2020年高考考前大冲刺卷文科数学(八)解析

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2020年高考考前大冲刺卷文科数学(八)

2020年高考大冲刺卷文科数学（八）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集{|||2}U x x =<，集合2{|lo 1}g P x x =<，则U P =ð（）A ．(2,0]-B ．(2,1]-C ．(0,1]D ．[1,2)3．已知{}n a 为等比数列，若32a =，58a =，则7a =（）A ．64B ．32C ．64±D ．32±4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（）A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍5．某学校制订奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的，奖励（单位：元）的计算公式为10()()()f n k n n =-（其中n 是指任课教师所任学科成绩的平均分与本省该科成绩平均分之差），而0(10)100(1015)()200(1520)300(2025)400(25)n n k n n n n ≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪>⎪⎩，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学成绩的平均分超出本省高考数学成绩平均分18分，乙所教的学生高考数学成绩平均分超出本省高考数学成绩平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多（） A ．600元 B ．900元 C ．1600元 D ．1700元 6．2019年1月1日，向阳轨道交通1号线试运行，向阳轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过向阳地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（） A ．23 B ．12 C ．13 D ．14 7．一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（） A ．AB CD ∥ B ．AB 与CD 相交 C ．AB CD ⊥ D ．AB 与CD 所成的角为60︒ 8．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（） A ．222()()πx f x x =- B ．c (π)os f x x x =+ C ．s (n )i x f x x = D ．2cos 1()x f x x =+- 9．若235log log log 1x y z ==<-，则（） A ．235x y z << B ．532z y x << C ．325y x z << D ．523z x y << 10．若函数π()sin()(0)6f x x ωω=->在[0,π]上的值域为1[,1]2-，则ω的最小值为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．23B ．34C．43D．3211．设1F，2F分别是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于A，B两点，且12AF AF⋅=u u u r u u u u r，222AF F B=u u u u r u u u u r，则椭圆E的离心率为（）A．23B．34C．5D．712．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线2:C y x=，直线l为曲线C在点(1,1)处的切线，如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为T．给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（）A．①B．②C．③D．④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量a，b满足3)=a，||3=b，()⊥-a a b，则a与b夹角的余弦值为______．14．设直线12y x b=+是曲线(ln0)y x x=>的一条切线，则实数b的值为________．15．已知函数229,1()4,1x ax xf xx a xx⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x的最小值为(1)f，则实数a的取值范围是________．16．已知一族双曲线22*(:2019nnE x y n-=∈N，且9)201n≤，设直线2x=与n E在第一象限内的交点为nA，点nA在nE的两条渐近线上的射影分别为nB，nC．记n n nA B C△的面积为na，则1232019a a a a++++=L________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a的前n项和为n S，22n nS a=-．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设21logn n nb a a+=⋅，求数列{}nb的前n项和nT．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，90ACB∠=︒，11AC CB C C===，M，N分别是AB，1A C的中点．（1）求证：直线MN ⊥平面1ACB ；（2）求点1C 到平面1B MC 的距离．19．（12分）为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如下：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”? （2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 20．（12分）已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M ．（1）求p 的值；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值．21．（12分）已知函数2()()2ln 2f x x t x t x =+--+．（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；（2）求实数t 的范围，使得()2f x ≥恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧AD ，BC 和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，π(2,)3A ，2π(1,)3B ，4π(1,)3C ，π(2,)3D -，弧BC ，AD 所在圆的圆心分别是(0,0)，(2,0)，曲线1M 是弧BC ，曲线2M 是弧AD ．（1）分别写出1M ，2M 的极坐标方程；（2）点E，F位于曲线2M上，且π3EOF∠=，求EOF△面积的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设,,a b c都是正数，且1a b c++=．（1）求11a b c++的最小值；（2）证明：444a b c abc++≥．2020年高考大冲刺卷文科数学（八）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】12i(12i)(2i)43i 2i (2i)(2i)55z ++-===+++-，故43i 55z =-，z 在复平面内对应的点为43(,)55-，故在第四象限．2．【答案】A【解析】|2}{||22{|}U x x x x =<=-<<，2log 1{|{|}02}P x x x x =<=<<，故0]2,(U P =-ð．3．【答案】B【解析】设{}n a 的公比为q ，则214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得12124a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故63714322a a q 1==⨯=．4．【答案】C【解析】设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a ．对于A ，2019年食品消费额为0.220.4a a ⨯=，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等， A 不正确；对于B ，2019年教育医疗消费额为0.220.4a a ⨯=，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确；对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.2520.5a a ⨯=，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确；对于D ，2019年生活用品的消费额为0.320.6a a ⨯=，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．5．【答案】D【解析】因为()18200k =，所以182001810()()1600f =⨯-=，又()21300k =，所以213002110()()3300f =⨯-=，所以21183300()(16001700)f f -=-=．6．【答案】B【解析】从四人中随机选两人的所有情况有（小王、小张），（小王、小刘），（小王、小李），（小张、小刘），（小张、小李），（小刘、小李），共6种，其中小王被选中的情况有（小王、小张），（小王、小刘），（小王、小李），共3种，故小王被选中的概率12P =． 7．【答案】D 【解析】如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A ，B ，C 不正确．所以正确选项为D ．图2中，BE CD ∥，ABE ∠为AB 与CD 所成的角，ABE △为等边三角形，所以60ABE ∠=︒． 8．【答案】C 【解析】对于选项A ，当1x =时，2(1)1π0f =-<，与函数图象不符，故排除A ；对于选项B ，由函数()f x 的部分图象关于y 轴对称可知，该函数是偶函数，故排除B （也可通过(0)π0f =≠排除B ）；对于选项D ，当πx =时，2π()20πf =-≠，与函数图象不符，故排除D ． 9．【答案】B 【解析】设235log log log x y z t ===，则1t <-，2t x =，3t y =，5t z =，因此122t x +=，133t y +=，155t z +=，又1t <-，所以10t +<，由幂函数1t y x +=的单调性可知532z y x <<． 10．【答案】A 【解析】∵0πx ≤≤，0ω>，∴ππππ666x ωω-≤-≤-．又()f x 的值域为1[,1]2-，∴πππ62ω-≥，∴23ω≥． 11．【答案】C 【解析】设2||BF m =u u u u r ，则2||2AF m =u u u u r ，连接1BF ，由椭圆的定义可知1||22AF a m =-u u u r ，1||2BF a m =-u u u r ，由120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，知12AF AF ⊥，故在1ABF Rt △中，222()()()2232a m m a m -+=-，整理可得3a m =，故在12AF F Rt △中，14||3AF a =u u u r ，22||3AF a =u u u u r ，故22224()()433a a c +=，解得53e =．12．【答案】A【解析】由题意2y x =，所以2y x '=，故直线l 的方程为21y x =-．设直线1)0(y t t =≤≤与曲线2y x =、直线21y x =-的交点分别为P ，Q ， 111(),0()P x y x ≥，22(),Q x y ，由2y x y t ⎧=⎨=⎩，解得1x t =；由21y x y t =-⎧⎨=⎩，解得212t x +=，所以高度为t 处的旋转体的截面面积为22222111πππ()ππ()22t t S x x t +-=-=-=．如图ABC △为高为1，底面半径为12的圆锥的过轴的截面，设高度为t 处的水平截面的半径为r ，即HD t =，HG r =，则1112r t -=，所以12tr -=，所以高度为t 处的水平截面的面积为21π()2tS -'=，所以S S ='，所以旋转体T 的体积与上述圆锥的体积相同．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】23【解析】由()⊥-a a b 可知2()423cos ,0⋅-=-⋅=-⨯<>=a a b a a b a b ，故2cos ,3<>=a b ．14．【答案】ln21- 【解析】由题意得1y x '=，设切点坐标为00,l (n )x x ，则0112x =，即02x =，故切点坐标为(2,ln 2)，又切点在直线12y x b =+上，则ln 21b =+，即ln 21b =-． 15．【答案】[2,)+∞ 【解析】由题意可知要保证()f x 的最小值为(1)f ，需满足1(2)(1)a f f ≥⎧⎨≥⎩，解得2a ≥． 16．【答案】5052 【解析】因为双曲线的方程为22*(2019n x y n -=∈N ，且9)201n ≤，所以其渐近线方程为y x =±，设点),(2n n A y ，则2*42019(n n y n -=∈N ，且9)201n ≤．记),(2n n A y 到两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则21211|4|201944420122229n n n n n n A B C n y n S d d -===⨯==△，故42019n n a =⨯，因此{}n a 为等差数列，故1232019a a a a ++++=L 12019(12019)5054201922⨯+⨯=⨯．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2n n a =；（2）12n n T n +=⨯．【解析】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即12n n a a -=，数列{}n a 为以2为公比的等比数列，2n n a =．（2）122log 2(1)2n n n n b n +=⨯=+⨯， 2122322(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++⨯++⨯L ， 231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ，两式相减，得23114222(1)22n n n n T n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，所以12n n T n +=⨯．18．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】（1）过点M ，N 分别作MP BC ⊥，1NQ CC ⊥，垂足分别为P ，Q ，则MP NQ ∥且MP NQ =，所以MN PQ ∥，因为1PQ BC ∥，11BC B C ⊥，所以1PQ B C ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AC ⊥，因为11CC AA ∥，所以1CC AC ⊥，因为AC CB ⊥，所以AC ⊥平面11BCC B ，所以AC PQ ⊥，所以PQ ⊥平面1ACB ，因为MN PQ ∥，所以MN ⊥平面1ACB ．（2）设1C 到平面1B MC 的距离为h ，因为12MP =，1112B CC S =△，所以111111312M B CC B CC V S MP -=⋅=△，因为2CM =，12BC =，16B M =，所以111324B CM S CM B M =⋅=△，因为1111C B MC M B CC V V --=，所以1111133B CM B CC S h S MP ⋅=⋅△△，解得33h =，即点1C 到平面1B MC 的距离3．19．【答案】（1）列联表见解析，没有90%以上的把握认为；（2）平均数57.2．【解析】（1）由题意可得，所以222()100(30243016)0.966()()()()60404654n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为0.966 2.706<，所以没有90%以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．（2）由题意可知，男生数学的平均成绩为 100.05300.15500.3700.25900.2560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；女生数学成绩的平均成绩为 100.1300.2500.3700.25900.1553y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，样本中男女生人数之比为3:2，这100名学生的平均成绩为600.6530.457.2z =⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2p =；（2）4．【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为(0,)2p ，准线方程为2p y =-，由于焦点到准线的距离为2，即2p =．（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，21111:()42x x l y x x -=-，22222:()42x x l y x x -=-，由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-，设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立得24y kx m x y =+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=， 216160Δk m =+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即:1l y kx =+，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)M k -，又点M 到直线l 的距离22211d k k ==++，且2221212(1)[()4]4(1)AB k x x x x k =++-=+，所以32222214(1)4(1)421S k k k =⨯+=+≥+，当0k =时，MAB △面积取得最小值4． 21．【答案】（1）极大值(1)3f =-；（2）1t ≥．【解析】（1）()22t f x x t x '=+--，因为2x =是()f x 的极值点，所以(2)4202t f t '=+--=，解得4t =-，此时24264(1)(2)26()x x x x f x x x x x -+2--'=-+==，所以()f x 的极大值为(1)3f =-．（2）要使得()2f x ≥恒成立，即0x >时，2)0(2ln x t x t x +--≥恒成立．设2()2n ()l g x x t x t x =+--，则(1)(2)22()()t x x t g x x t x x -+'=+--=，①当0t ≥时，函数()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以min ()()110g x g t ==-≥，解得1t ≥；②当20t -<<时，函数()g x 在(),12t-单调递减，在(0,)2t-和(1,)+∞单调递增，此时1(1)1g t =-<-，不合题意；③当2t =-时，22(1)()0x g x x -=≥，函数()g x 在(0,)+∞单调递增，此时(1)13g t =-=-，不合题意；④当2t <-时，函数()g x 在(1,)2t -单调递减，在(0,1)和(),2t-+∞单调递增，此时(1)13g t =-<-，不合题意，综上所述，当1t ≥时，()2f x ≥恒成立．22．【答案】（1）12π4π:1()33M ρθ=≤≤，2ππ:4cos ()33M ρθθ=-≤≤；（2）．【解析】（1）由题意，1M 的极坐标方程是2π4π1()33ρθ=≤≤，而圆弧AD 所在圆的圆心为1(2,0)O ，设(,)P ρθ为2M 上任意一点，则在1OO P △中，可得ππ4cos ()33ρθθ=-≤≤，所以1M ，2M 的极坐标方程分别为2π4π1()33ρθ=≤≤，ππ4cos ()33ρθθ=-≤≤，（2）不妨设1(,)E ρα，2π(,)3F ρα-，其中π03α≤≤，则14cos ρα=，2π4cos()3ρα=-，所以121πππsin cos (cos cos sin sin )2333EOF S ρρααα=⋅⋅=+△21π3(cos sin ))26αααα=+=++，又因为π03α≤≤，所以1πsin(2)126α≤+≤，所以EOF △的面积的取值范围是． 23．【答案】（1）4；（2）证明见解析．【解析】（1）因为,,a b c 为正数，且1a b c ++=，所以1111a b c a b c c a b a b c a b c a b c ++++++=+=++++++24≥+=．当且仅当a b c +=时取等号，所以11a b c ++的最小值为4．（2）44444444422222211()(222)22a b c a b b c a c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当13a b c ===时等号成立， 22222222222222222211(222)()22a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ 2221(222)()2ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=，当且仅当13a b c ===时等号成立，所以444a b c abc ++≥，当且仅当13a b c ===时等号成立．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)冲刺卷(八)(解析版)

