高三数学测试卷 (5)
模拟卷05-2023年高三数学新高考全真模拟试卷(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(考试版)
……………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（05）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知全集{}33U xx =-<<∣，集合{}220A x x x =+-<∣，则UA =（ ）A ．(]2,1-B ．][()3,21,3--⋃C ．[)2,1-D ．()()3,21,3--⋃2．设复数21iz =+(其中i 为虚数单位)，则z =（ ）A ．5B ．3C ．5D ．33．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定4．平面向量a b ，满足||3,||2||a b a b -==，则a b -与a 夹角最大值时||a 为（ ） A ．2B ．3C ．22D ．235．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为X ，则随机变量X 的数学期望()E X = （ ）A ．118B ．98C ．78D ．586．将函数tan()(0)2y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．67．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤8．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）A ．A 与BB ．D 与EC ．B 与DD ．C 与F10．关于函数()1ln1xf x x-=+，下列选项中正确的有（ ） A ．()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在定义域上是增函数D ．函数()f x 与()()ln 1ln 1y x x =--+是同一个函数11．已知圆 22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=， 直线 :l y kx =，下面四个命题，其中真命题是（ ）A ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 相切B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 有公共点C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切 12．已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >第Ⅰ卷二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.……………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________14．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点,,A B C 满足ABC 的重心是F ，且,,FA FB FC 恰成等差数列，则直线AC 的方程是_______．15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =.则函数()()3210x g x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的所有零点之和为___________.16．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截面图形为椭圆，截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为___________，截面椭圆的离心率为___________.四、解答题：本小题共6小题，共70分。
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)5
高三数学试题（文 ）一、选择题1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为 （ ）A ．（1，2）B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 （ ）A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．21,2 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，若==84,1S S 则 （ ）A ．17B ．171 C ．5 D ．51 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，则点),(n m P 在直线4=+y x 上的概率是（ ）A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为１，等腰三 角形的腰长为5，则该几何体的体积为（ ）A ．32πB ．34π C ．π2D ．π46．已知复数z 满足i izi z 431+=-+⋅（i 是虚数单位）， 则=z （ ） A ．i +3 B ．i -3 C ．i 32-D ．i 34-7．已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA 2=⋅AC AB ，且,60︒=∠BAC 则OBC ∆的面积为（ ）A ．21 B ．33 C ．23 D ．32 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于（ ）A ．39B ．20C ．19D ．10 9．设函数='=≠+=003),(3)3(),0(31)(x x f f a bx ax x f 则若 （ ）A ．1±B ．2C ．3±D ．21 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … … …10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20102009，则判断框内应填入的条件是 （ ） A ．?2008=i B ．?2009>i C ．?2010>iD ．?2012=i11．过抛物线x y 22=的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条12．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围是（ ）A ．]10,2[-B ．]16,2[-C ．]10,4[D ． [4，16] 二、填空题13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为 。
2024届湖南省衡阳县江山中英文学校高三下学期自测卷(五)线下考试数学试题
2024届湖南省衡阳县江山中英文学校高三下学期自测卷（五）线下考试数学试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．843．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -4．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．3D ．37．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．23D ．338．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．149．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．110．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A 5B 5C 2D ．2 11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或1512．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷五数列北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷五 数列(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖南永州高三月考)“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021福建宁德高三三模)在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n ,若S 1=S 25,a 3+a 8=32,则S 16=( ) A.80B.160C.176D.1983.(2021湖北武汉高三月考)“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的振动数之比完全相等,亦称“十二等程律”,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为f ,则频率为√842f 的音是( ) A.第3个音 B.第4个音C.第5个音D.第6个音4.(2021河北邯郸高三期末)在等差数列{a n }中,a 2+2a 5=15,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 7=( ) A.30B.35C.40D.455.(2021湖北武昌高三一模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m=9,a2m a m=5m+1m -1,则数列{a n }的公比为( )A.-2B.2C.-3D.36.(2021浙江金华高三月考)已知数列n a n是等差数列,则( )A.a 3+a 6=2a 4B.a 3+a 6=a 4+a 5C.1a 3+1a 6=2a 4D.1a 3+1a 6=1a 4+1a 57.(2021北京朝阳高三二模)记S n为等比数列{a n}的前n项和,已知a1=8,a4=-1,则数列{S n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项,其中f(n)为最接近√n的整数,若数列{a n}的8.(2021湖南长郡中学高三二模)在数列{a n}中,a n=1f(n)前m项和为20,则m=()A.15B.30C.60D.1109.在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1-a n-1+1=0(n≥2,n∈N*),S n是其前n项和,则下列说法错误的是()2A.a6=2B.S12=6C.a112=a10a12D.2S11=S10+S1210.已知数列{a n}是等比数列,公比为q,前n项和为S n,下列说法正确的有()A.数列1为等比数列a nB.数列log2a n为等差数列C.数列{a n+a n+1}为等比数列D.若S n=3n-1+r,则r=1311.若直线3x+4y+n=0(n∈N*)与圆C:(x-2)2+y2=a n2(a n>0)相切,则下列说法错误的是()A.a1=65B.数列{a n}为等差数列C.圆C可能过坐标原点D.数列{a n}的前10项和为2312.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可循的,一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形,如图1,在长度为1的线段AB上取两个点C,D,AB,以线段CD为边在线段AB的上方作一个正方形,然后擦掉线段CD,就得到图2;对图使得AC=DB=142中的最上方的线段EF作同样的操作,得到图3;依次类推,我们就得到以下的一系列图形.设图1,图2,图3,……,图n,各图中的线段长度和为a n,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.数列{a n}是等比数列B.S10=1256C.a n<3恒成立D.存在正数m,使得S n<m恒成立二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通高三三模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,若S2n=2S n+n2,则d=.14.(2021福建三明高三二模)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,a n a n+1=22n+1,则S n=.15.(2021江西南昌高三开学考试)在数列{a n}中,a n+a n+2=n(n∈N*),则数列{a n}的前20项和S20=.16.(2021北京昌平高三模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n=ln n,若存在p∈R,使得a n≤pn对任意n∈N*都成立,则p的取值范围为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广西南宁高三月考)已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1=3n+5.(1)求数列{a n}的通项公式;的前n项和为S n.若∀n∈N*,S n<-λ2+4λ(λ为偶数),求实数λ的值.(2)记数列1a n a n+118.(12分)(2021山东泰安高三模拟)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,若a3=2,且4a1,3S2,2S3是等差数列{b n}的前三项.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)求数列{b n }的通项公式,并求使得a n >b n 的n 的取值范围.19.(12分)(2021重庆巴蜀中学高三月考)已知数列{a n }满足a n >0,数列{a n }的前n 项和为S n ,若 ,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n ·3n (n ∈N *); ②数列{c n }满足:c n =1a n+1−1a n,a 1=3,且{c n }的前n 项和为12n+3−13;③S n =(a n +1)24-1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }是首项和公比均为2的等比数列,求数列{a b n }中有多少个小于2 021的项. 20.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:tS n+1-S n =t (a n+1+a n -1),t ∈R 且t (t-1)≠0,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知数列{b n }是等差数列,且b 1=3a 1,b 2=2a 2,b 3=a 3,求数列{a n b n }的前n 项和T n .21.(12分)(2021福建龙岩高三期中)已知各项均为正数的无穷数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,nS n+1=(n+1)S n +n (n+1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.99]=0,[3.01]=3.令b n =[√a n ],求数列{b n }的前51项和T 51.22.(12分)(2021天津和平高三模拟)已知函数f (x )=x 2+m ,其中m ∈R ,定义数列{a n }如下:a 1=0,a n+1=f (a n ),n ∈N *. (1)当m=1时,求a 2,a 3,a 4的值;(2)是否存在实数m ,使a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列?若存在,请求出实数m 的值;若不存在,请说明理由;(3)求证:当m>14时,总能找到k ∈N *,使得a k >2 021.单元质检卷五 数列1.A 解析:若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac ,此时a 2c 2=(ac )2=b 4,则a 2,b 2,c 2成等比数列,即充分性成立.反之当a=1,b=1,c=-1时满足a 2,b 2,c 2成等比数列,但a ,b ,c 不成等比数列,即必要性不成立,即“a ,b ,c 成等比数列”是“a 2,b 2,c 2成等比数列”的充分不必要条件.故选A . 2.B 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可知,{a 1=25a 1+12×25×24×d,a 1+2d +a 1+7d =32,即{2a 1+25d =0,2a 1+9d =32,解得{a 1=25,d =−2,故S 16=16×25+12×16×15×(-2)=160.故选B .3.C 解析:由题意知,这13个音的频率成等比数列,设这13个音的频率分别是a 1,a 2,…,a 13,公比为q (q>0),则a13a 1=q 12=2,得q=√212,所以a n =a 8q n-8=(√212)n-8f=2n -812f.令2n -812f=√842f=2-14f ,解得n=5.故选C .4.B 解析:由a 2+2a 5=15得a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,因此a 4=5,于是S 7=7a 4=7×5=35.故选B .5.B 解析:设数列{a n }的公比为q.若q=1,则S 2m S m=2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S2m S m=a 1(1-q 2m )1−q a 1(1-q m )1−q=q m +1=9,∴q m =8.∵a2m a m=a 1q 2m -1a 1q m -1=q m =8=5m+1m -1,∴m=3,∴q 3=8,∴q=2.故选B .6.C 解析:设数列n a n 的公差为d ,则4a 4=3a 3+d ,5a 5=3a 3+2d ,6a 6=3a 3+3d ,因此1a 3+1a 6=1a 3+163a 3+3d =123a 3+d =12×4a 4=2a 4,故选项C 正确;a 6=2a 3da3+1,a 4=4a 3da3+3,不满足a 3+a 6=2a 4,故选项A 错误;a 5=5a32da 3+3,a 3+a 6≠a 4+a 5,故选项B 错误;1a 3+1a 6=32a 3+12d ,1a 4+1a 5=2720a 3+1320d ,则1a 3+1a 6≠1a 4+1a 5,故选项D 错误.故选C .7.A 解析:设数列{a n }的公比为q ,则q 3=a 4a 1=-18,所以q=-12,所以S n =a 1(1-q n )1−q=8[1−(−12) n ]1−(−12)=1631--12n.当n 为偶数时,S n =1631-12n ,即S 2<S 4<S 6<…<163;当n 为奇数时,S n =163(1+12n ),即S 1>S 3>S 5>…>163,所以数列{S n }有最大项S 1,最小项S 2,故选A .8.D 解析:由题意知,函数f (n )为最接近√n 的整数.f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=2,f (5)=2,f (6)=2,f (7)=3,f (8)=3,f (9)=3,f (10)=3,f (11)=3,f (12)=3,…,由此可得在最接近√n 的整数f (n )中,有2个1,4个2,6个3,8个4,….