椭圆的参数方程
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(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，
线段 F1P 的中点坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 2θ－1，y＝ 3sin2θ＋0， 所以 x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹 方程．
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2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
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1. 椭圆的参数方程
(1)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为
x＝acos φ， __y_＝__b_s_in___φ__ (φ 为参数)，
参数的几何意义是以___a_为__半__径__所__作___圆__上__一__点__和__椭___圆__中__心_ _的__连__线___与__x_轴__正__半__轴___的__夹__角___．
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【思维导图】
【知能要点】 1．椭圆的参数方程． 2．双曲线的参数方程．
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题型一 椭圆的参数方程
1． 和圆的参数方程yx＝＝rrscions
θ， θ 中的参数
θ
是半径
OM
的旋
转角不同，椭圆参数方程xy＝＝bascions
α＋tan θ）
α＋cos1
θ
＝b2a（2tcaons122
α－tan2 α－cos12
θ）＝ba22为定值． θ
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【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方 程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用 参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用 三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效 果．
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方 程． 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2.
又点 A1，32在椭圆上，
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因此14＋32b22＝1，得 b2＝3， 于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1， 焦点坐标为 F1(－1，0)，F2(1，0)．
的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜 率的倒数．
【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h
＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目
(2)中心在
C(x0，y0)的椭圆的参数方程是xy＝＝yx00＋＋bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
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2．双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程
x＝cosa φ (φ 为参Байду номын сангаас) 为___y＝ ___b_ta_n___φ_________ ，规定 φ 的取值范围为 φ__∈__[_0_，__2_π__)_且_____φ_≠__π2__，__φ_≠__32_π____．
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题型二 双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝cosa φ， (φ 为参数)中 y＝btan φ
φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角． 【例2】直线 AB 过双曲线xa22－by22＝1 的中心 O，与双曲线交于
A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA， PB 的斜率的乘积为定值．
解 由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为
(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点
A(6，0)，B(0，3)．
由重心坐标公式可知xy＝＝06＋＋30＋＋3336scions
θ
＝2＋2cos
θ，
θ
＝1＋sin
θ.
由此消去 θ 得到（x－42）2＋(y－1)2＝1 即为所求．
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2．已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的动弦 BC 平行于虚轴， M，N 是双曲线的左、右顶点，求直线 MB，CN 的交点 P 的轨迹方程．
解 设点 Bcosa φ，btan θ，则 Ccosa φ，－btan θ，
又 M(－a，0)，N(a，0)．
φ， φ 中的参数
φ
是椭圆
上点 M 的离心角．
2．椭
圆
（x－m）2 a2
＋
（y－n）2 b2
＝
1
(a>b>0) 的 参 数 方 程 为
x＝m＋acos y＝n＋bsin
φ， φ (φ
为参数)．
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【例1】已知 A、B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的 普通方程．
∴直线 MB 的方程为 y＝cobstaanφ＋θa(x＋a)
直线 CN 的方程为 y＝－cosbataφn－θa(x－a)．
将以上两式相乘，得点 P 的轨迹方程为xa22＋by22＝1.
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题型三 参数方程的应用
若曲线的参数方程xy＝＝22pptt2， (t 为参数)，由于xy＝1t ，因此 t
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证明 如图所示，
设 Pcosa α，btan α，Acosa θ，btan θ.
∵AB 过原点 O， ∴A，B 的坐标关于原点对称，
于是有 B－cosa θ，－btan θ，从而：
kPA·kPB＝b（atcaons1
α－tan α－cos1
θθ）·ba（ctoasn1
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【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解 决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更 简便．
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1．设 F1、F2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆 C 上的点 A1，32到 F1、F2 距离之和等于 4，写 出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
线段 F1P 的中点坐标为(x，y)，
则 x＝2cos 2θ－1，y＝ 3sin2θ＋0， 所以 x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹 方程．
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1. 椭圆的参数方程
(1)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为
x＝acos φ， __y_＝__b_s_in___φ__ (φ 为参数)，
参数的几何意义是以___a_为__半__径__所__作___圆__上__一__点__和__椭___圆__中__心_ _的__连__线___与__x_轴__正__半__轴___的__夹__角___．
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1． 和圆的参数方程yx＝＝rrscions
θ， θ 中的参数
θ
是半径
OM
的旋
转角不同，椭圆参数方程xy＝＝bascions
α＋tan θ）
α＋cos1
θ
＝b2a（2tcaons122
α－tan2 α－cos12
θ）＝ba22为定值． θ
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【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方 程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用 参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用 三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效 果．
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方 程． 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2.
又点 A1，32在椭圆上，
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因此14＋32b22＝1，得 b2＝3， 于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1， 焦点坐标为 F1(－1，0)，F2(1，0)．
的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜 率的倒数．
【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h
＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目
(2)中心在
C(x0，y0)的椭圆的参数方程是xy＝＝yx00＋＋bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
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2．双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程
x＝cosa φ (φ 为参Байду номын сангаас) 为___y＝ ___b_ta_n___φ_________ ，规定 φ 的取值范围为 φ__∈__[_0_，__2_π__)_且_____φ_≠__π2__，__φ_≠__32_π____．
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题型二 双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝cosa φ， (φ 为参数)中 y＝btan φ
φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角． 【例2】直线 AB 过双曲线xa22－by22＝1 的中心 O，与双曲线交于
A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA， PB 的斜率的乘积为定值．
解 由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为
(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点
A(6，0)，B(0，3)．
由重心坐标公式可知xy＝＝06＋＋30＋＋3336scions
θ
＝2＋2cos
θ，
θ
＝1＋sin
θ.
由此消去 θ 得到（x－42）2＋(y－1)2＝1 即为所求．
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解 设点 Bcosa φ，btan θ，则 Ccosa φ，－btan θ，
又 M(－a，0)，N(a，0)．
φ， φ 中的参数
φ
是椭圆
上点 M 的离心角．
2．椭
圆
（x－m）2 a2
＋
（y－n）2 b2
＝
1
(a>b>0) 的 参 数 方 程 为
x＝m＋acos y＝n＋bsin
φ， φ (φ
为参数)．
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【例1】已知 A、B 分别是椭圆3x62＋y92＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的 普通方程．
∴直线 MB 的方程为 y＝cobstaanφ＋θa(x＋a)
直线 CN 的方程为 y＝－cosbataφn－θa(x－a)．
将以上两式相乘，得点 P 的轨迹方程为xa22＋by22＝1.
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题型三 参数方程的应用
若曲线的参数方程xy＝＝22pptt2， (t 为参数)，由于xy＝1t ，因此 t
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证明 如图所示，
设 Pcosa α，btan α，Acosa θ，btan θ.
∵AB 过原点 O， ∴A，B 的坐标关于原点对称，
于是有 B－cosa θ，－btan θ，从而：
kPA·kPB＝b（atcaons1
α－tan α－cos1
θθ）·ba（ctoasn1
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1．设 F1、F2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆 C 上的点 A1，32到 F1、F2 距离之和等于 4，写 出椭圆 C 的方程和焦点坐标；