是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p 使得 p 2 是素数，素
p, p 2
数对
称为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（
）
1 A． 14
1 B． 7
3 C． 14
1 D． 3
【答案】B
【解析】依题意，在不超过 20 的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共有 8 个，从中
___________．
【答案】 yˆ 0.95x 4 .
【解析】设线性回归方程为
yˆ
bˆx
aˆ
，因为
x
5 2
，
y
51 8
，
5
2
bˆ
aˆ
51 8
由题意可得 8bˆ aˆ 11.6 ，解得 bˆ 0.95 ， aˆ 4 ，即 yˆ 0.95x 4 .
故答案为 yˆ 0.95x 4 .
）
A．1 i
B．1 i
C． 1 i
D． 1 i
【答案】B
【解析】复数
z
2i 1 i
2i 1 i 1 i1 i
1
i
，复数的共轭复数是1 i
，就是复数
z
2i 1 i
所对应的点
关于实轴对称的点为 A 对应的复数,故选 B．
4．已知函数
为锐角，且 cos
4
3 5
，则 cos2
（
）
24
A．
25
(m,
m)
在直线
x
2
y
2
的下方时符合条件，所以
m
2m
2

(推荐)普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)文科数学含解析.doc

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足ii z z+=，则z =（）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以1a bb a=-+=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UA B ð（）A ．∅B ．RC ．{}|0x x >D ．{}0【答案】C【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0UAB x x =>ð，故选C ．3．如图，正方形ABCD 内的图形自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．12CD【答案】C【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，C．4．已知直线210x ay-+=与直线820ax y-+=平行，则实数a的值为（）A．4 B．－4 C．－4或4 D．0或4【答案】B【解析】由于两直线平行，故()()280a a⋅---⋅=，解得4a=-（当4a=时两直线重合，故舍去．）5．函数()()1cos sinf x x x=+在[]π,π-上的图象的大致形状是（）A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】()()()1cos sinf x x x f x-=-+=-，所以()f x是奇函数，故CD错误；()222sin cos cos2cos cos1f x x x x x x'=-++=+-，得极值，所以A正确．故选A．6．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（）11A16B12+ C16D12+ 【答案】A【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为：A ． 7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011011010010 (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-，故选B ． 8．设0ω>ω的最小值是（） A ．23B ．43C ．3D ．32【解析】将的图象向右平移个单位后得到函数解析式为k ∈Z k ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是31322⨯=，故选D ． 9．执行如图所示的程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（）A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -<【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：1m =，3n =，2x =，2230->，1m =，2n =，1m n -=；1m =，2n =， 1.5x =，21.530-<， 1.5m =，2n =，0.5m n -=； 1.5m =，2n =，1.75x =，21.7530->， 1.5m =， 1.75n =，0.25m n -=；因为输出的结果为 1.75x =，所以判断框内应填“0.5m n -<”．故选B ．10．已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0x x λ-≥恒成立，则λ的最小值为（）A ．1eB ．eC ．e 2D ．2e【答案】A【解析】令()ln x f x x λ=-，()1f x x λ'=-，由于0λ>，令()10f x x λ=-='，得1x λ=，可以得到()f x 在0,1λ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,λ⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在1x λ=时取得最小值，所以11n 1l 0f λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，所以1e λ≥．故选A 选项．11．已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则20S 的值为（） A ．325462B ．1920C ．119256D ．20102011【解析】因为()2f x x ax =+，所以()2f x x a '=+，又函数()2f x x ax =+的图象在点()()0,0A f 处的切线l 与直线220x y -+=平行，所以()02f a '==，所以()22f x x x=+，所以()211111222f n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 120⎛++- ⎝11113251222122462⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，本题选择A 选项．12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c +=相切于点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A B C ．2 D ．【答案】C【解析】由直线方程可得直线:0l x c +=过双曲线的左焦点，倾斜角为30︒，直线与圆相切，则：AN l ⊥，即1ANF △是直角三角形，结合1AF a c =+，可得：)N y a c =+，联立直线:0l x c -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的方程可得：()2222222230b a y cy b c b a --+-=，则：122N y y y +==，据此有：)a c +=，结合222b c a =-，整理可得：323340c ac a -+=，据此可得关于离心率的方程：32340e e -+=，即()()2120e e +-=，∵双曲线中1e >，2e ∴=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b ，1=b ．【答案】22．14．已知O为坐标原点，若点(),M x y为平面区域10,0,x yx yy⎧⎪⎨⎪⎩-++≥≤≥上的动点，则2z x y=-+的最大值是__________．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线2y x=，由图可知，当直线经过点()1,0B-时，直线的截距最大，此时目标函数取得最大值22z y x=-=．15．以等腰直角三角形ABC的底边BC上的高AD为折痕，把ABD△和ACD△折成互相垂直的两个平面，则下列四个命题：①AB CD⊥；②ABC△为等腰直角三角形；③三棱锥D ABC-是正三棱锥；④平面ABD⊥平面BCD；其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）【答案】①③④【解析】由题意得，如图所示，因为D为BC的中点，所以AD BC⊥，又平面ABD⊥平面ACD，根据面面垂直的性质定理，可得CD⊥平面ABD，进而可得AB CD⊥，所以①是正确的；其中当ABC△为等腰直角三角形时，折叠后ABC△为等边三角形，所以②不正确；因为ABC△为等腰直角三角形，所以DA DB DC==，所以D ABC-为正三棱锥，所以③正确；由AD BD⊥，AD DC⊥，可得AD⊥面BCD，又AD⊂面ABD，则平面ABD⊥平面BCD，所以④是正确的，故正确的命题为①③④．16．若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为123123,,,,...n n x x x x x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=__________．【答案】445πk ∈Zk ∈Z关于最大值对称的对称轴间的距离所1n -，π为公差的等差数列，第1n -，解得31n=，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-．（1）求角C 的大小；（2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．【答案】（1）6C π=；（2）ABCS =△．【解析】（1）由sin sin sin sin sin C Ba Ab Bc C =+-得：222sin Ca b c =+-，∴2222a b c C ab+-=cos C C =，∴tan C =，∴6C π=．·······6分（2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），得sin cos a B b A =，由正弦定理得sin cos A A =，∴4A π=．根据正弦定理可得2sin sin 46c =ππ，解得c =∴()11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫==⨯π--=+=⎪⎝⎭△····12分 18．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民意调查结果显示，受“闺蜜门”事件影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数（2）请依上述支持率完成下表：附表：（参考公式：()()()()()2n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）【答案】（1）年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；（2）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．【解析】（1）设年龄在[50，60）的人数为，则最后三组人数之和为3，所以四组总人数为4=800，得=200，·······2分则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；·······6分（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．填表如下·9分所以()2800152752548540760300500K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈11.228＞10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．·······12分19．如图，在四棱锥P ABCD-中，PC⊥底面ABCD，AD BC∥，22AD BC==，ABC△是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD上的点．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面EAC⊥平面PCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC ．·······6分（2）PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，PC AC ∴⊥·······7分由题意可知，AD BC ∥且22AD BC ==，ABC △是等腰直角三角形，CD =，222CD AC AD ∴+=，即AC CD ⊥····9分又PC CD C =，AC ∴⊥平面PCD ·······10分 AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PCD ·······12分 20．已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2213x y +=上，对角线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =．（1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）12y x =--；（2）3．【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ．因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1．又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分由22331x y y x +==+⎧⎨⎩，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·······2分则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫- ⎪⎝⎭，·······3分所以AC 所在直线方程为12y x =--；·······4分（2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，．由2233x y y x n⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=，令248120n ∆=->，得24n <，1232n x x +=-，212334n x x -=·······6分则BD ==同理AC =，·······8分······9分又因为120324x x x n +==-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由点P 在直线AC 上，得2n m =-，所以12ABCD S AC BD ==四边形·······11分因为24n <，所以201m <≤，所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分21．已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+≠，0x 是函数()f x 的极值点．（1）若4a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 不是单调函数，且无最小值，证明：()00f x <．【答案】（1）()f x 的最小值为()24ln 2f =-；（2）见解析．【解析】（1）解：()224ln f x x x x =--，其定义域是{}|0x x >．()422f x x x-'=-()()2212224x x x x x x +---==．令()0f x '=，得2x =，·······2分所以，()f x 在区间()02，单调递减，在()2+∞，上单调递增．所以()f x 的最小值为()24ln 2f =-．·······5分（2）解：函数()f x 的定义域是{}|0x x >，对()f x 求导数，得()22222a x x a f x x x x='-+=-+，显然，方程()20220f x x x a '=⇔-+=（0x >），因为()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根，所以102a <<，·······7分设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <，所以()()()212222x x x x x x a f x x x-='--+=，列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12f x f x >，·······9分故只需证明()10f x <，由120x x <<，且121x x +=，得1102x <<，因为102a <<，1102x <<，所以()()11112ln 0f x x x a x =-+<，从而()00f x <．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2）m =．【解析】（1）∵()2214x y -+=，∴22230x y x +--=，故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分（2cos sin m ρθρθ+=，得m ρ=22cos 30ρρθ--=，得123ρρ=-，则·3OM ON =，则36=，∴m =．·······10分 23．选修4－5：不等式选讲已知函数()21f x x x =--+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围．【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．【解析】（1()f x 的最大值是3．····5分（2）x ∀∈R ，，即2m -当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解；当12m >时，等价于21512m m -++≥，解得综上，实数m 168,,33⎤⎡⎫-+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．·······10分。