又由a n =1f(n),可得a 1=a 2=1,a 3=a 4=a 5=a 6=12,a 7=a 8=…=a 12=13,…,则a 1+a 2=2,a 3+a 4+a 5+a 6=2,a 7+a 8+…+a 12=2,….因为数列{a n }的前m 项和为20,即S m =10×2=20,可得m 为首项为2,公差为2的等差数列的前10项和,所以m=10×2+10×92×2=110.故选D .9.D 解析:当n=2时,有a 2a 1-a 1+1=0,即12a 2-12+1=0,解得a 2=-1,同理可得a 3=2,a 4=12,因此数列{a n }的项以3为周期重复出现,且S 3=a 1+a 2+a 3=12-1+2=32,所以a 6=a 3=2,故选项A 正确;S 12=4S 3=4×32=6,故选项B 正确;因为a 11=a 2=-1,a 10=a 1=12,a 12=a 3=2,所以a 112=a 10a 12,故选项C 正确;因为2S 11=2(S 9+a 10+a 11)=23×32+12-1=8,S 10+S 12=S 9+a 10+S 12=3S 3+4S 3+a 10=7×32+12=11,所以2S 11≠S 10+S 12,故选项D 不正确,故选D.10.A 解析:对于A 选项,设b n =1a n ,则b n+1b n=a n a n+1=1q(n ≥1,n ∈N *),所以数列1a n为等比数列,故A正确;对于B 选项,若a n <0,则log 2a n 没意义,故B 错误;对于C 选项,当q=-1时,a n +a n+1=0,等比数列的任一项都不能为0,故C 错误;对于D 选项,由题意得q ≠1,S n =a 1(1-q n )1−q=a 1qq -1q n-1-a1q -1.由S n =3n-1+r 得,q=3,a 1q q -1=1,即a 1=23,所以r=-a 1q -1=-13,故D 错误.故选A . 11.A 解析:由圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0),则圆心C (2,0),半径为a n .因为直线3x+4y+n=0与圆C :(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,所以圆心C (2,0)到直线3x+4y+n=0的距离为a n ,即√9+16=n+65=a n ,则a 1=75,故选项A 错误;由a n =n+65,可得a n+1-a n =15,所以数列{a n }是以15为公差的等差数列,故选项B 正确;将(0,0)代入C :(x-2)2+y 2=a n 2,解得a n =2.由n+65=2,解得n=4,所以当n=4时,圆C 过坐标原点,故选项C 正确;设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(75+n+65)2=n(n+13)10,所以S 10=10×(10+13)10=23,故选项D 正确.故选A.12.C 解析:由题意可得a 1=1,a 2=a 1+2×12,a 3=a 2+2×122,以此类推可得a n+1=a n +2×12n ,则a n+1-a n =22n ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+221+222+…+22n -1=1+1−12n -11−12=3-12n -2,所以数列{a n }不是等比数列,故A 错误;对于B 选项,S 10=3×10-2(1−1210)1−12=26+128=6657256,故B 错误;对于C 选项,a n =3-12n -2<3恒成立,故C 正确;对于D 选项,因为a n =3-12n -2>0恒成立,且a n+1-a n =3-12n -1-3+12n -2=12n -1>0,则数列{S n }为递增数列,所以数列{S n }无最大值,因此不存在正数m ,使得S n <m ,故D 错误.故选C .13.1 解析:因为数列{a n }为公差为d 的等差数列,所以S 2n =2n(a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n ),S n =n(a 1+a n )2.又S 2n =2S n +n 2,所以n (a 1+a 2n )=2×n(a 1+a n )2+n 2,即a 1+a 2n =a 1+a n +n ,所以a 2n -a n =nd=n ,解得d=1.14.2n+1-2 解析:设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q (q>0),首项为a 1(a 1>0). 因为a n a n+1=22n+1,所以a n+1a n+2=22n+3,因此a n+1a n+2a n a n+1=22n+322n+1=4,即q 2=4,所以q=2.而a 1a 2=8,即a 12q=8,所以a 1=2,所以S n =2(1−2n )1−2=2n+1-2.15.95 解析:因为a n +a n+2=n (n ∈N *),所以a n+1+a n+3=n+1(n ∈N *),所以a n +a n+1+a n+2+a n+3=2n+1(n ∈N *),所以S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4)+…+(a 17+a 18+a 19+a 20)=2×1+1+2×5+1+2×9+1+2×13+1+2×17+1=2×(1+5+9+13+17)+5=2×(1+17)×52+5=95.16.ln33,+∞ 解析:若存在p ∈R ,使得a n ≤pn 对任意的n ∈N *都成立,则p ≥lnn nmax.设f (x )=lnx x(x ∈N *),则f'(x )=1x·x -lnx x 2.令f'(x )=1−lnx x 2=0,解得x=e,所以函数f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数在x=e 时取最大值.因为n ∈N *,所以当n=3时函数最大值为ln33,所以p 的取值范围是ln33,+∞.17.解(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a n +2a n+1=3n+5,所以{a 1+2a 2=8,a 2+2a 3=11即{3a 1+2d =8,3a 1+5d =11,解得{a 1=2,d =1,所以a n =2+(n-1)=n+1.经检验,a n =n+1符合题设,所以数列{a n }的通项公式为a n =n+1. (2)由(1)得,1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,所以S n =12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2.因为n ∈N *,所以S n <12.又因为∀n ∈N *,S n <-λ2+4λ, 所以-λ2+4λ≥12,即(λ-2)2≤72.因为λ为偶数,所以实数λ的值为2. 18.解(1)设等比数列{a n }的公比为q.由4a 1,3S 2,2S 3是等差数列{b n }的前三项,得6S 2=4a 1+2S 3,即3S 2=2a 1+S 3, 所以3(a 1+a 1q )=2a 1+a 1+a 1q+a 1q 2,整理得q 2=2q ,解得q=2. 由a 3=2,得a 1×22=2,所以a 1=12, 所以S n =12(1-2n )1−2=2n -12.(2)由(1)得a n =2n-2,所以4a 1=2,3S 2=92,2S 3=7, 即等差数列{b n }的前三项为2,92,7,所以b n =2+(n-1)92-2=12(5n-1). 由a n >b n ,得12×2n-1>12×(5n-1),即2n-1>5n-1. 令c n =2n-1-5n+1,则有c n+1-c n =2n-1-5. 当1≤n ≤3时,c n+1-c n <0,即c 1>c 2>c 3>c 4; 当n ≥4时,c n+1-c n >0,即c 4<c 5<…<c n <…. 而c 1=-3,c 5=-8,c 6=3,所以使a n >b n 的n 的取值范围是{n|n ≥6,n ∈N *}. 19.解(1)若选①.因为a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n ·3n (n ∈N *),所以当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=(n-1)·3n-1, 两式相减得3n-1a n =(2n+1)·3n-1,则a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选②. 由于c 1+c 2+…+c n =1a 2−1a1+1a 3−1a2+…+1a n+1−1an=1an+1−1a 1=12n+3−13,又a 1=3,所以a n+1=2n+3,因此当n ≥2时,a n =2n+1. 又a 1=2+1=3,符合上式,所以a n =2n+1(n ∈N *). 若选③.当n=1时,a 1=3. 因为S n =(a n +1)24-1(n ∈N *),所以当n ≥2时,S n-1=(a n -1+1)24-1(n ∈N *),两式相减得a n =S n -S n-1=(a n +1)24−(a n -1+1)24,即4a n =a n 2+2a n +1-a n -12-2a n-1-1,所以(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.又a n >0,所以a n -a n-1=2, 故数列{a n }为等差数列,而a 1=3,d=2, 所以a n =2n+1.(2)由已知得b n =2n ,所以a b n =2b n +1=2n+1+1,易知数列{a b n }为递增数列. 又210=1024<2021,211=2048>2021,所以n+1≤10,n ≤9,n ∈N *,所以数列{a b n }中有9个小于2021的项. 20.解(1)当n=1时,tS 2-S 1=t (a 2+a 1-1),解得a 1=t , 当n ≥2时,tS n+1-S n =t (a n+1+a n -1),tS n -S n-1=t (a n +a n-1-1), 两式相减得ta n+1-a n =t (a n+1-a n-1),即a n =ta n-1. 又因为a 1=t ≠0,所以a n-1≠0,即an a n -1=t ,所以数列{a n }是以t 为首项,t 为公比的等比数列, 故数列{a n }的通项公式为a n =t n ,n ∈N *. (2)由题意可知,2b 2=b 1+b 3,即4a 2=3a 1+a 3,所以4t 2=3t+t 3.因为t ≠0,所以t 2-4t+3=0,解得t=3,t=1. 又因为t ≠1,所以t=3,故a n =3n ,n ∈N *.设数列{b n }的公差为d.由b 1=9,b 2=18,b 3=27,可知d=9, 因此b n =b 1+(n-1)d=9+9(n-1)=9n , 所以a n b n =9n ·3n =n ·3n+2,所以T n =1×33+2×34+3×35+…+n ·3n+2, ① 3T n =1×34+2×35+…+(n-1)·3n+2+n ·3n+3, ②①-②得-2T n =33+34+35+…+3n+2-n ·3n+3=3n+3-272-n ·3n+3,所以T n =(2n -1)3n+3+274.21.解(1)因为nS n+1=(n+1)S n +n (n+1),所以Sn+1n+1=S n n+1.又因为S 1=a 1=1,所以数列S n n是以1为首项,1为公差的等差数列,因此Sn n=n ,即S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,又因为a 1=1符合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).(2)由(1)知b n =[√a n ]=[√2n -1],当n ∈{1,2}时,b n =[√2n -1]=1; 当n ∈{3,4}时,b n =[√2n -1]=2;当n ∈{5,6,7,8}时,b n =[√2n -1]=3;当n ∈{9,10,11,12}时,b n =[√2n -1]=4;当n ∈{13,14,15,16,17,18}时,b n =[√2n -1]=5; 当n ∈{19,20,21,22,23,24}时,b n =[√2n -1]=6;当n ∈{25,26,…,31,32}时,b n =[√2n -1]=7; 当n ∈{33,34,…,37,40}时,b n =[√2n -1]=8;当n ∈{41,42,…,49,50}时,b n =[√2n -1]=9; 当n=51时,b n =[√2n -1]=10, 所以数列{b n }的前51项和T 51=2×1+2×2+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9+1×10=320.22.(1)解因为m=1,所以f (x )=x 2+1.因为a 1=0,所以a 2=f (a 1)=f (0)=1,a 3=f (a 2)=f (1)=2,a 4=f (a 3)=f (2)=5. (2)解存在.(方法1)假设存在实数m ,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列, 则a 2=f (0)=m ,a 3=f (m )=m 2+m ,a 4=f (a 3)=(m 2+m)2+m.因为a 2,a 3,a 4成等差数列,所以2a 3=a 2+a 4,所以2(m 2+m )=m+(m 2+m)2+m ,化简得m 2(m 2+2m-1)=0,解得m=0(舍),m=-1±√2.经检验,此时a 2,a 3,a 4的公差不为0, 所以存在m=-1±√2,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列.(方法2)因为a 2,a 3,a 4成等差数列,所以a 3-a 2=a 4-a 3,即a 22+m-a 2=a 32+m-a 3, 所以(a 32−a 22)-(a 3-a 2)=0,即(a 3-a 2)(a 3+a 2-1)=0.因为公差d ≠0,故a 3-a 2≠0,所以a 3+a 2-1=0,解得m=-1±√2. 经检验,此时a 2,a 3,a 4的公差不为0,11 所以存在m=-1±√2,使得a 2,a 3,a 4成公差不为0的等差数列.(3)证明因为a n+1-a n =a n 2+m-a n =a n -122+m-14≥m-14,且m>14,所以令t=m-14>0, 得a n -a n-1≥t ,a n-1-a n-2≥t ,…,a 2-a 1≥t. 将上述不等式全部相加得a n -a 1≥(n-1)t ,即a n ≥(n-1)t , 因此要使a k >2021成立,只需(k-1)t>2021, 因此只要取正整数k>2021t +1,就有a k ≥(k-1)t>2021t ·t=2021.综上,当m>14时,总能找到k ∈N *,使得a k >2021.。
高三理科数学综合测试卷5
高三理科数学综合测试卷（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义},|{B x A x x B A ∉∈=-且若)}6lg(|{2x x y N x M -=∈=，MN N -=是},6,3,2{等于（ ）A ．{1，2，3，4，5}B ．{2，3}C ．{1，4，5}D ．{6}2．复数11)2(2--+=ii z （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2且y ＜3，则x +y ＜5”；③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc ；④在△ABC 中，“︒>45A ”是“22sin >A ”的充分不必要条件．其中不正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，则BD 到平面11D GB 的距离是（ ）A ．36 B ．362 C ．332 D ．32 5．在对两个变量x,y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据;,,2,1),,(n i y x i i =③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x,y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是 （ ）A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①6．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的 n 的最大值为（ ）A ．11B ．19C ． 20D ．218．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 （ ）A ．80B ． 800C ．90D ．900 9．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、满足||||-=+，则实数a 的值 （ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－210．某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该外商不同的投资方案有 （ ）A ．24B ．96C ．240D ．38411．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个 角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆孤， 某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个 点的可能性都一样，它击中阴影部分的概率是（ ） A ．1-4π B ．4π C ．1-8πD ．与a 的取值有关 12．已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，若421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负37376894231010313题图第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．13．如右图所示，这是计算111124620++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ．14．如果2(2nx 整数n 的最小值为__________.15．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-2230302||y x y x 所表示的平面区域为S ，若A 、B 为S 内的两个点，则|AB|的最大值为 . 16．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；⑥若),2(ππβα∈、，且βαcot tan<，则23πβα<+．其中正确命题的序号是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin sin((3)()2f x x x x x R ππ=⋅++∈． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标．18．（本小题满分12分）一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为12,x x ，记2212(3)(3)x x ξ=-+-．（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，N M ,分别为BC AF ,的中点．（1）求证：//MN 平面CDEF ；（2）求多面体CDEF A -的体积； （3）求证：AF CE ⊥．NMFE DCBA 直观图俯视图正视图侧视图22222220．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n n n b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.21．（本小题满分12分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42=的一条切线．（1）求椭圆的方程；（2）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在， 请说明理由．)0(1:2222>>=+b a by a x C22．已知函数R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.（1）求d c a ,,的值；（2）若;0)()(',41243)(2<+-+-=x h x f b bx x x h 解不等式（3）是否存在实数m ，使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.,0)0(),,(4131)(23=∈++-=f R d c a d cx x ax x f 满足。
陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测(五)文科数学试题(解析版)
所以 ，解得 ，
所以分数在 内的人数为 .
故答案为：30
15.已知抛物线C： 上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】确定点P到准线的距离比到y轴的距离大2，得到 ，得到答案.
【详解】点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，即点P到准线的距离比到y轴的距离大2，
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 与DE相交于 ，连接 ，连接 交 于点 ，由线面平行的性质得到 ，再根据三角形相似得到 ， ，从而得到 ，即可得到 ，从而得解；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，即可得到 ，再由面面垂直的性质得到 平面 ，求出 的长度，即可得到点 到平面 的距离 ，从而得到点 到平面 的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得.
即 ，即 ．
故答案为：4.
16.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体．如图，在一个棱长为 的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为________ ．
点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.
11.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量 和 即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
云南省曲靖市第一中学2023届高三下学期教学质量监测(五)数学试卷及答案
曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）数学命题：冯淑萍审题：余楼建本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}{}2R12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣.则A B = （）A.2,2⎤⎦B.2,2⎤⎦ C.2⎡-⎣ D.2⎡-⎣2．已知复数z 在复平面内对应的点为），（21-Z ，则=zz（）A．34i 55-+B．34i 55--C．34i 55+D．34i55-3．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变B．设具有线性相关关系的两个变量y x ,的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强C．在一个2×2列联表中,由计算得2χ的值,则2χ的值越小,判断两个变量有关的把握越大D．若),1(~2σN X ,()2.02=>x P ，则()010.3P X <<=4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2=CD ，则该曲池的体积为（）A．9π2B．5πC．11π2D．10π5.将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω的最大值为（）A.32B.2C.3D.56．某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A．72种B．81种C．144种D．192种7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（）2B．3568．设3.03-=e a ，6.0e b =， 1.6c =，则（）A．ab c <<B．ba c <<C．ca b <<D．a c b <<二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列选项中正确的是（）A．若向量a ，b 为单位向量，27a b -= a 与向量b的夹角为60°B．设向量()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，若,a b共线，则2±=x C．若()2,1-=a ，()1,4=b ，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为82,1717⎛⎫-- ⎪⎝⎭D．若平面向量,a b满足22b a == ，则2a b - 的最大值是510．过点()10P -，的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且7MN =）A．AB 的最小值为211B．△ABC 55C．△ABC 面积的最大值为8D．PN PM 625-11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A P DC.当且仅当点Q 落在1C 处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若162D Q =，那么点Q 的轨迹长度为2412．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的)1,1(,-∈y x ，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A．()f x 是偶函数B．()00f =C．当B A ,是锐角△ABC 的内角时，()()A fB f sin cos <D．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则=+++4321a a a a .14.已知AB 是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线4PA AB ==，则此圆锥外接球的表面积为.15.已知π0,,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则函数()(1sin )(1cos )f x x x =++的最大值为.16.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF的最大值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*422n n n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列；（2）求n S 2.18．（12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,sin cos A b A a c -=-．（1）求B ；（2）若点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，且3AB =，2BD =，求BC 边的长度．19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形，13AB BC ==，点D 为棱AC 上的动点，平面1B BD 与棱11AC 交于点E ．(1)求证1//BB DE ；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160AAC ∠=︒，判断在线段AC 上是否存在点D 使得平面11ABB A 与平面1B BDE 所成的锐二面角为3π，并说明理由.20.（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？21．（12分）在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆()4491:221=++y x C 内切，且与圆()411:222=+-y x C 外切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 的左、右两个顶点分别为1A ，2A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为曲线C 的左焦点，求证：FMN ∆的周长为定值．22.（12分）已知函数x e x f ax -=)(（,e a R ∈为自然对数的底数），1ln )(++=bx x x g .(1)若1=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()+∞∈∀,0x ，[)+∞∈∀,1a 恒成立，求实数b 的取值范围.曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BADDBDCABCDABDACDBCD1.【答案】B【解析】因为{}{}2R12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣，所以{}{}2222-<>∈=>∈=x x R x x R x B 或，所以{}|2A B x x =<≤ .故选B2.【答案】A【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为(1,-2)，所以12z i =-，则12i z =+，所以()()()212i 12i 34i 34i.12i 12i 12i 555z z ++-+====-+--⨯+故选：A.3．【答案】D【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A 错误，对于B,具有线性相关关系的两个变量x ,y 的相关系数为r ,则r 越接近于1,x 和y 之间的线性相关程度越强,故B 错误,对于C,在一个22⨯列联表中,由计算得2χ的值,则2χ的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C 错误,对于D ，()2~1,X N σ ,(01)(12)P X P X ∴<<=<<(1)(2)0.50.20.3P X P X =>->=-=.故D 正确.4.【答案】D【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，ππ322R r ∴=⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，解得：1r =，3R =，∴该曲池的体积221119ππππ510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5.【答案】B【解析】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，解得：2ω≤，故ω的最大值为2.故选：B.6．【答案】D【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.7.【答案】C 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限，由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=；设过点2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴=，12cos aF F M c∴∠=；在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.8.【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--.因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e13e 33b a -==<<，所以b a <．综上可知，c b a <<．故选：A 二、多选题9.【答案】BCD【详解】A 选项，由()227a b-=，以及||||1a b == ，可得1447a b +-⋅=，则1=||||cos ,2a b a b a b ⋅<>=- ，即1cos ,2a b <>=- ，又,[0,180]a b <>∈ ，所以夹角,=a b <>120°．对于B ，因为()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，且,a b共线，则()()1311x x ⨯=-+解得2x =±.所以B 正确.C 选项，a 在b方向上的投影向量为282cos ,,171717b a b b a a b b b b b ⋅⎛⎫⨯=⨯==-=-- ⎪⎝⎭，故C 正确，对于D ，因为22b a ==，所以2a b -==5==所以2a b -的最大值是5，所以D 正确，10.【答案】ABD【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C内，PC =设圆心C 到直线AB 的距离为d，由题意得0d ≤≤∵AB =min AB ==，故A正确；1122ABC S AB d d =⋅=⨯==△∵205d ≤≤，∴当25d =时，()max ABC S =△，故B 正确C 错误，．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥，又MN =3CE =，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．因为2PM PN PE +=，且min 33PE PC =-= ，所以||PM PN +的最小值为65-D 正确．故选：ABD ．11．【答案】ACD【解析】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF 、PF ，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1APD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，∵EF ∩1D F ＝F ，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设）z x Q ,1,(，1,0≤≤z x ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,1,.D Q x z =设(),,m a b c=为平面1A PD 的一个法向量，则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得,.2a c c b =⎧⎪⎨=-⎪⎩取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Q m λ=，则12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332A Q m d x z m ⋅==+-，①23≤+z x ，()213d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；②32x z +>，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥，12D Q，12C Q ∴=，Q点的轨迹是半径为2，圆心角为2π的圆弧，轨迹长度为4，D 选项正确.故选：ACD.12．【答案】BCD【详解】令x ＝0，则()()f y f y -=-，所以()f x 为奇函数，故A 错误．令x ＝y ＝0，得()00f =，故B 正确．任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()2121121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭．因为()()1221121110x x x x x x +-=-+->，所以21121x x x x -<-，所以2112011x x x x -<<-．因为()0,1x ∈，()0f x >，所以211201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()12f x f x <，即()f x 在()1,1-上单调递增．因为A ，B 是锐角ABC 的内角，所以π2A B +>，所以π2A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭．因为sin A ，()cos 0,1B ∈，所以()()A f B f sin cos <，故C 正确．因为0n x >，且21112n n nx x x ++=，所以122(0,1)1n n n x x x +=∈+．令y ＝－x ，则222()1x f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，令n x x =，则()()12221nn n nx f x f f x x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，所以()()12n n f x f x +=．因为()11f x =，所以(){}n f x 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()12n n f x -=，故D 正确．故选：BCD 三、填空题13.34【详解】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0=x ，得90=a ，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故=+++4321a a a a 3414.16π【详解】如图1所示，连接PO ，则222PO OB PB +=，解得2PO =即2PO OB ==，此圆锥外接球的球心为O ，半径为2，表面积为24π216πS =⨯=15.32+【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==+,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.