′ ′ 故 n = Fx , F y , Fz′ = {4, 6, 2},
{
}
n = 4 + 6 + 2 = 2 14 , 方向余弦为
2
gradf
2
P
− gradf
z = f ( x, y) 曲面被平面 z = c 所截得 , z = c
所得曲线在xoy面上投影如图 所得曲线在 面上投影如图 y f ( x, y ) = c2
在几何上 z = f ( x , y ) 表示一张曲面
gradf ( x , y )
P
f ( x, y ) = c1
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
考察函数在点( x0 , y0 )处, 沿方向 l = (cosα ,sinα ) 的方向导数，我们有： 的方向导数，我们有：
f ( x0 + t cosα, y0 + t sinα) − f (x0 , y0 ) ∂f = lim ∂l t→0+ t d f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α ) = dt t = 0+
∆x = ρ cos α , ∆y = ρ cos β , ∆z = ρ cos γ ),
(其中 ρ =
(∆x) + (∆y) + (∆z) ,
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d f ( x0 + t cosα, y0 + t cos β , z0 + t cos γ ) = dt t =0+
同理：当函数在此点可微时， 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向L 的方向导数都存在， 沿任意方向 的方向导数都存在，且有
由方向导数公式知
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = cos ϕ + sin ϕ = { , } ⋅ {cosϕ , sin ϕ } ∂ l ∂x ∂y ∂x ∂y
= gradf ( x , y ) ⋅ e =| gradf ( x , y ) | cosθ ,
∂f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) = 1时， 有最大值 有最大值. ∂l
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
一、问题的提出
实例：一块金属板，在某点 处有一个火焰 处有一个火焰， 实例：一块金属板，在某点O处有一个火焰， 它使金属板受热． 它使金属板受热．假定板上任意一点处的温 度与该点到O点的距离成反比 点的距离成反比． 度与该点到 点的距离成反比．在P点处有一 点处有一 个蚂蚁， 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能 最快到达较凉快的地点？ 最快到达较凉快的地点？ 问题的实质： 问题的实质：应沿由热变冷变化最快的方 向 这个方向即是我们将要讲的梯度方向 梯度方向． 这个方向即是我们将要讲的梯度方向． 爬行. 爬行
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2 3 1 cosα = , cos β = , cos γ = . 14 14 14
6x ∂u = = 2 2 ∂x P z 6 x + 8 y P 8y ∂u = = 2 2 ∂y P z 6 x + 8 y P
6 ; 14 8 ; 14
6x + 8 y ∂u =− 2 z ∂z P
处可微， 若函数在( x0 , y0 ) 处可微，则根据复合函数 求导法则， 求导法则，有 ∂f = f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )sinα ∂l
方向导数的几何意义： x = x0 + t cosα, z = f ( x0 + t cosα , y0 + t sinα ) ' y = y0 + t sinα, z z
∂f ∂f 都可定出一个向量 i + j ，这向量称为函数 ∂x ∂y z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )的梯度，记为 的梯度， ∂f ∂f gradf ( x , y ) = i + j. ∂x ∂y
上的单位向量， 设 e = cos ϕ i + sin ϕ j 是方向 l 上的单位向量，
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
f (x, y) = c
等高线
x 梯度为等高线上的法向量, 梯度为等高线上的法向量 且指向函数值增 加的方向. 加的方向
o
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 u = f ( x , y , z )在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数， 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y , z ) ∈ G ， 梯度) 都可定义一个向量(梯度 都可定义一个向量 梯度
其中ϕ 为 x轴到方向 L 的转角． 的转角．
∂f ∂f ∂f = cosϕ + sinϕ ， ∂l ∂x ∂y
由于函数可微， 证明 由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 ρ ,
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ∂f . = lim ρ ∂l ρ → 0
可导， 若函数 f ( x , y ) 可导，则 (1). f ( x , y )在点 P 沿着 x 轴正向 e1 = {1,0}、 y
轴正向 e2 = {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
其中 θ = ( gradf ( x , y ), e )
函数在某点的梯度是这样一个向量， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的 方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为 方向导数的最大值． 方向导数的最大值．梯度的模为
结论
∂f ∂f . | gradf ( x, y) |= + ∂x ∂y
∂f ∂f ∂f gradf ( x , y , z ) = i + j + k. ∂x ∂y ∂z
类似于二元函数， 类似于二元函数，此梯度也是一个向 量，其方向与取得最大方向导数的方向 一致，其模为方向导数的最大值. 一致，其模为方向导数的最大值
例 4 求函数 u = x + 2 y + 3z + 3x − 2 y在点 处的梯度， 哪些点处梯度为零？ (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
轴正向变动时 因为在点 P 处 P ' 沿着 x 轴正向变动时 ∆y = 0, ρ = ∆x > 0
P
e1
(2). 沿着 x 轴负向、 轴负向的方向导数是 轴负向、 y
− f x ,− f y .
处可微， 定理 如果函数 z = f ( x, y)在点 P( x, y)处可微，那 的方向导数都存在， 末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且 有
3.
1, 0 < y < x f ( x, y) = 0, 其余情形
2
4.
f ( x, y) =
x +y
2
2
1与2：在原点处偏导为０，即沿两坐标轴正 与 ：在原点处偏导为０ 负向的方向导数存在, 负向的方向导数存在 但其余各方向的方 向导数均不存在． 向导数均不存在． 3 ：在原点处各方向的方向导数均存在，且 在原点处各方向的方向导数均存在， 在原点处可导; 为０;在原点处可导 在原点处不连续 当然 在原点处可导 在原点处不连续, 也不可微． 也不可微． 4 ：在原点处各方向的方向导数均存在，且为 在原点处各方向的方向导数均存在， 1; 但在原点处不可导 在原点处不可微 但在原点处不可导; 在原点处不可微.