2020年高考数学(文)金榜冲刺卷(八)(解析版)

2020年高考金榜冲刺卷（八）数学（文）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5M =，集合{}3,4N =，则图中阴影部分所示的集合是（）A ．{}1B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}4【答案】D【解析】由图可知，阴影部分表达的集合是()N C M N ⋂；容易知{}3M N ⋂=，故(){}4N C M N ⋂=.故选D.2．命题：“若()220a b a b R +=∈，，则0a b ==”的逆否命题是（）A ．若()0a b a b R ≠≠∈，，则220a b +≠B ．若()0a b a b R =≠∈，，则220a b +≠C ．若0a ≠且()0b a b R ≠∈，，则220a b +≠D ．若0a ≠或()0b a b R ≠∈，，则220a b +≠ 【答案】D【解析】根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若()0,0,a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠.故答案为D ．3．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】B【解析】Q 复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -，就是复数21i z i=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数,故选B ．4．已知函数α为锐角，且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（） A ．2425 B ．2425- C ．2425± D ．725【答案】A【解析】由题设可知3444πππα<+<，所以4sin 45πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故23424cos2sin 2sin22sin cos 24442525ππππααααα⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应选答案 A.5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A ．114B ．17C ．314D ．13【答案】B【解析】依题意，在不超过20的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共有8个，从中选两个共包含87282⨯=个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为41287P ==.故选B. 6．程序框图如图，当输入x 为2019时，输出y 的值为（）A ．18B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】输入2019x =，得2016x =，第1次判断为是，得2013x =；第2次判断为是，得2010x =……一直循环下去，每次判断为是，得x 都减3，直到3x =-，判断结果为否，得到输出值31y 2=8-=故选A.7．将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()12g x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（）A ．524π B ．724π C ．512π D ．712π 【答案】B【解析】由题意得，()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 226g x x t π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而2sin 222sin 226126x t x t πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2sin 22x t =--，又0t >，所以当226t t ππ-=-+时，实数t 有最小值，min 724t π=.故选B. 8．设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，则m的取值集合是（）A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，所以可行域与直线22x y -=至少有一个公共点.变动直线x m =-与直线y m =，当点(,)m m -在直线22x y -=的下方时符合条件，所以220m m --->，得23m <-.故选C.9．过点()2,2P 作圆()()()222:220C x y r r +++=>的两条切线，切点分别为A 、B ，给出下列四个结论：①0r <<①若PAB ∆为直角三角形，则4r =； ①PAB ∆外接圆的方程为224x y +=；①直线AB 的方程为244160x y r ++-=. 其中所有正确结论的序号为（） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①【答案】A【解析】由题意可得P 在圆C 外，()()2222222r +++>，解得0r <<①错误；若PAB ∆为直角三角形，则四边形PACB 为边长为r 的正方形，可得PC ===，则4r =，命题①正确；由PA AC ⊥，PB BC ⊥及四点共圆的判定可得P 、A 、C 、B 是以PC 为直径的圆上四点，而PC =PC 的中点为原点，所以，PAB ∆的外接圆方程为228x y +=，命题①错误；由①可得PAB ∆的外接圆和圆C 相交于AB ，由228x y +=和()()22222x y r +++=，两式相减可得244160x y r ++-=，即为直线AB 的方程，故①正确．故选：A.10．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+ D ．m n m n mn +>->【答案】B【解析】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=，所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log 0.30n m -=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>，所以110n m->>，即可得0>+n m ，因为()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+，所以m n m n mn ->+>，故选B.11．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22222:14y x C b a-=，若以12,C C 四个顶点为顶点的四边形的面积为1S ，以12,C C 四个焦点为顶点的四边形的面积为2S ，则12S S 取到最大值时，双曲线1C 的一条渐近线方程为（）A ．12y x =B．y x = C．y =D ．2y x =【答案】B【解析】由题意可得：114242S a b ab ⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，2142S ⎛=⨯= ⎝，据此有：12S S =，结合均值不等式的结论有：当且仅当22224a b b a =，即222a b =时，12S S 取得最大值，此时双曲线1C的一条渐近线方程为y x =.故选B. 12．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C【解析】设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2424g x x a x a =-+-+- 上，()()()2224224y x a x a y x ax -=--+--+-⇒=-，根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点，即2ln ln x x x ax a x x =-⇒=-，设ln xy x x=-()0x >， 221ln x x y x-+'=，令()21ln h x x x =-+，()0x >()120h x x x'=+>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =， ()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，ln xy x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时函数取得最小值1，即1y ≥ ，a ∴的取值范围是[)1,+∞.故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =v，(cos ,sin )b αα=v ，且//a b v v ，则tan α的值为___________．【答案】-1【解析】因为//a b vv0,sin cos ,tan 1.ααααα=∴=-∴=- 14．某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为___________．【答案】ˆ0.954yx =+. 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+. 故答案为ˆ0.954yx =+. 15．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*111222,2,3n n n n T T T T n N n a --+=∈≥=. 则数列{}n a 的通项公式n a =___________．【答案】12n n a n +=+ 【解析】由()*1122,2n n n n T T T T n N n --+=∈≥，两边同除以1n n T T -，可得11112n n T T --=，1132T =,1n T ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为32，公差为12.1312(1)222n n n T +∴=+-⨯=.22n T n ∴=+，∴ 当2n ≥时，1212221n n n T n n a T n n -++===++, 1n =时也成立.∴ 12n n a n +=+,故填12n n a n +=+.16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，点M 为1AA 的中点，且1MB MC ⊥，则平面1MBC 被长方体1111ABCD A B C D -截得的平面图形的周长为___________．【解析】长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，点M 为1AA 的中点，且1MB MC ⊥，如图所示：则设长方体的高为2x ，由于点M 为1AA 的中点，则AM x =，由于1MB MC ⊥，利用勾股定理22211MB MC BC +=，即()()2221214xxx +++=+，解得1x =，故长方体的高为2，则平面1MBC 被长方体1111ABCD A B C D -截得的平面图形为1BMNC ，连接1AD ，由于平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面1MBC I 平面11AA D D MN =，平面1MBC I 平面111BB C C BC =，1//MN BC ∴，易知11//AD BC ，1//MN AD ∴，M Q 为1AA 的中点，N ∴为11A D 的中点，所以，BM =MN =，1C N =，1BC ，因此，22+=故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2B A C =+，且2c a =. （1）求角,,A B C 的大小；（2）设数列{}n a 满足2cos()nn a nC =，其前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值.【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =. 又2c a =，所以222222π2cos 422cos33b ac ac B a a a a a =+-=+-⋅=，所以222c a b =+，所以ABC V 为直角三角形，且π2C =，所以πππ236A =-=. （2）由题意知，()π2cos 2cos2n nn n a nC === 0,2,n n n ⎧⎨⎩为奇数为偶数. 由题意可知212n k k S S S +=== 242020202k++++++=L()22241224143kk +--=-，k N ∈，由2224203k +-=，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =.18．（12分）已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下表：将所抽样本的频率视为概率。

2020年高考必刷卷文科数学(解析版)

①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（ , ）单调递减 2
③f(x)在[, ] 有 4 个零点
④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【详解】
解： f (x) sin | x | | sin(x) | sin | x | | sin x | f (x) 则函数 f (x) 是偶函数，故①正确，
则 FH 2 2 2 12 3 ，所以 EF 42 32 5
同理 EG 42 32 5
所以 S AFG S A1D1DA S A1FA SFD1G S ADG
16 4
21
42
2
2 4
2
2
16 4 2 12 8 2 4 2 4
所以选 D 点睛：本题考查了空间结构体的综合应用，正确找到 F、G 点的位置是解决问题的关键。因为求三角形面积的公式较多，因此需选择合适的方法求三角形面积。求三角形面积常见方法有：
值是
A． 30
B． 60
C． 90
D．120
【答案】D 【解析】
分析：利用特值法，当点 P 为椭圆 x2 y2 1 的上顶点时，求得 APB ，即可排除选项 A, B, C ， 3
从而可得结果. 详解：本题可用特值法将不合题意的选项排除，
当点 P 为椭圆 x2 y2 1 的上顶点时， tan OPA tan OPB 3, 3
所以小球的球心在以 2 为半径的圆上，相邻两小球的球心最小距离为 2，所以所有小球的球心连线正是该圆的内接正六边形，所以放入的小球个数最多为 6 个，故选 C.