故答案为:32.16．32【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 为2py kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去x 得()2222104p y k py -++=，可得2124p y y =∵33AF BF ==，则可得：211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得231224p p p ⎛⎫⎛--= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1sin MFMDMN MN MND==∠若MN MF取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切23x y =，即23x y =，则23y x'=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2000233x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得220023433x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4MND ∠=则1sin MFMDMN MN MND==∠2故答案为：322四、解答题.17．【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N ∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n n b -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时,111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,)()()()(2126543212n n n a a a a a a a a S ++++++++=- 12531-++++=n b b b b 4141--=n 314-=n .18．【详解】（13sin cos b A b A a c -=-，由正弦定理，3sin sin sin cos sin sin B A B A C A -+=，()3sin sin sin cos sin sin B A B A A B A -++=，3sin sin cos sin sin B A B A A +=．因为sin 0A >3cos 1B B +=，即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为()0,B π∈，所以7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以566B ππ+=，即23B π=．（2）法一：因为点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，所以2133BD BA BC =+ ，所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭，因为3AB =，2BD =，23ABC π∠=，所以241414939992BC BC =⨯+-⨯⨯⨯，即260BC BC -=，解得6BC = ，即BC=6．法二：由已知得DC=2AD,设x AD =，x DC 2=.∵BDCADB ∠-=∠π∴BDCCOS ADB COS ∠-=∠∴x x 22942⨯-+=xa x 2224422⨯⨯-+-，即()1622-=x a ………①又∵120=∠ABC ∴21329922-=⨯⨯-+a x a ，即()19322=--+x a a ………②由方程①②解得6=a ，即BC=6.19．【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1//BB ∴平面11ACC A ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，1//BB DE ∴；（2）连结1A C ，取AC 中点O ，连结1AO ，BO ，在菱形11ACC A中，160A AC ∠= ，∴AC A 1∆是等边三角形，又O 为AC 中点，1A O AC ∴⊥，平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，1A O ∴⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，1A O OB ∴⊥，又AB BC = ，BO AC ∴⊥，以点O 为原点，1,,OB OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D,满足题意，设)0,0a D ，（()22≤≤-a ，)0,00，（O ，()0,2,0A -，(10,0,A ，()3,0,0B ，()0,,3a BD -=，(10,2,DE AA ==，设平面1B BDE 的一个法向量为),,(z y x n =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，所以⎩⎨⎧=+=+-032203z y ay x，令z =，则3=y ，a x =，故)3,3,(-=a n ，设平面11ABB A 的法向量为),,(111z y x m =()32,2,01=AA ,()0,2,3=AB ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m AB m AA ,⎩⎨⎧=+=+0230322y x z y ，令3-=y ，则2=x ，3=z ，故)3,3,2(-=m，211612122cos 2=+-==a a ，解2=a ，所以点D 在点C 的位置时，平面11ABB A 与平面1B BDE 所成锐角为3π.由于D 不与A 、C 重合，故AC 上不存满足题意的点.20.【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B ，则()26210C 1C 3P A ==，()24210C 2C 15P AB ==，所以，()()()25P AB P B A P A ==.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X 的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0346310C C 2010C 1206P X ⋅====，()1246310C C 6011C 1202P X ⋅====，()2146310C C 3632C 12010P X ⋅====，()3046310C C 413C 12030P X ⋅====，所以X 的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305E X =+⨯+⨯=（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C ，则23233322220C 1C 33327P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试21【详解】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y 由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为72；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为12. 动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切，112122724212PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，其中224,22,2,3a c a b ==∴==，从而轨迹E 的方程为：22143x y +=证明：（2）由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ，(4T ，)(0)t t ≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，如图所示，直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2ty x =-，联立方程22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(27)441080t x t x t +++-=，2124108227t x t -∴-⋅=+，即21254227t x t -=+，则2112254218(2)(2)662727t t t ty x t t -=+=+=++，22254218(,)2727t tM t t -∴++，联立方程22(2)2143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(3)44120t x t x t +-+-=，∴22241223t x t -=+，即222263t x t -=+，则22222266(2)(2)2233t t t ty x t t --=-=-=++，2226(3t N t-∴+，26)3tt -+，22222221866273542269273MN t tt t t k t t t t t +++∴==-----++，∴直线MN 的方程为22226626()393t t t y x t t t -+=--+-+，即222666(1)999t t ty x x t t t =-+=-----，3t ≠±，故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN ∆的周长为定值8，当3t =±时，3(1,)2M ，3(1,)2N -或3(1,)2M -，3(1,)2N ，MN ∴过焦点(1,0)，此时FMN ∆的周长为定值48a =，综上所述，FMN ∆的周长为定值8．22.【详解】（1）1=a ，x e x f x -=)(，1)(-='x e x f ，∴0)0(='f 又∵1)0(=f ，∴在))0(,0(f 处的切线方程为1=y .（2） ()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，e 0ax >，∴0,x >)(xf 有两个零点即ln xa x=有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln xG x x -'=， ()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x >()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e eG x G ∴==，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →)(x f 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3） 1,0a x ≥>，所以e e ax x x x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，ln 1e x x b x x∴≤--对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)x x F x x x x=-->，min (),b F x ∴≤()222ln e ln e x xx x x F x x x+=+='令()()2e ln ,0,x h x x x x ∞=+∈+，则()x 212e e 0,xh x x x x+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，又()120e11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭，01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，即0200e ln 0x x x +=①，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，()00min 000ln 1()e x x F x F x x x ∴==--由①知0200e ln xx x =-，01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭，函数()e x x x ϕ=在()0,+∞单调递增，001lnx x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000111()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.。
海南省天一大联考2023-2024学年高三上学期高考全真模拟(五)数学试题(含答案)
2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学A.{}2,3,1.本试卷满分150分，测试时间120分钟.2.考查范围：高考全部内容.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知A ={x∣2 x 4},B ={2,4,6}，则A ⋂B =（）4 B.[]2,4 C.{}2,4 D.{}2,4,62.已知复数z 满足()12i 34i ,z z +=-的共轭复数为z ，则z z ⋅=（）A.6B.5C.4D.33.某饮料厂生产A ，B 两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A 型号饮料15瓶，则每小时B 型号饮料的产量为（）A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶4.已知()3232,0,,0x x x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩为奇函数，则()f a =（）A.0B.1C.-1D.25.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，()0,,A b B 为C 的右焦点，若AP PB = ，则C 的离心率为（）C.26.已知函数()()2log 41(0,1)a f x ax x a a =-+>≠在()1,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,∞+ B.[]2,3 C.[)3,∞+ D.[)4,∞+7.函数()πππsin tan sin 4124f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）1-C.2+D.2-8.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2023a =（）A.3374- B.3374 C.33714 D.33714-二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在正三棱柱111A B C ABC -中，12,3AB AA ==，则下列说法正确的是（）A.正三棱柱111A B C ABC -的体积为B.三棱锥111B A BC -的体积为2C.二面角1A BC A --的大小为60D.点A 到平面1A BC的距离为210.已知随机变量X 的分布列为()464410C C ,0,1,2,3,4C k k P X k k -===，则下列说法正确的是（）A.()327P X ==B.()125E X =C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数X 满足此分布列D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数X 满足此分布列11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F C 的准线与x 轴交于点,2M MF =，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，则下列说法正确的是（）A.1p =B.直线MA 和MB 的斜率之和为0C.MAB 内切圆圆心不可能在x 轴上D.当直线AB 的斜率为1时，8AB =12.设12,x x 分别为函数()()21ln 2x f x a x a x =-++的极大值点和极小值点，且11x <，则下列说法正确的是（）A.1x =为()f x 的极小值点B.()()0,11,a ∞∈⋃+C.()231,22f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D.()11,02f x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.写出一个圆心在x轴上，且与直线3y x =相切的圆的标准方程：__________.14.已知,a b为平面向量，2b = ，若a 在b 方向上的投影向量为2b，则()a b b -⋅= __________.15.已知圆锥SOAB 为底面圆O 的一条直径，C 为圆O 上的一个动点（不与,A B 重合），则三棱锥S ABC -的外接球表面积为__________.16.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点,A B 在函数()f x 的图象上，P 为曲线()y f x =与y 轴的交点，若PA PB ⊥，则f=__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，面积为,2S S AC =⋅.（1）求A ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求a .18.（12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列.（1）若1231a a a =，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（2）若12a =，证明：1211151116n a a a +++<+++ .19.（12分）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径i x （单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992ii i i xx ====∑∑.（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差2s .（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y N μσ~，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y μσμσμσ-≈-≈-≈ .参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97≈≈≈.20.（12分）已知函数()()121e3ln 1x f x x x ax -=--+-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()f x 有唯一极值点.21.（12分）如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成.（1）证明：PS ∥平面ABCD ；（2）求AS 与平面PAD 所成角的正弦值.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上､下顶点分别为,A B ，短轴长为2,P 在C 上（不与,A B 重合），且12PA PB k k ⋅=-.（1）求C 的标准方程；（2）直线,PA PB 分别交直线2y =于,D E 两点，连接DB 交C 于另一点M ，证明：直线ME 过定点.2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学·答案1.C2.B3.B4.A5.D6.C7.A8.D9.AC10.ABD11.BD12.AC13.22(2)1x y -+=（答案不唯一）14.-215.16π316.117.解：（1）由题意可得122sin 2S bc A =⨯=cos A ，所以tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即222b c bc a +-=.因为1πsin 23S bc ==40bc =.因为20a b c ++=，所以222a b c bc=+-2()3b c bc =+-2(20)120,a =--整理得40280a =，所以7a =.18.解：（1）由1231a a a =，可得33121a ⋅=，故112a =，所以数列{}n a 的通项公式为22n n a -=.则22n n na n -=⨯，故10121222322n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①()012212122232122n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ .②由②-①可得，()()110121122222122n n n n S n n ----=⨯-++++=-⨯+.（2）证明：若12a =，则数列{}n a 的通项公式为2nn a =.当1n =时，11113a =+；当2n 时，1111212n n n a =<++.故231211111111111151113222322326nn n a a a +++<++++=<+=+++ .19.解：（1）样本均值12113012i i x μ===∑，样本方差()12221112ii s x μ==-∑12122211121212i i i i x x μμ==⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑()2110992230360123012=⨯-⨯⨯+⨯16=.（2）①由题意可得，树干直径Y （单位：cm)近似服从正态分布()230,4N .在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间[]22,38的概率是0.9545，所以()120.95450.57P A =≈.②若树干直径Y 近似服从正态分布()230,8N ，则()120.68270.01P A =≈此时A 发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.A 是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A 发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.20.解：（1）当1a =时，()()121e3ln 1,0x f x x x x x -=--+->，()13e 2xf x x x x-=-+'，()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()11233e 2e 2x x f x x ax x a x x --⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭'，0x >，设()123e2x g x a x -=-+，则()136e 0x g x x-=+>'，所以()g x 在()0,∞+单调递增，又,()x g x →+∞→+∞；0,()x g x →→-∞.所以存在唯一的()00,x ∞∈+，使得()0g x =0，当()00,x x ∈时，()()0,g x f x <单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()0,g x f x >单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，所以()f x 有唯一极值点.21.解：（1）分别取,,AD BC PS 的中点,,E F G ，连接,,,,PE PF GF SF EF ，由题意可知多面体PS ABCD -的棱长全相等，且四边形ABCD 为正方形，所以,,EF BC PF BC SF BC ⊥⊥⊥，因为,,EF PF F EF PF ⋂=⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF ，同理BC ⊥平面PFS .又平面PEF ⋂平面PFS PF =，所以,,,P E F S 四点共面.又因为,EF PS AB PE SF ===，所以四边形PEFS 为平行四边形，所以PS∥EF ，又EF ⊂平面,ABCD PS ⊄平面ABCD ，所以PS∥平面ABCD .（2）以F 为原点，以,,FE FB FG 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1AB =，则()12112,0,,1,0,0,1,,0,,0,22222P E A S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1131,0,,0,,0,,,222222EP EA AS ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0,0,EP n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,2210,2x z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令1z =，则x =，所以)n =.设AS 与平面PAD 所成角为θ，则||sin 3||||n AS n AS θ⋅===⋅，即AS 与平面PAD所成角的正弦值为3.22.解：（1）依题意可得，22AB b ==，所以1b =.设()00,P x y ，则000011,PA PB y y k k x x -+==，所以202201112PA PBy k k x a -⋅==-=-，所以22a =，所以C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题可知直线,PA PB 的斜率存在且不为0，不妨设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为12k-，直线:1PA y kx =+，令2y =，解得1x k=，所以1,2D k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:12PB y x k=--，令2y =，解得6x k =-，所以()6,2E k -.直线:31DB y kx =-，由2231,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()22181120k x kx +-=，则2Δ(12)0k =>，且212181M B kx x k +=+，解得212181M kx k =+，所以22212181,181181k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以直线ME 的方程为()222181218126126181k k y x k kk k --+-=⋅+--+，整理得()1266y x k k-=-+，即660x ky k +-=，即()610x k y +-=，所以直线ME 过定点()0,1.公众号：高中试卷君。
人教A版高三数学理科一轮复习滚动检测试卷(五)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是() A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)3．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)4．(·河南名校联考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A·tan Btan C(tan A＋tan B)的值为()A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0165．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺6．(·渭南模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，且椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．2 001 B ．2 000 C ．1 999D ．1 9987．(·河北衡水中学第二次调研考试)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1639．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[16，2 2 ]C ．[16，413]D ．[213，1]10．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33B.22C.23D.3411．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或712．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2]D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ； ②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)14．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．15．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.16．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．18．(12分)(·咸阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.19.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且AA1⊥平面P AB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．20．(12分)(·保定调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．21．(12分)如图，P －AD －C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD ＝120°的菱形，AB ＝2，P A ⊥AD ，E 是CD 的中点，设PC 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)求证：平面P AE ⊥平面PCD ；(2)试问在线段AB (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．22．(12分)(·合肥第二次质检)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由．答案解析1．C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9．D [t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围是[213，1]．]10．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →.又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)，∴|A G →|＝13A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4.∵|A G →|＝13AB →2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]11．A [因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.]12．A [如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域．因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 13．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值， 故⑤正确．14．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，如图所示． 则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE →＝(3，x ，－b )，DE →＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE →＝0， ∴9＋x (x －a )＝0， 即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根， ∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6. 15．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11x d x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 16．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC ＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4zy ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)． 17．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1， 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)． (2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]． 18．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0， ∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13， 综上所述，13≤T n ＜12. 19．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23， ∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3. 20．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1， 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 －f (x )极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a＜0，所以a ＞1. 综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．21.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0， 令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13， 所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)． 而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22， 整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)，因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.22．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3， 因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3， 所以|CM →|≥3， 当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )， 因为CM →＝λC A →＋μC B →， 所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1， 所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届百师联盟高三一轮复习联考(五) 全国卷(1月) 数学(理)【含答案】