押新课标全国卷第8题-备战2020年高考数学(文)临考题号押题(解析版)

押新课标全国卷第8题高考频度：★★★★★难易程度：★★☆☆☆1．（2019·湖南高考真题）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（新工件的体积材料利用率原工件的体积）（）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π【答案】A 【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积322162()327a a a ++-≤⨯=，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.2．（2019·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()1122262⨯+⨯⨯=，选C. 【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等. 3．（2019·北京高考真题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A ．2+√5B ．4+√5C ．2+2√5D ．5【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为2,2,1的长方体中的三棱锥：P−ABM，,S△PAB=√5，其中：S△ABM=2,S△PMA=S△PMB=√52+√5=2+2√5.故选C.该几何体的表面积为：2+2×√52【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.例1．（2020·广西高考模拟（文））右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a （）A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B 【解析】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．例2．（2020·陕西高考模拟（文））某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 【答案】B 【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.1．对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的，并注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置，画出分解后的简单几何体的三视图后，将其拼合即得组合体的三视图．2．由直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，同时也要注意看到的轮廓线用实线表示，看不到的轮廓线用虚线表示．3．画三视图时，要想象在几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，先画出影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能够看到的画成实线，不能看到的画成虚线．4．由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是由它们组成的组合体．若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成，根据它们的相对位置关系，想象出组合体的构成情况，再加以验证．5．求空间几何体的体积的常用方法（1）公式法．对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解．（2）割补法．把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．（3）等体积法．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．1．（2020·河南高三期末（文））已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A．P A，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为8 3C ．||||||PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为【答案】C 【解析】【分析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，2AC BC PD ∴===，AB ∴==，||||||DA DB DC ∴===||||||PA PB PC ∴====222PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，122PBAS ∆=⨯=122PBC PAC S S ∆∆===∴三棱锥P -ABC 的侧面积为+故正确的为C.2．（2020·合肥市高二期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A．41πB．16πC．25πD．64π【答案】A【解析】【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，⊥.扩展为长方体，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC.则BC PC它的对角线的PB=4π⋅=41π该三棱锥的外接球的表面积为：2故选：A3．（2020·甘肃兰州一中高二期末（文））某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．2B．3C．D．【答案】C【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从M到N的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得12,164,4OM ON==⨯=数形结合得M,N=故答案为C.【点睛】：（1）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答. 4．（2020·贵州省思南中学高三期末）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B 【解析】试题分析：该几何体是正方体在两个角各挖去四分之一个圆柱，因此32121282V ππ=-⨯⨯⨯=-．故选B ．5．（2020·山东省高三期末（文））如图，是一个圆柱被一个平面截去一部分后得到几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．912π+ B ．922π+C ．1112π+ D ．1122π+ 【答案】A 【解析】【分析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一个空间几何体，其中圆柱的底面圆的半径为1，母线长为2，且11AB A B==，即可求解．【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一个空间几何体，如图所示，其中圆柱的底面圆的半径为1，母线长为2，且11AB A B==，所以该几何体的表面积为233192122212144222Sπππ=⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯=+，故选A．【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的表面积的计算问题，其中根据给定的几何体的三视图还原得到几何体的形状，进而求解几何体的表面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．11。

2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析08

2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≥，{}23B x x =-<≤，则A B =I （） A ．[)2,3- B ．[]2,1--C ．[]1,1-D ．[)1,3【答案】B2．()()231i 1i +=-（）A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】D3．已知F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．2m D ．4m【答案】A4．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（） A ．516 B ．38C ．78D ．1516【答案】C5．设()f x 是周期为4的奇函数，当01x ≤≤时，()()1f x x x =+，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．14-C ．14D ．34【答案】A6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．3222++ B ．53222++C ．3322++D ．73222++【答案】D7．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入110011a =，2k =，6n =，则输出b 的值为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．19B ．31C ．51D ．63【答案】C8．在等比数列{}n a中，2a =，3a 112011172017a a a a +=+（）A ．29B ．49C ．23 D ．89【答案】D9．某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系是：sin cos T a t b t =+，()0,t ∈+∞，其中a ，b 是正实数．如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a b +的最大值是（） A．B ．10C．D ．20【答案】A10．设函数()()41lg 121f x x x=+-+，则使得()()324f x f x ->-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】D11．已知抛物线2:4C y x =，点()2,0D ，()4,0E ，M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交拋物线C 于点P ，Q ，连接PQ ，若直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则21k k =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C12．若函数()f x 满足()()3e xxf x f x x '-=，()10f =，则当0x >时，()f x （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设向量,a b 满足1==a b ，12=⋅﹣a b ，则|2|=+a b ____________．【答案】14．若,x y 满足约束条件20,1,70,x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤则y x 的最大值是__________．【答案】615．设等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足201611S S -=，则2017S =__________．【答案】2017201516．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_________cm ．【答案】4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )B c A a C b +=．（1）证明：A ，B ，C 成等差数列；（2）若ABC △b 的最小值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）因为2cos (cos cos )B c A a C b +=，所以由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin B C A A C B +=，即2cos sin()sin B A C B +=．在ABC △中，sin()sin A C B +=且sin 0B ≠，所以1cos 2B =．因为B ∈π（0，），所以3B π=．又因为A B C ++=π，所以223A CB π+==．所以A ，B ，C 成等差数列．（2）因为133sin 22ABCac B ==△S ，所以6ac =．所以222222cos 6b a c ac B a c ac ac =+-=+-=≥，当且仅当a c =时取等号．所以b 的最小值为6．18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，EF AC ∥，2AD =，3EA ED EF ===．（1）证明：AD BE ⊥；（2）若5BE =，求三棱锥F ABD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）63．【解析】（1）如图，取AD 的中点O ，连接EO ，BO ．因为EA ED =，所以EO AD ⊥．因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =，因为60DAB ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以BA BD =，所以BO AD ⊥．因为BO EO O =I ，所以AD ⊥平面BEO ．因为BE ⊂平面BEO ，所以AD BE ⊥．（2）在EAD △中，3EA ED ==，2AD =，所以222EO AE AO =-=．因为ABD △为等边三角形，所以2AB BD AD ===，3BO =．因为5BE =，所以222EO OB BE +=，所以EO OB ⊥．又因为EO AD ⊥，AD OB O =I ，所以EO ⊥平面ABCD ．因为EF AC ∥，112322ABD S AD OB =⋅⋅=⨯⨯△3=，所以11632333F ABD E ABD ABD V V S EO --==⋅=⨯⨯=△．19．某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量y 与年份t 之间的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区2018年的粮食产量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i tty y t y nt ybt t tnt ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bt =-．【答案】（1）()ˆ 6.52012260.2y t =-+；（2）预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨．【解析】（1）由所给数据可以看出，粮食年产量y 与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得4202405x --+++==，2111019293.25y --+++==，∴()()()()()()2222242121121942950 3.2260ˆ 6.540422450b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯-⨯⨯===-+-++-⨯，ˆ 3.2 6.50 3.2a=-⨯=．由上述计算结果，知所求线性回归方程为()()ˆˆˆ2572012 6.52012 3.2yb t a t -=-+=-+，即()ˆ 6.52012260.2yt =-+．（2）由（1）知，ˆ 6.50b=>，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6.5万吨．将2018t =代入（1）中的线性回归方程，得ˆ 6.56260.2299.2y=⨯+=，故预测该地区2018年的粮食产量为299.2万吨．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，点()2,1M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．若AOB ∠为钝角，求直线在y 轴上的截距m 的取位范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）()(U ．【解析】（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）由直线平行于OM ，得直线的斜率12OM k =，又在y 轴上的截距为m ，所以直线的方程为12y x m =+．由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=．因为直线与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->，解得22m -<<．设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<u u u r u u u r且0m ≠，则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()212125042m x x x x m =+++<，将122x x m +=-，21224x x m =-代入上式，化简整理得22m <，即m << 故m的取值范围是()(U ．21．设函数()e ln xf x x x =-，()xg x =，其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数．（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：()32f x >．【答案】（1）()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）见解析．【解析】（1）因为())0x g x x =>，所以()321e 2x g x x x -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>．故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）∵()e ln x f x x x =-，从而()32f x >等价于13223ln e 2xx x x+>．由（1）知()g x 在()0,+∞的最小值为1212g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设函数()323ln 2x h x x+=，则()5253ln 42h x x x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．所以当560,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当56e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．故()h x 在560,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递増，在56e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为55642e e 3h -⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为381e 4>34e >152422e e 3>．综上，当0x >时，()()g x h x >，()32f x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=．（1）若1m =，求直线交曲线C 所得的弦长；（2）若C 上的点到直线的距离的最小值为1，求m 的值．【答案】（1（2）6m =±．【解析】（1）曲线C 的普通方程为224x y +=．当1m =时，直线的普通方程为10x --=．设圆心到直线的距离为d ，则12d ==．从而直线交曲线C所得的弦长为2=（2）直线的普通方程为0x m -=．则圆心到直线的距离2m d =． ∴由题意知212m-=，∴6m =±． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =-+-．（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）若x ∀∈R ，()3f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ；（2）(][),24,-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =-时，()11f x x x =-++．由()3f x ≥得113x x -++≥．当1x -≤时，不等式可化为113x x ---≥，即32x -≤，此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．当11x -<≤时，不等式可化为113x x -++≥，即23≥，此时不等式()3f x ≥的解集为∅．当 1x >时，不等式可化为113x x -++≥，即32x ≥，此时不等式()3f x ≥的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上知不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．（2）方法一：∵()1113f x x x a x x a a =-+---+=-≥≥， ∴13a -≥或13a --≤，即4a ≥或 2a -≤． ∴a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．方法二：若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，()21,,1,1,21, 1.x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．若1a >，()21,1,1,1,21,.x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩≤≥此时()f x 的最小值为1a -．所以x ∀∈R ，()3f x ≥的充要条件是13a -≥，从而a 的取值范围是(][),24,-∞-+∞U ．。

(文科数学)2020届高考数学备战冲刺预测卷8(附答案解析)

2019届高考数学备战冲刺预测卷8 文1、设i 是虚数单位,若复数3i1i z =-,则z = ( ) A.1122i - B. 112i +C. 1122i +D. 112i -2、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B ⋂= ( ) A. {}2 B. {}2,3 C. {}3 D. {}1,33、已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数,若()()2g x f x =-是奇函数,且()20g =,则不等式()0xf x ≤的解集是( )A. (][),22,-∞-⋃+∞B. [)[4,2]0,--⋃+∞C. (][),42,-∞-⋃-+∞D. (][),40,-∞-⋃+∞4、已知实数a (0a >且1a ≠), x ,则“1x a >”的充要条件为( ) A. 01,0a x <<< B. 1,0a x >> C. ()10a x -> D. 0x ≠5、在等比数列{}n a 中,若44a =,则26a a ⋅等于( )A.4B.8C.16D.326、阅读程序框图,运行相应程序,则输出i的值为( )A.3B.4C.5D.67、已知实数,x y的最小值为350{10x yx yx a++≥+-≤+≥,2z x y=+的最小值为4-则实数a的值为( )A.1B.2C.4D.88、已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A.23B. 33+93+D. 239、已知实数a、b是利用计算机产生0~1之间的均匀随机数,设事件()()221114A a b=-+->,则事件A发生的概率为( )A. 116π-B.16π C. 14π-D. 4π10、双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为( )A. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. ⎫⎪⎪⎝⎭D.)11、△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若232cos cos 22A B C -+=,且△ABC 的面积为214c ,则C = ( ) A.6π B. 3πC. 6π,56πD. 3π,23π12、若函数()42f x ax bx c =++满足()'12f =,则()1f '-= ( )A.-1B.-2C.2D.013、已知在等腰直角ABC ∆中, 2BA BC ==,若2AC CE =u u u r u u u r ,则BC BE ⋅u u u u r u u u r等于__________14、若42log (34)log a b +=则a b +的最小值是__________.15、若直线4y =+与圆22:14O x y +=相交于,?A B 两点,则AB =__________.16、下列命题: ①函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦; ②函数3cos 2sin 2y x x =-图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭;③已知(1,2),(1,1)a b ==r r ,则a r 在b r 方向上的投影为322;④若方程sin 203x a π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解1?2,x x ,则126x x π+= 其中正确命题的序号为__________17、已知在等比数列{}n a 中，12a =，且123,,2a a a -成等差数列. 1.求数列{}n a 的通项公式； 2.若数列{}n b 满足：212log 1n n nb a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18、如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥平面ABC ,ABC ∆为正三角形,16AA AB ==,D 为AC 的中点1.求证:平面1BC D ⊥平面11ACC A2.求三棱锥1C BC D -的体积19、某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取一名,抽到第二批次中女职工的概率是0.16.第一批次第二批次第三批次女教职工196xy1.求x 的值;2.现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名?3.已知96,96y z ≥≥,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.20、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点3(1,),2且长轴长等于4.1.求椭圆C 的方程,2. 12,F F 是椭圆C 的两个焦点,圆O 是以12F F 为直径的圆,直线:l y kx m =+与圆O 相切,并与椭圆C 交于不同的两点,A B ,若32OA OB ⋅=-u u u r u u u r ,求k 的值.21、设函数21()ln (,,0)2f x c x bx b c R c =++∈≠,且1?x =为f ()x 的极值点.1.若1?x =为f ()x 的极大值点,求f ()x 的单调区间(用c 表示);2.若()0f x =恰有两解,求实数c 的取值范围.22、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为{sin x y αα== (其中α为参数),曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 1.求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程 2.若射线06πθρ=>（）()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,?A B 两点,求AB23、[选修4—5:不等式选讲]已知函数()()21R f x x x a a =++-∈. 1.若1a =,求不等式()5f x ≥的解集; 2.若函数()f x 的最小值为3,求实数a 的值.答案1.C解析： ()()()3i 1i i i 1i 1i1i 1i 1i 1i 222⋅-+====+--+- 2.D 3.C解析：由()()2gx f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的,且()()200g g ==, ()()()()()4220,200,f g g f g -=-=-=-==结合函数的图象可知,当4x ≤-或2x ≥-时, ()0xfx ≤.故选:C.4.C解析：由1x a >知, 0x a a > 当01a <<时, 0?x <; 当1a >时, 0x >,故"1x a >"的充要条件为"()10a x ->". 故选C. 5.C解析：根据等比数列的性质知22264416a a a ⋅===.故选C.6.B7.B8.B解析：由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形，所以其表面积为2213612(2)332⨯++⨯⨯=+．故选B ． 9.A解析：如图所示, a 、 b 表示图中的单位正方形,满足题意的点位于阴影部分之内,利用几何概型计算公式可得()21142111116p A ⎛⎫⨯π⨯ ⎪π⎝⎭=-=-⨯.10.C解析：双曲线方程2221x y -=化为22112y x -=,∴21a =,21b ? 2=,∴232c =,6c =,所以右焦点为62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.点评:本题主要考查双曲线的基本性质.在求双曲线的焦点时,一定要先判断出焦点所在位置,在下结论,以免出错.11.A 12.B解析：()()3'42,'1422f x ax bx f a b =+=+=,所以()()'142422f a b a b -=--=-+=-,故选B 13.-214.7+解析：由42log (34)log a b +=得34a b ab +=,且0,0a b >>,∴43ba b =-,由0a >,得3b >.∴44(3)1212(3)7333b b a b b b b b b b -++=+=+=-++---77≥= (当且仅当1233b b -=-时取等号),即a b +的最小值为7+.15.16.①②③④17.1.设等比数列{}n a 的公比为q123,,2a a a -∵成等差数列213332(2)2(2)a a a a a =+-=+-=∴ 131222(N )n n n a q a a q n a -*==⇒==∈∴ 2. 221112log 1()2log 21()2122n n n n n n b a n a =+-=+-=+-∵ 231111(+1)+[()+3]+[()+5]++[()+(21)]2222n n S n =-L ∴231111[()()()][135(21)]2222n n =+++++++++-L L 211[1()][1(21)]122()1(N )122n n n n n n *-⋅+-=+=-+∈ 解析：18.1.证明:因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA BD ⊥,因为底面ABC 正三角形, D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥, 因为1AA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面11ACC A ,因为平面BD ⊂平面1BC D ,所以平面1BC D ⊥平面11ACC A 2.由1知ABC ∆中, BD AC ⊥,sin 6033BD BC =︒=,所以1933332BCD S ∆=⨯⨯=, 所以111936933C BC D C C BD V V --==⨯⨯= 19.1.由69000.1x=,解得144x = 2.三批次的人数为()900196204144156200y z +=-+++=,设应在第三批次中抽取m 名,则54200900m =,解得12m =。