2023届高三一轮复习联考（五）全国卷理科数学试题考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则=（ ）{}2230A x x x =--≤∣{21}B xx =-<≤∣A B ⋃A ．［-1，1]B ．（-2，1]C ．［-1，3]D ．（-2，3]2．已知，则的虚部是（ ）(2i)2i z -=+z A ．B ．C ．D ．454i 545-4i 5-3．设等比数列的公比为q ，则“q >1”是“是单调递增数列”的（ ）{}n a {}n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（ ）3e e ()x xf x x-+=A ．B ．C ．D ．5．双曲线1，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>方程为（）A ．B ．2214y x -=2214x y -=C ．D ．22123x y -=22132x y -=6．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为（ ）（单位：厘米）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1720171919203234008．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）A ．中位数70B ．众数75C ．平均数68.5D ．平均数709．函数的图象关于直线对称，将f （x ）的图象向()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(04)ω<<6x π=左平移个单位长度后与函数y =g （x ）图象重合，则关于y =g （x ），下列说法正确的是（6π）A ．函数图象关于对称B ．函数图象关于对称3x π=,03π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．在单调递减D ．最小正周期为(0,)ππ10．已知过点（0，1）的直线与椭圆交于A 、B 两点，三角形OAB 面积的最大2212y x +=值是（）ABC ．D ．11211．设是函数的极值点，若满足不等式的实0 x 21()ln (0)2f x x mx x x =++>0132x ≤≤数有且只有一个，则实数m 的取值范围是（ ）0 x A ．B ．C ．D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭105,32⎡⎫--⎪⎢⎣⎭105,32⎛⎤-- ⎥⎝⎦105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．y =f （x ）的定义域为，y =f （x +2）为偶函数，f （2）=1且f （x ）=g （2x ）-g （4-2x ），R 则下列说法不正确的是（ ）A ．y =f （x ）的图象关于（1，0）对称B ．y =f （x ）的图象关于x =2对称C ．4为y =f （x ）的周期D ．221()0k f k ==∑二、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为第一象限角，，则______．α3tan 4α=tan 2α=14．在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______．212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知、为单位向量，当与夹角最大时，=______．a b 2a b - a a b ⋅16．如图C 是圆台母线AB 的中点，BD 是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB =2，点M 是弧BD 的中点，则C 、M 两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列的前n 项和为，且满足，．{}n a n S 2 3n n S a n =+-*n ∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2），数列是否存在最大项，若存在，求出最大项．21n n n b a =-{}n b 18．（12分）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中华人民共和国反电信网络诈骗法》．某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：性别成绩［60，70）［70，80）［80，90）［90，100]女生810166男生7152513若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”．（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；（2）根据上表数据，完成2×2列联表，能否有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．男生女生合计防诈骗意识强防诈骗意识弱合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)(P K k >0.0500.0100.0050k 3.8416.6357.87919．（12分）如图，四棱锥P -ABCD ，M 为棱PB 上中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA =PC ，PD =2，．6DAC π∠=（1）证明：；AC PD ⊥（2）若，求AM 与平面PCD 所成角的正弦值．PB =20．（12分）设抛物线的焦点为F ，过F 作斜率为l 的直线交抛物线2:2(0)C y px p =>于AB 两点，且AB =8，Q 为抛物线上一点，过Q 作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q 之外的M 、N 两点．（1）求C 的方程；（2）若Q 坐标为，且，判断MN 斜率是否为定值，若是，求出该,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭0QM QN k k +＝值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数．1()ex f x ax -=+（1）若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≥（2）当时，证明恒成立．1m ≥e ln sin 1x m x x x+->（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，4,4t x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）曲线C 与坐标轴交于A ，B 两点，求直线AB 的极坐标方程；（2）若l 与曲线C 有公共点，求m 的取值范围．23．［选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，．() 2 1f x x a x =-++() 21g x x =-+（1）当a =2时画出函数f （x ）的图象，并求出其值域；（2）若恒成立，求a 的取值范围．()()f x g x ≥2023届高三一轮复习联考（五） 全国卷理科数学参考答案及评分意见1．D 【解析】易知，{}13A xx =-≤≤∣，．故选D ．{21}B x x =-<≤∣{23}A B x x ⋃=<-<≤∣2．C 【解析】由题可知，所以，虚部为．故选C ．2i 34i 2i 55z +==+-34i 55z =-45-3．D 【解析】若，当时，数列单调递增，当时，数列单调10a >1q >{}n a 01q <<{}n a递减；若，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增．所以等10a <1q >{}n a 01q <<{}n a 比数列单调性由首项和公比共同决定．故选D ．4．D 【解析】可知函数为奇函数，且当时，，故选D ．()f x 0x >()0f x >5．B 【解析】由题可知，，则渐近线方程为，焦点到c a =222514b e a =+=20x y ±=渐近线的距离为1，可解得，所以，由得．所以双曲线方c =2a =222c a b =+1b =程为．故选B ．2214x y -=6．B 【解析】此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面2119361S ==面积为，设高为，由台体体积公式，得2210100S ==h，解之得．故选B ．(12 120003V S S h =++≈台9.2h ≈7．B 【解析】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过A 30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公B ()0.95P A =()0.85P AB =式可得：．故选B ．()()()0.85170.9519P AB P B A P A ===∣8．D 【解析】显然众数是75，的频率是0.1，的频率是0.15，的[)40,50[)50,60[)60,70频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，平均数，所以C 正450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=确．故选D ．9．B 【解析】关于对称，则，，()f x 6x π=642k πππωπ+=+k ∈Z 解得，，又，故当时，，362k ω=+k ∈Z 04ω<<0k =32ω=，将的图象向左平移个单位长度得到．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 6π()3cos 2g x x =令，则对称轴为，显然不满足，故A 错误；()32x k k π=∈Z ()23k x k π=∈Z 3x π=令，则，所以对称中心为()322x k k ππ=+∈Z ()233k x k ππ=+∈Z ，()2,033k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 显然时，，故B 正确；1k =-2,0,0333k πππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，整理得，所以单调递减区()3222x k k k πππ≤≤+∈Z ()424333k k x k πππ≤≤+∈Z 间为，显然，C 不正确；最小正周期，故D 不()424,333k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 24332T ππ==正确．故选B ．10．A 【解析】显然直线斜率存在，设过的直线方程为：，联立方程组()0,11y kx =+消去，并整理得，设，，则221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222210k x kx ++-=()11,A x y ()22,B x y ，,12222k x x k -+=+12212x x k-=+，2AB x =-=，O 到直线的距离为AB=ABd =，12OABS AB d=⋅===令，则A ．211t k =+≥OAB S ==≤11．B 【解析】满足的实数有且只有一个，即导函数在区间有0132x ≤≤0x ()f x '1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦且只有一个变号零点．，在上单调递减，在上单调递增．()1f x x m x=++'()f x '()0,1()1,∞+则解之得．故选B ．()10,230,f f ''⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩10532m -≤<-12．D 【解析】，则，可知函数关于()2y f x =+()()22f x f x +=-+()y f x =对称，2x =，把换成可得，两式相()()()242f x g x g x =--x 2x -()()()2422f x g x g x -=--加可得，关于对称，关于轴对称，()()20f x f x +-=()y f x =()1,0()f x 2x =则可得，，可知4为()()()22f x f x f x =--=-+()()()24f x f x f x =--=+的周期，所以可知ABC 都正确．()f x 令，，，，1x =()()()1220f g g =-=()()310f f ==()()021f f =-=-()()()()()()()()2215123412i f k f f f f f f =∑⋅=+++++()50101011=++-++=，D 不正确，故选D ．13．【解析】为第一象限角，则，，所以13α222k k ππαπ<<+24k k απππ<<+为第一或第三象限角，，，2αtan02α>22tan32tan 41tan 2ααα==-，或（舍）．23tan 8tan3022αα+-=1tan23α=tan 32α=-14．60【解析】由题可知：，所以，展开式通项为264n =6n =，令，得4，常数项为()()62161231662(1)2rrrrrr rr T c x x c x----+=-=-1230r -=r =．2462C 60=15．【解析】设与的夹角为，12a b θ()2cos 2,2a b a a b a a b b--====- ，令，，取最小值时，11,12cos 3t θ⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦cos 2,a b a -=()cos 2,a b a - 两向量夹角最大，所以，即时，两向量夹角最大．23t =1cos 2θ=此时．1cos 2a b a b θ⋅== 方法二：利用数形结合．由图可知与夹角最大为，所以．2a b - a 30︒1cos 602a b a b ⋅=︒= 16．展开如图所示，25-AB ，．，由余弦定理可得：4OM =3OC =4COM π∠=．2222cos 25CM OC OM OC OM COM∠=+-⋅=-17．（1）（2）121n n a -=+3b 【解析】（1）①，23n n S a n =+-当时，，1n =12a =当，，②2n ≥11213n n S a n --=+--①-②得：，即，，121n n a a -=-2n ≥()1121n n a a --=-2n ≥由知即，23n n S a n =+-1n a ≠10n a -≠所以是首项为1公比为2的等比数列，得，{}1n a -112n n a --=所以数列的通项公式为：．{}n a 121n n a -=+（2），22112n n n n n b a -==-，，22211(1)21222n n n n nn n n n b b +-+-++-=-=*n ∈N 令得或，即，2210n n -++>1n =2n =321b b b >>令得，即，2210n n -++<3n ≥3n b b ≤当时，2n ≤10n n b b +->当时，又，，3n ≥10n n b b +-<22b =394b =所以数列最大项为．{}n b 394b =18．（1）（2）没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关144625【解析】（1）100人中成绩不低于80的人数有60人，由频率估计概率的思想可知任选一人防骗意识强的概率．35p =从学生中任选5人，其中防骗意识强的人数，3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以恰有2人防骗意识强的概率．232533144(2)C 155625p X ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）列联表如下：22⨯男生女生合计防诈骗意识强382260防诈骗意识弱221840合计6040100，，22(38182222)1000.694460406040K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯0.6944 6.635<所给出的调查数据中没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关．19．（1）证明过程见解析（2【解析】连接与交于点，连接．AC BD O PO （1）证明：因为底面为菱形，所以，且．AC BD ⊥AO CO =因为，所以．PA PC =PO AC ⊥又因为平面PBD ，平面PBD ，，PO ⊂BD ⊂BD PO O ⋂=所以平面，AC ⊥PBD 因为平面，所以．PD ⊂PBD AC PD ⊥（2）由题可知，，所以，2PD BD ==PB =23PDB π∠=由（1）可知平面平面，PBD ⊥ABCD 以为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向，建立如图直O OA x OB y角坐标系．则，，，，，)A()0,1,0B ()C ()0,1,0D-(0,P -，．10,2M ⎛- ⎝12AM ⎛=- ⎝，，设平面的法向量为，(0,DP =-()DC = PCD (),,n x y z =则令，则0,0,DP n y DC n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z=()n =1112cos ,AM n AM n AM n⎛⎫+-⋅====，所以与平面．AM PCD 20．（1）（2）是定值，定值为24y x =1-【解析】（1）设，，由题可知点坐标为，()11,A x y ()22,B x y F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭直线的方程为，代入，得，AB 2p y x =-22y px =22304p x px -+=由一元二次方程根与系数的关系，123x x p +=2124p x x =，1248AB AF BF x x p p =+=++==得，所以抛物线方程为．2p =24y x =（2）由（1）知点坐标为，设，．由，Q (1,2)()33,M x y ()44,N x y 2334y x =，2444y x =两式相减得，．()()()3434344y y y y x x -+=-344MN k y y =+设直线的方程为，由QM ()21y k x -=-()2421y xy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消去整理得，①x 24840ky y k -+-=显然2，是方程①的两根得②，3y 342y k+=同理可得③，442y k+=-②③得，所以．所以的斜率为定值．+344y y +=-3441MN k y y ==-+MN 1-21．（1）（2）证明过程见解析10a -≤≤【解析】（1）()1ex f x a-='+当时，恒成立，单调递增，0a >()0f x '>()f x，且，使，所以时不符00x ∃<01x ae <-()01001e 1e 0x f x ax a ae -⎛⎫=-+<+-= ⎪⎝⎭0a ≥合题意；当a =0时，，显然成立；()10x f x e-=≥当时，解得，0a <()0f x '=()1ln x a =+-易知，单调递减；，单调递增．()(),1ln x a ∈-∞+-()f x ()()1ln ,x a ∈+-+∞()f x 恒成立，()0f x ≥则，解之得．()()()()1ln 1ln ln 0f a a a a a a ⎡⎤+-=-++-=-≥⎣⎦10a -≤<综上可得．10a -≤≤（2）由题可知，0x >令，可看成关于的一次函数，且单调递增．()e ln sin 1xg m m x x x =⋅+--m 当时，，所以若证原不等式成立，即证，1m ≥()()1g m g ≥e ln sin 10xx x x +-->因为，，ln e e x x xx -=ln e ln sin 1e ln 1sin x x x x x x x x x x-+--=-+-+-由（1）知，把x 换成易得，1e 0x x --≥ln 1x x -+()ln eln 10x xx x ---+≥不妨设，，所以h （x ）单调递增，()sin h x x x =-()1cos 0h x x '=-≥x >0，h （x ）>h （0）=0，所以，即原不等式得证．ln e ln 1sin 0x x x x x x --+-+->22．（1）（2）2cos sin 20ρθρθ-+=1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）令x =0，则，解得t =4，则y =2，即A （0，2），404t -=令y =0，则t =0，则x =-1，即B （-1，0），可知，所以直线AB 的方程为y =2x +2，即2x -y +2=0．()20201AB k -==--由，可得，直线AB 的极坐标方程为．cos x ρθ=sin y ρθ=2cos sin 20ρθρθ-+=（2）因为，:cos04l πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭cos sin 0ρθρθ=所以直线转化为普通方程为：，l 20x y m +-=联立与的方程，将，代入中，，l C 44t x -=y =20xy m +-=4204t m -+-=要使与有公共点，则有解．令，l C 84m t =+-x =，所以，所以，则的取值范围为()()2440f x x x x =+-≥()[)4,f x ∈-+∞84m ≥-m ．1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭23．（1）图象见解析，函数值域为（2）[)2,+∞(][),40,-∞-⋃+∞【解析】（1）当时，2a =()31,1,2213,11,31, 1.x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪->⎩作出图象如图所示，由图可知函数在单调递减，在单调递增，，所以函数值(),1-∞()1,+∞()1132f =-+=域为．[)2,+∞（2）恒成立，即恒成立，()()f x g x ≥2121x a x x -++≥-+2222x a x -++≥因为，()()2222222x a x x a x a -++≥--+=+因为，所以或，22a +≥22a +≥22a +≤-所以a 的取值范围为(][),40,-∞-⋃+∞。