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（八）数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（八）数学（文）（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3,3] B ．[－2,2] C ．[－4,4] D ．∅ 答案 B解析由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}． 2．已知复数z ＝2＋b i(b ∈R )(i 为虚数单位)的共轭复数为z －，且满足z 2为纯虚数，则z z －＝( )A ．2 2B ．2 3C ．8D ．12 答案 C解析 ∵z 2＝4－b 2＋4b i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－b 2＝0，4b ≠0，解得b ＝±2，∴z z －＝|z |2＝22＋b 2＝8.3．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．k ≥16?B ．k <8?C ．k <16?D ．k ≥8? 答案 A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：S k 是否继续循环循环前 0 1 — 第一圈12是第二圈3 4 是第三圈 7 8 是第四圈1516否4．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn ＝( )A.13B.12 C ．2 D ．3 答案 A解析由题意得，甲组数据为：24,29,30＋m,42；乙组数据为：25,20＋n,31,33,42.∴甲、乙两组数据的中位数分别为59＋m2，31，且甲、乙两组数的平均数分别为 x －甲＝24＋29＋(30＋m )＋424＝125＋m 4，x －乙＝25＋(20＋n )＋31＋33＋425＝151＋n 5，由题意得⎩⎨⎧59＋m 2＝31，125＋m 4＝151＋n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝9.∴m n ＝39＝13.5．(2019·南昌调研)给出下列四个函数：①f (x )＝2x －2－x ；②f (x )＝x sin x ；③f (x )＝log 33－x3＋x；④f (x )＝|x ＋3|－|x －3|.其中是奇函数的编号为( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④ 答案 B解析对于①，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以是奇函数；对于②，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以是偶函数；对于③，f (－x )＝log 33＋x 3－x ＝－log 33－x3＋x ＝－f (x )，所以是奇函数；对于④，f (－x )＝|－x ＋3|－|－x －3|＝|x －3|－|x ＋3|＝－(|x ＋3|－|x －3|)＝－f (x )，所以是奇函数．故选B.6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，0≤x ≤1，x ＋y －1≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最小值为( )A.92 B ．5 C.322 D.5 答案 A解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)：其中A (1,2)，B (0,1)，C (1,0)，z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示可行域内的点与P (－1，－1)距离的平方，过点P 作直线x ＋y －1＝0的垂线，设垂足为Q ，|PQ |＝|－1－1－1|12＋12＝32， z min ＝|PQ |2＝92.7. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD→＝( )A．10 B．11 C．12 D．13答案B解析以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，据此可得AB→＝(4,1)，AC→＝(6,4)，结合平面向量的平行四边形法则有AD→＝AC→－AB→＝(2,3)，则AB→·AD→＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.8．(2019·辽宁葫芦岛二模)近年来随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个．某二线城市2018年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策，以下简称新政)：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户．新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年(即2017年)与新政执行一年(即2018年)新增落户人口学历构成比例，得到如下饼状图：则下面结论中错误的是()A．新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C ．新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D ．新政对专科生在该市落实起到了积极的影响答案 B解析设2017年全年新增落户人数为x ，则2018年全年新增落户人数为2x ，根据两个饼状图可知：年份高中及以下全年新增落户人数专科全年新增落户人数本科全年新增落户人数硕士及以上全年新增落户人数 2017 0.09x 0.26x 0.49x 0.16x 20180.1x0.58x1.16x0.16x9．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是( )A ．4 B.83 C.163 D.423 答案 A解析由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为a ，高为x ，则直观图中等腰梯形的腰为2x ，面积S ′＝12(a ＋a ＋2x )x ＝(a ＋x )x ，由斜二测画法的特点知原底面梯形的高为22x ，面积S ＝12(a ＋a ＋2x )·22x ＝22(a ＋x )x ，∴S ＝22S ′＝22×2＝4，故四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4×3＝4，故选A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫也可用结论直接得出S 原S 直＝22，S 底＝22S ′＝4，V ＝13S 底×h ＝13×4×3＝4.10．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40° C.1sin50° D.1cos50° 答案 D解析由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D.11．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析由题意可得函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2＝AP ＋PF ，当A ，P ，F 三点共线时，f (x )取得最小值5；当P 与B 或C 重合时，f (x )取得最大值2＋1.求函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数，即为求f (x )＝83的解的个数，由f (x )的最大值2＋1<83，可知函数f (x )＝83无解．12．已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AF →＝2FB →，S△OAB ＝23|AB |，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝14xC ．y 2＝8xD ．y 2＝18x 答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AF→＝2FB →，则y 1＝－2y 2，又由抛物线焦点弦性质，y 1y 2＝－p 2，所以－2y 22＝－p 2，得|y 2|＝22p ，|y 1|＝2p ， 1|AF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ，得|BF |＝34p ，|AF |＝32p ，|AB |＝94p .S △OAB ＝12·p 2·(|y 1|＋|y 2|)＝328p 2＝23·94p ，得p ＝2，抛物线的标准方程为y 2＝4x . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量a ＝(1，－2)，a ＋b ＝(x,8)，c ＝(－2,1)，若b ∥c ，则实数x 的值为________．答案－19解析由已知可得b ＝(x －1,10)，由b ∥c 得x －1＝－20，则x ＝－19.14．如图，在体积为V 1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面，共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V 2，则V 2V 1＝________.答案 23解析设上下圆锥的高分别为h 1，h 2，圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h ，则V 2V 1＝πr 2h －13πr 2(h 1＋h 2)πr 2h ＝πr 2h －13πr 2hπr 2h ＝23.15．(2019·太原模拟)已知θ为锐角，且2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝5cos2θ，则tan θ＝________.答案 56解析由已知得2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝5(cos 2θ－sin 2θ)，即sin θ(sin θ＋cos θ)＝5(sin θ＋cos θ)(cos θ－sin θ)．因为θ为锐角，所以sin θcos θ－sin θ＝5，所以tan θ1－tan θ＝5，得tan θ＝56.16．已知数列{a n }，令P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)，则称{P n }为{a n }的“伴随数列”，若数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为P n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，52解析由题意，P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)，则a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1， a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n ，则2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)2n ＝(n ＋1)2n ，则a n ＝2(n ＋1)，对a 1也成立，故a n ＝2(n ＋1)，则a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{a n －kn }为等差数列，故S n ≤S 4对任意的n (n ∈N ＋)恒成立可化为a 4－4k ≥0，a 5－5k ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4(2－k )＋2≥0，5(2－k )＋2≤0，解得125≤k ≤52.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·河南八市重点高中联盟第五次测评)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，∠ACB ＝90°.(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面A 1B 1C ；(2)若∠A 1AC ＝60°，AC ＝2CB ＝2，求四棱锥A －BCC 1B 1的体积．解 (1)证明：∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∠ACB ＝90°，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥A 1C ，∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1，2分∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，又A1C⊂平面A1B1C，∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.5分(2)∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，∴S△ACC1＝12×2×2×sin60°＝3，7分∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，∴V B1－ACC1＝13S△ACC1·B1C1＝13×3×1＝33，10分∴V A－BCC1B1＝2V A－CC1B1＝2V B1－ACC1＝233，即四棱锥A－BCC1B1的体积为233. 12分18．(本小题满分12分)如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)因为在△ABC中，cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45，2分所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝6365，4分由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，所以AB ＝AC sin Csin B ＝1040米，所以索道AB 的长为1040米.6分(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )米，乙距离A 处130t 米，所以由余弦定理，得7分 d 2＝(130t )2＋2500(t ＋2)2－2·130t ·50(t ＋2)·1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤37⎝ ⎛⎭⎪⎫t －35372＋62537，t ∈[0,8]，11分故当t ＝3537时，甲、乙的距离最短．所以乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.12分19．(2019·山东济南3月模拟)(本小题满分12分)某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)结合图形，写出集合M ；(2)根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯(其中b ∈M ，a ＋b ＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？解 (1)由题意可知当一级滤芯更换9,10,11个时，二级滤芯需要更换3个，2分当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M ＝{3,4}. 4分(2)由题意可知二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，5分在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，6分设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ，所以P (A )＝30100＝0.3.7分(3)因为a ＋b ＝14，b ∈M ，①若a ＝10，b ＝4，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×10×30＋(100×10＋200)×40＋(100×10＋400)×30＋200×4×100100＝2000.9分②若a ＝11，b ＝3，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×11×70＋(100×11＋200)×30＋200×3×70＋(200×3＋400)×30100＝1880，11分所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个.12分20．(2019·湖北宜昌元月调考)(本小题满分12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (0,4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得S △MAF ＝S △MNF .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)∵c a ＝12，b ＝3，且有a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.4分(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋4，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋4，y 24＋x 23＝1⇒(3k 2＋4)x 2＋24kx ＋36＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(24k )2－144(3k 2＋4)＞0， ①x 1＋x 2＝－24k 3k 2＋4， ②x 1x 2＝363k 2＋4， ③ 6分∵S △MAF ＝S MNF ，∴M 为线段AN 的中点，∴x 2＝2x 1， ④将④代入②，解得x 1＝－8k 3k 2＋4， ⑤8分将④代入③，得x 21＝183k 2＋4， ⑥ 将⑤代入⑥，解得k 2＝365， ⑦10分将⑦代入①检验成立，∴k ＝±65，即存在直线l ：6x －5y ＋45＝0或6x ＋5y －45＝0符合题意.12分21．(2019·山西吕梁一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ln x ＋1.(1)求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )＞3.解 (1)因为f ′(x )＝e x －1x ，又f (1)＝e ＋1，f ′(1)＝e －1，所以y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即所求切线方程为y ＝(e －1)x ＋2.4分(2)证明：由(1)，知f ′(x )＝e x －1x ，易知f ′(x )在区间(0，＋∞)上单调递增，因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，且f ′(1)＞0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f ′(x 0)＝0，即f ′(x )＝0有唯一的根，记为x 0，则f ′(x 0)＝e x 0－1x 0＝0，对e x 0＝1x 0两边取对数，得ln e x 0＝ln 1x 0，整理，得x 0＝－ln x 0，8分因为x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0－ln x 0＋1＝1x 0＋x 0＋1≥3，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立，因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f (x )min ＞3，即f (x )＞3.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝λ(λ>0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若OA ⊥OB ，求直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴交于P 点，△OAP 的面积是△OBP 面积的3倍，求λ的值．解 (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(cos θ＋sin θ)＝λ，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝λ(λ>0)，2分联立，得⎩⎨⎧ x ＝－y ＋λ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2－2λy ＋λ2－2＝0， Δ＝4λ2－12(λ2－2)>0，即λ2<3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(λ－y 1)(λ－y 2)＋y 1y 2＝2y 1y 2－λ(y 1＋y 2)＋λ2＝0，4分即2×λ2－23－λ×2λ3＋λ2＝0，则λ2＝43，由于λ>0，因而λ＝233，故直线l 的直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.5分(2)易知S △OAP ＝12|OP |·|y 1|＝3S △OBP ＝32|OP |·|y 2|，因而|y 1|＝3|y 2|，6分由(1)知y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，①若y 1，y 2均为正，则y 1＝3y 2，则4y 2＝2λ3，3y 22＝λ2－23，得λ＝263；8分②若y 1，y 2一正一负，则y 1＝－3y 2，则－2y 2＝2λ3，－3y 22＝λ2－23，得λ＝1.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x )＋2|x |≤4的解集为A .(1)求集合A ；(2)证明：对于任意的x ，y ∈∁R A ，|xy ＋1|>|x ＋y |恒成立．解 (1)不等式f (x )＋2|x |≤4，即|x －1|＋2|x |≤4，当x ≥1时，得x －1＋2x ≤4⇒x ≤53，所以1≤x ≤53；2分当0<x <1时，得1－x ＋2x ≤4⇒x ≤3，所以0<x <1；3分当x ≤0时，得1－x －2x ≤4⇒x ≥－1，所以－1≤x ≤0.4分综上，不等式的解集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53.5分(2)证明：若证|xy ＋1|>|x ＋y |，即证|xy ＋1|2>|x ＋y |2，即证x 2y 2＋2xy ＋1>x 2＋2xy ＋y 2成立，即证x 2y 2－x 2－y 2＋1>0，即证(x 2－1)(y 2－1)>0.7分∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53， ∴∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >53.8分∵x ，y ∈∁R A ，∴|x |>1，|y |>1，∴x 2>1，y 2>1，∴(x 2－1)(y 2－1)>0成立，即原命题得证.10分。