数学丨浙江省湖州、衢州、丽水2025届高三11月三地市高三教学质量检测试卷数学试卷及答案
湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}A x xB ∈=2，则=B A A.{}1 B.{}2,1 C.{}4,2,1 D.{}6,5,4,3,2,12.已知复数=-1i z （其中i 是虚数单位），则+=2z z A.2B.13.双曲线的另一种定义：动点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它与定直线2:al x c=的距离的比是常数ca（0a c <<），则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M 与定点F 的距离和它与定直线:3l x =M 的轨迹方程为A.2212y x -= B.2212y x -= C.2212x y -= D.2212x y -=4.为研究光照时长x (小时)和种子发芽数量y (颗)之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对,x y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对,x y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是A.,x y 不具有线性相关性B.决定系数2R 变大C.相关系数r 变小D.残差平方和变小5.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，且2AB AC AO += ，||||OA AB = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为A.14BCB.C.14BC-D. 6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一．如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点2)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足sin()(0y r t t ωϕ=+ ，0ω>，||)2πϕ<，当45t =秒时，||PA =A.B.C. D.47.已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为A ．715B ．12C ．724D ．7178.已知函数()x x x f 2cos 3cos -=，(0,)x π∈，若()f x 有两个零点()1212,x x x x <，则A ．{}21,5x x ∈πB ．123x x =C ．121cos cos 2x x +=D ．41cos cos 21-=x x 第6题图二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，则下列说法正确的是A.若1=+b a ，则2log log 22-≤+b a B.若1=+b a ，则1<+b a C.若1a b -=，则1212a b-≥ D.若1=-b a ，则221a b +>10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记i A （1,2,3i =）表示第i 号箱子有奖品，j B （2,3j =）表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是A.321()2P B A =B.131()3P A B =C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥,Q 是线段AB 的中点，P 是线段1BC 上的动点（含端点），则下列命题正确的是A.三棱锥1P A QC -的体积为定值B.在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C.直线PQ 与AC 所成角的正切值的最小值是22D ．1A P PQ +第11题图三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在()12nx -（*n ∈N ）的展开式中，x 的系数为10-，则n =▲.13.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线l 与圆222:4c M x y +=相切于点E ，与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且3PE EF =，则椭圆离心率为▲.14.若()()3(2)222f x x x =-+-+，已知数列{}n a 中，首项1120a =，32123n n a a aa a n=++++L ，*n ∈N ，则()791ii f a ==∑▲.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，⊥PC 平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.（1）求证：GF ∥平面P AB ；（2）当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60︒.16.（本小题满分15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的的三边分别是a ，b ，c，且2bB c-=.（1）求角C 的值；（2）若1=c ，B A tan 3tan 2=，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分15分）第15题图已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121++=+n a a n n ，*n ∈N .（1）求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*n ∈N 有解，求实数λ取到最大值时n 的值.18.（本小题满分17分）已知函数()21ln1x f x ax x -=+-（R a ∈）.（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；（3）若1x >，恒有()32ln 22f x ≥+，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点()00,N x y 不在直线族Ω:()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B ，求PAB ∆面积S 的最小值.湖州、衢州、丽水2024年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCBCAADD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ACDBCACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.513.14.158四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，⊥PC 平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.（1）求证：GF ∥平面P AB ；（2）当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60︒.解：（1）如图1，连接CG 并延长，交AB 与点H ，由于,G F 分别为,ABC PBC ∆∆重心，所以2CF CGFE GH==，故//GF EH ，……………………3分EH ⊂面PAB ，FG ⊄面PAB ，所以//FG 面PAB ．……………………6分（2）解法一：如图2，取线段BC 的中点D ，连接ED ，过点D 作DK AC ⊥，垂足为K ，连接EK .因为//,ED PC PC ABC ⊥平面，所以ED ABC ⊥平面，所以EKD ∠为二面角B AC E --的平面角，所以60EKD ∠= ……………………………………………………10分因为2DK =，所以32ED =，于是有3PC =．……………………13分解法二：如图3，以AC 的中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系Ozxy ，设PC h =，则()0,1,0A -，)B，()0,1,0C，1,22h E ⎫⎪⎪⎝⎭.……………………8分设平面EAC 的一个法向量为()1,,n x y z =则1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3022220hz x y y ++=⎪⎨⎪=⎩取(,0,n h =，………………………………………………………………11分易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =因为二面角E AC B --的大小为060，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅==，解得：3h =．………………………………………………………………13分图1图2图316.（本小题满分15分）在ABC∆中，角A，B，C对应的的三边分别是a，b，c，B=.（1）求角C的值；（2）若1=c，BA tan3tan2=，求ABC∆的面积.解：（1B=sin cosA B C B-=，…………2分sin cosB C B C B-=（+)，cos sinB C B=，.………………………………………………………………5分故2cos2C=，又0Cπ<<，所以4Cπ=．……………………………………………7分（2）若1=c ，tan 12tan 3tan 3tan )341tan A A B A Aπ-==-+=-⨯-（，22tan 5tan 30A A --=解得tan 3A =，1tan 2A =-（舍去），……………………10分则tan 2B =，所以sin A =，sin B =，由sin sin a cA C=，得a =，……13分故113sin 1225S ac B ==⨯⨯，ABC ∆的面积为53．……………………15分17.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121++=+n a a n n ，*n ∈N .（1）求32,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*n ∈N 有解，求实数λ取到最大值时n 的值.解：（1）由题可得当1n =时，21214a a =++=当2n =时，322219a a =+⨯+=．……………………2分当2n ≥时，121-=--n a a n n ，所以112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2212331n n n =-+-++= ，……5分当1n =时，11a =也满足2n a n =，综上所述，数列{}n a 的通项公式为2n a n =．…………………………………7分（未检验1n =时的情形，扣1分）（2）由题可得25n n S λ≤-，设25n n b n S =-，若要使得关于n 的不等式25n S n λ+≤（*n ∈N ）有解，则()max n b ≤λ，当2n ≥时，2125250n n n b b a n --=-=-≥，则5n ≤，…………………………………12分故当4n =或5n =时，n b 的最大值为70，所以实数λ取到最大值70时，此时n 的值为4或5.………………………………………………………………………15分（λ最大值未给出不扣分）18.（本小题满分17分）已知函数()21ln 1x f x ax x -=+-（R a ∈）.（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；（3）若1x >，恒有()32ln 22f x ≥+，求实数a 的取值范围.解：（1）()()()11211f x x x -'=+--（1x >或12x <），…………………………3分则()223f '=，又()2ln 32f =+，所以所求的切线方程为()()2ln 3223y x -+=-，即22ln 333y x =++．…………………5分（定义域未给出，扣1分）（2）()()()1211f x a x x -'=+--……………………7分因为322x ≤≤，所以()()1112113x x --≤≤---，而310≤<a ，所以()0f x '≤，故()f x 在区间3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………………………9分所以()3312ln 22ln 22222f x f ⎛⎫≤=+≤+< ⎪⎝⎭成立．………………………………10分（3）当32x =时，3332ln 22ln 2222f a ⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭，所以1a ≥．………………………12分下证：当1a ≥，1x >时()32ln 22f x ≥+恒成立．令()21ln 1x g a xa x -=+-，1a ≥所以()()211ln1x g a g x x -≥=+-，………………………………………………………14分所以()21ln 1x f x x x -≥+-，令()21ln 1x x x x ϕ-≥+-，则()()()()()()2311211211x x x x x x x ϕ--'=+=----，当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()332ln 222x ϕϕ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………………………………17分19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()R ∈+=k kx y 1表示过点()1,0的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）圆()22:34M x y +-=是直线族1(,)mx ny m n +=∈R 的包络曲线，求,m n 满足的关系式；（2）若点()00,N x y 不在直线族Ω：()2y tx t t =-∈R 的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；（3）在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B .求PAB ∆面积S 的最小值.解：（1）由题可得，直线族1(,)mx ny m n +=∈R 为圆M 的切线，………………2分故满足，2d =，所以,m n 满足2254610n m n --+=．……………4分（2）将点()00,N x y 代入()2R y tx t t =-∈，可得关于t 的方程2000t x t y -+=，因为点()00,N x y 不在直线族()2R y tx t t =-∈上，故方程2000t x t y -+=无实数解，所以20040x y ∆=-<，那么2004x y >，故00y >因为区域2004x y >的边界为抛物线24x y =，…………………………………7分下证：24x y =是()2R y tx t t =-∈的包络曲线．证明：联立直线()2R y tx t t =-∈与24x y =，可得22440x tx t -+=，所以0∆=，故直线族Ω：()2R y tx t t =-∈为抛物线24x y =的切线.因此直线族Ω的包络曲线E 的方程为24x y =.…………………………………10分（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()22,P u u 则2111224PA y u x u k x u -+==-，故()11:2420PA x u x y ux +--=由直线PA 与M 相切，所以2d =，整理得()22111250u y ux u -++-=，1）同理可得，()22221250u y ux u -++-=，2）由1）2）可得直线()22:1250AB u y ux u -++-=．………………………………12分直线AB 与2:4C x y =联立得()22212504u y ux u x y ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，（显然12≠u ）可得22228204011ux u x u u -++=--，由韦达定理可得21212228204,11u u x x x x u u -+=-⋅=--．因此(()222411u AB u+=-，………………………………………………14分由于点()22,P u u 到直线AB 的距离422251u u d u ++=+，所以PAB ∆面积为()()4222225251PAB S u u u ∆=++-，令21u m -=，则()824PAB S f m m m ∆⎛==++ ⎝，由()()01f m m '==≥-，解得4m =，所以()f m 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，那么()()min 4PAB S f ∆==25u =时取到），所以PAB ∆面积S的最小值是17分。
重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期适应性月考(五)数学试题