2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(八)

2020届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（八）本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式:样本数据x 1,x 2，…，x n .的方差s 2=])(....)()[(n122221x x x x x x n -++-+- 其中x 为样本平均数柱体体积公式V = Sh 其中S 为底面面积，h 为髙锥体体积公式V=h 31S 其中S 为底面面积，h 为髙球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=34πR 2其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A=}065x N {x 2≤-+∈x ，B=}{A C C ⊆，则集合B 中元素的个数为A.3B.4C.27D.28 2.已知复数z 满足i z12z =-+，则z 的值为 A.25 B.45 C.210 D.25 3.在△ABC 中，75==BC BA ，，D 为AC 中点，则AC BD ⋅的值为 A.-1 B.-2 C.l D.24.—个三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上正方形小格的边樣为1，则该几何体的体积为 A.332 B.364C.32D.64 5.设命题R x p ∈∃:"使得ax 2+x+1<0”，命题x x 31-a 3f :"q -⋅+=）（）（x 为增函数”若q p ∧⌝为真命题，则实数a.的取值范围是 A.（-∞,1] B.[41,1) C.(41,1] D.[41,1]6.我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中有一两鼠穿垣问题，其内容如下：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两侧，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第—天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半.则它们何时相遇？下图为计算该问题的程序框图，若输人的P 为5，则输出的t 值为A.1 52 B.1 54 C.2176 D.2 172 7.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a ，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则A.平均分变大，方差变大B.平均分变小，方差变小C.平均分变小，方差变大D.平均分不变，方差变小8.已知函数f(x)=sin(6x πω+)(0>ω)，对任意的x ∈R 有分f （x 1）≤f(x)≤f(x 2)^恒成立,且丨x 1-x 2丨的最小值为2π，则下列结论正确的是A.f(6x π-)是奇函数 B.f(6x π+)是偶函数C.点（06，π)是f(x)的一个对称中心 D.x=-6π是f(x)的一条对称轴9.若a >b >0,0<c <1,则A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c<b cD.c a>cb10.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为A.√32B.√22C.√33 D.1311.若函数f (x )=x-13sin 2x+a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是A.[-1,1]B.[-1,13] C.[-13,13] D.[-1,-13]12.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π第II 卷（非选择题共90分）第II 卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题-23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：（本大提共4题每题5分共20分，把答案填在题中横线上）13．设向量a =(x ,x+1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 14．已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15．设直线y =x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=1,a n b n+1+b n+1=nb n.3(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18．（本小题，满分12分）如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.（本小题，满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n 的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20．（本小题，满分12分）在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21．（本小题，满分12分）已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22．（本小题，满分10分）OA为半径作如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,12圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥C D.23．（本小题，满分12分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acosty =1+asint (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a . 24．已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y =f (x )的图象; (Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.数学（供文科考生使用）参考答案1.B2.C3.C4.A5.D6.D7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.A13.-23【解析】本题考查平面向量垂直的性质,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.因为a=(x,x+1),b=(1,2),a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.【备注】本题从平面向量的数量积为0入手,转化为含x的方程,解题十分顺畅,体现了向量的思维应用价值.14.-43【解析】本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式等知识.通性通法因为sin(θ+π4)=35,所以cos(θ-π4)=sin[π2+(θ-π4)]=sin(θ+π4)=35,因为θ为第四象限角,所以-π2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-3π4+2kπ<θ-π4<2kπ-π4,k∈Z,所以sin(θ-π4)=-√1−(35)2=-45,所以tan(θ-π4)=sin(θ−π4)cos(θ−π4)=-43.光速解法因为θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos(θ+π4)=45,所以tan(θ-π4)=sin(θ−π4)cos(θ−π4)=−cos[π2+(θ−π4)]sin[π2+(θ−π4)]=-cos(θ+π4)sin(θ+π4)=-43.【备注】本题易错点是利用同角三角函数的基本关系式求余弦值时,未注意到角的取值范围,或注意到角的取值范围,但因为角在某象限的三角函数值的符号判断出错,导致求解的结果出错.15.4π【解析】本题考查直线与圆的位置关系,圆的面积等知识,意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力.圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=√a2+2,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为|−a+2a|√2=|a|√2,所以(|a|√2)2+(√3)2=(√a2+2)2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.【备注】破解此类题的关键是过好三关:一是借形关,即会思图与用图;二是方程关,利用直角三角形(弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形)寻找关于参数的方程;三是公式应用关,即利用圆的面积公式求解.16.216 000【解析】本题考查线性规划的实际应用,意在考查考生的实际应用能力,以及运算求解能力.设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件,y 件,生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元.依题意得{ 1.5x +0.5y ≤150x +0.3y ≤905x +3y ≤600x ∈N y ∈N,即{ 3x +y ≤30010x +3y ≤9005x +3y ≤600x ∈N y ∈N , 目标函数为z =2 100x+900y .其可行域为四边形OMNC 及其内部区域中的整点,其中点O (0,0),M (0,200),N (60,100),C (90,0),当直线z =2 100x+900y 经过点N (60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000,即生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.【备注】破解此类题的关键:一是构建模型,读懂应用背景,构建简单线性规划模型.二是判断二元一次不等式表示平面区域的方法——“选点法”:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.三是求线性目标函数的最值的一般步骤:一画二移三求.本题突破口是准确作出可行域,准确理解z 的几何意义,就可以借助图形得到答案.17.(Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n ,得b n+1=bn 3,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则 S n =1−(13)n 1−13=32-12×3n−1. 【解析】本题考查等差数列,数列的递推关系式,等差数列的通项与等比数列的前n 项和公式等知识,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力. (Ⅰ)把n =1代入式子a n b n+1+b n+1=nb n ,即可求出数列{a n }的首项,再利用等差数列的通项公式,即可求其通项公式;(Ⅱ)将(Ⅰ)中得到的{a n }的通项公式代入式子a n b n+1+b n+1=nb n ,即可判断{b n }为等比数列,再利用等比数列的前n 项和公式,得出结果.【备注】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.首项与公差是等差数列的“基本量”,首项与公比是等比数列的“基本量”.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法.18.(Ⅰ)因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE .所以AB ⊥平面PED ,故AB ⊥PG .又由已知,可得PA =PB ,所以G 是AB 的中点.(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下:由已知可得PB ⊥PA ,PB ⊥PC ,又EF ∥PB ,所以EF ⊥PA ,EF ⊥PC ,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由(Ⅰ)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD =23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA =6,可得DE =2,PE =2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2.所以四面体PDEF 的体积V =13×12×2×2×2=43.【解析】本题考查空间几何体中线、面的位置关系等知识,意在考查考生的空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力.(Ⅰ)欲证G 是AB 的中点,只需证明PG ⊥AB .(Ⅱ)利用三棱锥的体积公式求解四面体PDEF 的体积.【备注】无19.(Ⅰ)当x ≤19时,y =3 800;当x >19时,y =3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y 与x 的函数解析式为y ={3 800,x ≤19500x −5 700,x >19(x ∈N). (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4 000×90+4 500×10)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】本题考查柱状图、频数、平均数等知识,意在考查考生的数据处理能力、统计意识和应用意识,化归与转化能力,运算求解能力.(Ⅰ)读懂题意与柱状图,即可用分段函数的形式表示y 与x 的函数解析式;(Ⅱ)读懂不小于即是大于或等于,并且把频率问题转化为频数问题,即可求出n 的最小值;(Ⅲ)分别求出n =19与n =20时,这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,比较平均数大小,即可得出结论.【备注】本题易错点有两处:一是混淆了频率分布直方图与柱状图,导致全题皆错;二是审题不清或不懂题意,导致解题无从入手.避免此类错误,需认真审题,读懂题意,并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别,纵轴表示的意义.20.(Ⅰ)由已知得M(0,t),P(t 22p,t).又N为M关于点P的对称点,故N(t 2p ,t),ON的方程为y=ptx,代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p .因此H(2t2p,2t).所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.【解析】本题考查抛物线的图象和性质,直线和抛物线的位置关系等知识,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)利用对称性与线段的中点坐标公式,即可得|OH||ON|的值;(Ⅱ)判断直线MH与C的位置关系,即可得出结论.【备注】破解此类解析几何题的关键:一是“对称”引路,利用线段中点的坐标公式即可快速求出两线段的比值;二是“转化”桥梁,即会利用分析法,把所需判断直线与抛物线是否有其他公共点的问题转化为判断直线MH与C的位置关系问题.21.(Ⅰ)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(ii)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1+∞)时,f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(iii)设a<0,若a≥-e2,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-e2,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).【解析】本题考查函数的单调性,函数的零点,导数的应用等知识,意在考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.(Ⅰ)先求f'(x),对参数a进行分类讨论,由f'(x)>0(f'(x)<0),得函数f(x)的单调递增(减)区间.(Ⅱ)对参数a进行分类讨论,利用导数法判断函数的单调性,从而判断是否有两个零点,最后确定a的取值范围.【备注】判断可导函数的单调性的关键:首先,确定函数的定义域;其次,求导数f'(x);最后,对参数进行分类讨论,解不等式f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间,解不等式f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间.注意:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.有关函数的零点问题常用导数法,判断函数的图象特征,寻找关于参数的不等式(组),从而求得结果.22.(Ⅰ)设E是AB的中点,连接OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线在Rt△AOE中,OE=12AB与☉O相切.(Ⅱ)连接OD,因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB .同理可证,OO'⊥CD .所以AB ∥CD .【解析】本题考查等腰三角形的性质,直线与圆相切,四点共圆的性质,线线平行的证明等知识,意在考查考生的数形结合能力,化归与转化能力.(Ⅰ)欲证直线AB 与☉O 相切,只需取AB 的中点,证明点O 与该中点的连线与AB 垂直,根据△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°易得结论;(Ⅱ)利用四点共圆的性质,即可证明AB ∥CD .【备注】破解此类题的关键:一是需熟记直线与圆相关的性质与定理,解题才有路;二是注意数形结合思想与转化思想在解题中的适时应用.23.(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2. C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2−2ρsinθ+1−a 2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0, 由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a =1.【解析】本题考查圆的参数方程,圆的极坐标方程与直线的极坐标方程,直线与圆的位置关系等知识.(Ⅰ)把曲线C 1的参数方程化为普通方程,即可判断出其表示的曲线,再利用极坐标公式化为极坐标方程;(Ⅱ)由已知两圆的公共点都在直线θ=α0上,可得关于参数a 的方程组,解方程组,求a 的值.【备注】求解此类问题的关键:首先,会转化,把圆的参数方程转化为普通方程,在转化过程中,一定要注意等价性,关注参数的取值范围;还需掌握极坐标与直角坐标的互化.其次,懂技巧,利用两圆的公共点都在直线上,寻找参数的方程.最后,会解方程.24.(Ⅰ)f (x )={x −4,x ≤−1,3x −2,−1<x ≤32,−x +4,x >32,y =f (x )的图象如图所示.(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象,当f (x )=1时,可得x =1或x =3; 当f (x )=-1时,可得x =13或x =5,故f (x )>1的解集为{x|1<x <3}; f (x )<-1的解集为{x|x <13或x >5}. 所以|f (x )|>1的解集为{x|x <13或1<x <3或x>5}.【解析】本题考查含有绝对值的函数的图象,解含有绝对值的不等式等知识.(Ⅰ)利用零点分区间法,先化简函数y=f(x),再画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)由y=f(x)的图象,可得不等式|f(x)|>1的解集.【备注】本题易错点有两处:一是用零点分区间法时,化简函数y=f(x)出错,导致所画的图象出错;二是不会利用图象的对称性来判断y=|f(x)|的图象,绕了一大弯,重新求解不等式.为避免出错,只需化简认真,图象用活,便可轻松破解。

2020届高考数学冲刺模拟试卷(八)含答案

1 / 302020届高考数学冲刺模拟试卷（八)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}A x x a =≤，()21221{|log 4log }5B x x x =-≥，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围为 A ．()1,5- B ．[]0,4 C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-2．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知随机变量ξ服从正态分布)49,1(N ，则=≥)4(ξP （）2 / 30A ．0013.0B ．0026.0C ．0228.0D ．0456.04．一个物体的位移s (米)与时间t (秒)的关系为22+10s t t =-，则该物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．6米/秒B ．5米/秒C ．4米/秒D ．3米/秒5．将函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象沿x 轴向右平移6π个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的值可以是（）A ．3π B ．6π C ．56π D ．23π 6．已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,)eB ．(0,1)C ．(0,)eD ．(0,1)7．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．2 B ．1C ．2D ．28．已知函数，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

浙江省2020届高三新高考考前原创冲刺卷(八)数学 Word版含解析

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浙江新高考考前原创冲刺卷（八）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+，
若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=，
台体的体积公式()
112213V S S S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式13
V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高，球的表面积公式24S R π=
球的体积公式343
V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}12A x x =-，{}1,2,3B =，则A
B =（） A. [)1,3-
B. {}1,2,3
C. {}1,1,2-
D. {}1,2 【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集的定义求出A B 即可.
【详解】因为{}12A x x =-，{}1,2,3B =，
所以{}1,2A B =，。

2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷(八)文科数学

2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B. 或C. D.【答案】A【解析】解：，．故选：A．求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.若其中i为虚数单位，则复数z的虚部是A. 2iB.C.D. 2【答案】D【解析】解：，复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.等差数列的前n项和为，若，则A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D【解析】解：．故选：D．本题考查了等差数列的前n项和，是基础题．4.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使与的面积都小于4的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，由与的面积都小于4，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积都小于4，由于，则点P到AB的距离，同样，，点到AD的距离要小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是．使得与的面积都小于4概率为：．故选A．5.从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】解：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共种．故选：C．由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于基础题6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答．【解答】解：将的图象向右平移个单位，得，则为偶函数，在上单调递增，故A正确，的最大值为1，对称轴为，，即，，当，图象关于对称，故B错误，由，，函数单调递增，，，在上不是单调函数，故C错误，函数的周期，不关于点对称，故D错误．故选A．7.已知数列，则是数列是递增数列的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【解析】解：数列是递增数列，例是1，2，3，1，数列不为递增数列，即是数列是递增数列的不充分条件当数列是递增数列，则恒成立，即，即是数列是递增数列的必要条件故是数列是递增数列的必要不充分条件，故选：B．由数列是递增数列，当数列是递增数列，则恒成立，即本题考查了等差数列的概念，特殊与一般的思想方法，属简单易错题．8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C【解析】【分析】本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，是基础题．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由，，满足，则，由，则，由，则，由，则，由，则退出循环，输出．故选C．9.在四边形ABCD中，，，则A. 5B.C.D. 3【解析】解：不妨用特例法完成，如图，在菱形ABCD中，，，则，，，，在中，求得，，故选：C．作为选择题，此题更适合用特例法，让AC，BD互相垂直平分，得到菱形ABCD，易得边长，再进一步变换式中向量，用数量积求解．此题考查了特例法解选择题，向量相等，向量加法，数量积等，难度适中．10.若长方体的顶点都在体积为的球O的球面上，则长方体的表面积的最大值等于A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B【解析】解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，再设球的半径为R，则由，得．，长方体的表面积为：．当时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．故选：B．设出长方体的三度，由球的体积求出长方体的对角线的长，得到长方体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求最大值．本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．11.如果函数满足，则的一个正周期为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数满足，则的一个正周期为，故选：A．根据，依据函数的最小正周期的定义，得出结论．本题主要考查函数的最小正周期的定义，属于基础题．12.下列四个命题：；；；，其中真命题的个数是为自然对数的底数A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：构造函数，导数，当时，，递增；时，，递减．可得取得最大值．由，可得，即有，即，故不正确；由，可得，即有，即，故正确；设，可得，在时，，即有，故正确；由，可得，而，则，故正确．故选：C．构造函数，求得导数和单调性、最值，由，可判断；由可判断；由，结合不等式的性质可判断；由，可得，可判断．本题考查两个数的大小比较，注意运用构造函数法，以及导数判断单调性，考查化简运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.______．【答案】【解析】解：．故答案为：．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．14.在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于______．【答案】15【解析】解：在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，所以的二项展开式中的通项为：，令得，常数项为：，故答案为：15．在展开式中，令可得所有项系数和，可解得，再由通项公式可得常数项为15本题考查了二项式定理．属中档题．15.满分为100分的试卷，60分为及格线，若满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照，，，分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率实数a的取整等于不超过a的最大整数，如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩则按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为______．【答案】18【解析】解：由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：，所以，按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为：．故答案为：18．由题意卷面36分及36分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面36分以下的学生的频率为：，由此能求出这次测试的不及格的人数．本题考查及格率求法，考查频率分直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.已知存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【解答】解：当时，，令，解得，函数有两个零点，舍去．当时，，令，解得或．当时，，当或，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．故是函数的极大值点，0是函数的极小值点．函数存在唯一的零点，且，则，即得舍或．当时，，当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．是函数的极大值点，0是函数的极小值点．，函数在上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a的取值范围是．故答案为：．【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知向量．当时，求的值；已知钝角中，角B为钝角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，若函数，求的值．【答案】解：向量，，，即，．，，，，由角B为钝角知：，，．【解析】本题主要考查了平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊角的三角函数值的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于中档题．利用平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式可求tan x的值，化简所求即可计算得解．利用正弦定理化简已知等式，结合，可求，结合角B为钝角知：，化简函数利用特殊角的三角函数值即可计算得解．18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占，统计情况如表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100求a，d的值，根据以上数据，能否有的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：【答案】解：因为人中同意父母生“二孩”占，所以，；由列联表可得；而，所以有的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；由题意知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为，由于总体容量很大，故X服从二项分布，即，，，1，2，3，4；XX01234PX的数学期望为．【解析】根据题意求出a、d的值，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是中档题．19.若数列的前n项和为，首项，且求数列的通项公式；若，令，设数列的前n项和，比较与大小．【答案】解：且，，，，或者，；，，，．【解析】利用数列的递推关系式，转化求解数列的通项公式．化简通项公式，通过裂项相消法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，且平面底面ABCD，，．证明：：；点M在棱20.PC上，且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值．【答案】证明：取AD的中点O，连OC，OP，为等边三角形，且O是边AD的中点，，平面底面ABCD，且它们的交线为AD，平面ABCD，，，且，平面PAD，．分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，即：，设，且是平面ABM的一个法向量，，，取，而平面ABD的一个法向量为，，，，．【解析】取AD的中点O，连OC，OP，证明，，推出平面PAD，得到．分别以OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面ABD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力已经计算能力．21.已知函数．求的单调区间；若有极值，对任意的，，当，存在使，证明：【答案】解：的定义域为，．若，则，所以在上是单调递增．若，当时，0'/>，单调递增．当时，，单调递减．证明：由当时，存在极值．由题设得．，又，，设则．令，则所以在上是增函数，所以，又，所以，因此，即，又由知在上是减函数，所以，即．【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的大小以及构造法，二次导函数的应用，考查转化思想已经计算能力．的定义域为，求出导函数，通过若，若，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．由当时，存在极值．化简，又，作差设．令，利用导函数，判断函数的大小转化求解即可．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：．求圆C的直角坐标方程；设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．【答案】圆C的极坐标方程为：．转换为直角坐标方程为：，所以：将线l的参数方程为：为参数，代入，所以：，设点A、B所对应的参数为和，则：，．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数．当时，求不等式的解集；对任意实数，都有成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，当时，，即，可得；当时，，即有；当时，，即，可得．综上可得原不等式的解集为；对任意实数，都有成立，即，恒成立，，恒成立，即有或，即为或恒成立，由在递增，可得最大值为0，可得；在递减，可得最小值为，可知或．【解析】求得的解析式，去绝对值讨论x的范围，解不等式，求并集可得所求解集；由题意可得，恒成立，，恒成立，即有或，即为或恒成立，运用单调性可得最值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查化简运算能力，属于中档题．。

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