重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期适应性月考（五）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集是实数集R ，集合{}{}2|2,|4120A x x B x x x =>=-->，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{2}x x >∣B ．{22}xx -≤≤∣C ．{2}xx ≤∣D ．{2xx <-∣或2}x >2．已知复数12,z z 是方程210z z -+=的两个虚数根，则12,z z 在夏平面内对应的点关于（）A ．原点对称B ．直线y x =对称C ．y 轴对称D ．x 轴对称3．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)2f =-，且2()(3)=-+h x x f x 为奇函数，则(3)f -=（）A ．4B ．2-C ．0D ．24．圆台上､下底面圆的圆周都在一个半径为5的球面上，其上､下底面圆的周长分别为8π和10π，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为递增等差数列，等比数列{}n b 以12,a a 为前两项且公比为3，若5m b a =，则m =（）A ．13B ．41C ．57D ．866．化简4sin160tan 20︒︒+=（）AB ．C ．D ．37．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且 ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-8．已知实数,,(0,1)m n p ∈，且ln 2,ln 3,ln 3223=+=+=+m n pm n p ，则（）A ．p n m <<B ．n m p <<C ．m p n<<D ．n p m<<二、多选题9．已知双曲线2221y x b-=，若过点(2,2)作该双曲线的切线有且仅有一条，则该双曲线离心率e 可能为（）AB ．2C D 10．重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为基座（即B 在A 的正下方），在步行街上（与B 在同一水平面内）选取,C D 两点，测得CD 的长为100m ．小组成员利用测角仪已测得6ACB π∠=，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度AB 的是（）A ．∠∠BCD BDC 、B ．∠∠ACD ADC 、C ．∠∠BCD ACD、D ．∠∠BCD ADC、11．在分层随机抽样中，已知总体划分为两层，抽取的样本量分别为m 和n ，第一层的样本数据为1x ，2x ，, n x ，第二层的样本数据为12,,,n y y y ，各层的样本平均数和样本方差分别为2212,;,x s y s ．记总的样本平均数为ω，总的样本方差为2s ，则下列说法正确的是（）A ．ω=+++m nx y m n m nB ．()()()()()()222222212121⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦+ m n s x x x x x x y y y y y y m n C ．()()()()()()222222212121ωωωωωω⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦+ m n s x x x y y y m n D ．2222212()()ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++m n s s x s y m n m n12．如图甲，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为DC 的中点．将CBE △沿直线BE 翻折至1C BE △的位置，F 为1AC 的中点，如图乙所示，则（）A ．翻折过程中，四棱雉1C ABED -必存在外接球，不一定存在内切球B ．翻折过程中，不存在任何位置的1C ，使得1BE AC ⊥C ．当二面角1C BE A --为120︒时，点F 到平面1C BE的距离为4D ．当四棱雉1C ABED -的体积最大时，以1AC 为直径的球面被平面1C BE 截得的交线长为π三、填空题13．已知平面向量,a b 满足2a =，b =a b += ，则a 与b的夹角为_____．14．做出如下统计，3位志愿者随机选择到三个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是______．（结果用最简分数表示）15．已知函数()()223,log 1,1xx af x x x a ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且*a ∈N ，记()()g x f x t =+，若存在实数t 使得()g x 有两个不同的零点，则正整数a 的最大值为_______．四、双空题16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，该抛物线上存在两点M ，N ，M 在第一象限且||||OM ON =，其中O 为坐标原点．若OMN 的重心为F ，则直线OM 的斜率为________；若OMN 的内心为F ，则直线MN 的方程为__________（用p 表示）．五、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．18．随着对新能源汽车的大力推广，其使用量逐年增加，加大了对新能源汽车充电基础设施的建设，统计该市近5年新能源汽车充电桩的数量（单位：千个），得到如下表格：年份20172018201920202021年份代号t12345新能源汽车充电桩数址y（千个）1719232630(1)若y 与t 成线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+；(2)预测2024年该新能源汽车充电桩的数量．参考公式：()()()121ˆˆˆ,ni i i nii tt y y ba y bt tt==--==--∑∑．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60,1∠== BCD AB ，4,BC =PA M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥．(1)证明：PM ⊥平面ABCD ；(2)求直线AN 与平面PCD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足22113,2221++==+-++n n n a a a n n ．(1)求证：22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n na n 是等差数列；(2)令2⎡⎤=⎢⎣⎦n n n a b （[]x 表示不超过x 的最大整数．提示：当a ∈Z 时，[][]a x a x +=+），求使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值．21．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F P 是双曲线C 上的一点，且1212,⊥ F P F P PF F 的面积为4．(1)求双曲线C 的方程；(2)12,A A 分别是双曲线C 的左､右顶点，T 是双曲线C 上异于12,A A 的一个动点，直线12,TA TA 分别与直线12x =交于12,Q Q 两点，问以12Q Q 为直径的圆是否过定点？若是，求出此定点；若不是，请说明理由．22．若函数()(1)ln ,=--∈R f x x x ax a 有两个零点．(1)求证：0a <；(2)设0x 为函数()f x 的极大值点，1x 为函数()f x 的零点，且10x x <，求证：012+>x x ．。
陕西省汉中市2022届高三数学上学期第五次质量检测试题 理(含解析)
所以 的外接圆半径 .
所以 .
因为点S到平面ABC的距离为 , 平面 ,
所以 .即
在 中： .
所以 .
故填： .
【点睛】本题考查球上的点到三角形中心的距离的求法,属于中档题,解题时要认真审题，注意球的性质和空间思维能力的培养.
三、解答题
17.已知函数 ．
（I）当 时，求 的值域；
（II）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的面积．
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD ，由丨HF丨＝p＝2，
∴ ，
则丨AF丨＝丨AD丨 ，
设直线AB的方程y （x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2 ，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p ，
7.已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点 ，则函数 （ ）
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增
【答案】B
【解析】
由题 ，平移后得到的函数是 ，其图象过点 , ，因为 ， ， ,故选B.
点睛：本题考查的是 的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点 确定 的值时，要结合五点及 确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.
【详解】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得 ，设 ， ，令 解得 ，由于 ，可知当 时， 递增， 时， ， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故 ，故 时， 且 ，所以 ，函数单调递减.当 时， ， ，当 时， ，即 单调递增，且 ，即 ， 单调递增，而 ，故当 时， 函数单调递增，故函数在 处取得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为 ，此时 .故选A.
2023年5月福州市高三毕业班质检数学卷及答案
准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023年5月福州市高三毕业班质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,3,5,7,8A =，{}1,5,,8,9B a =，若{}3,5,8A B =I ,则a =A ．2B ．3C ．6D ．72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量b 在单位向量a 上的投影向量为4-a ，则+⋅=（）a b a A ．3-B ．1-C ．3D ．54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x （单位：万元）的Logistic 模型：0.96800.9680e ()1e kxkxP x -+-+=+．已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01万元，参考数据：ln 3 1.0986≈，ln 20.6931≈）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元5.已知ABC △的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=A ．12B ．1C ．2D 6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有A ．15种B ．18种C ．19种D ．36种7.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A ．α//β，l //αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8.已知0a >，函数()()1e a x f x -=，()()222g x x a x b =-+++．若()()f x g x >，则ba的取值范围是A ．2(,)e-∞-B ．(),1-∞-C ．1(,2-∞-D ．2(,0)e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.已知椭圆C ：22px qy r +=，其中p ，q ，r 成公比为2的等比数列，则A ．C 的长轴长为2B ．C 的焦距为C ．C 的离心率为2D ．C 与圆()2231x y -+=有2个公共点11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周．已知盛水筒P 离水面的最大距离为5.2m ，旋转一周需要60s ．以P 刚浮出水面时开始计算时间，P 到水面的距离d (单位：m)(在水面下则d 为负数)与时间t (单位：s)之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，[0,60]t ∈，下列说法正确的是A ． 2.2K =B ．π30ω=C ． 2.2sin 3ϕ=D ．P 离水面的距离不小于3.7m 的时长为20s 12.已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当11x ≤-<时，()f x x =．若函数()y f x =的图象与函数121()(20232023)2x g x x +⎡⎤⎢⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则A ．()g x 是偶函数B ．2024n =C ．10ni i x ==åD ．10121011122ni i y -==-å第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，则10x =时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）．14.写出经过抛物线28y x =的焦点且和圆()2214x y +-=相切的一条直线的方程．15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为．16.不等式π1sin46x x <+的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，直线12l l ∥，线段DE 与12,l l 均垂直，垂足分别是,E D ，点A 在DE 上，且1,2AE AD ==.,C B 分别是12l l ,上的动点，且满足π3BAC ∠=．设ABD x ∠=，ABC △面积为()S x ．（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值．18.（12分）学校有A ，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐．第1天午餐选择A餐厅的概率是13，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为34．（1）记周同学前两天去A 餐厅的总天数为X ，求X 的数学期望；（2）如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由．19.（12分）如图，四边形A 1ABB 1是圆柱的轴截面，CC 1是母线，点D 在线段BC 上，直线A 1C //平面AB 1D ．（1）记三棱锥B 1-ABD 的体积为V 1，三棱锥B 1-ABC 的体积为V 2，证明：212V V =；（2）若CA =2，CB =4，直线A 1C 到平面AB 1D 的距离为43，求直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值．20.（12分）已知数列{}n a 满足12211,1022n n n a a a a a n ++==++=+．（1）若1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求使n a 取得最小值时n 的值．21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为原点，点(1,1)P 在C 的渐近线上，PAO △的面积为12．（1）求C 的方程；（2）过点P 作直线l 交C 于,M N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值．22.（12分）已知a R Î，函数()()11e x f x x a -=--．（1）讨论()f x 在(,)b -∞上的单调性；（2）已知点(),P m m ．（i ）若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，求m 的取值范围；（ii ）设函数122e 1,11,()ln(1)1,1e 1e x x h x x x --⎧+-<<⎪=⎨-++<<+⎪⎩．若曲线()y h x =上恰有三个点iT （1,2,3i =）使得直线i PT 与该曲线相切于点i T ，写出m 的取值范围（无需证明）．质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
高三数学期末综合测试(五)
高三数学期末综合测试(五)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A C xy x A R U U 则集合},11|{,-=== （ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{≥<x x x 或C ．}1|{≥x xD ．}0|{<x x2．已知向量n ⋅=+==||),,2(),1,1(若，则n= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．33．有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有4．已知函数]4,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于（ ） A ．32 B ．23C ．2D ．35. 一个正三棱柱的主（正）视图是边长为则它的外接球的表面积等于 A. 8π B.253π C. 9π D.283π 6．设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③ 2>+abb a 。
上述三个式子恒成立的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值 为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 8．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是（ ）9．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为：2x π= ，则a =A. 1B.C.2D.310．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x >C. 12()()f x f x =D.不确定11．已知抛物线1)0(222222=->=by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．215+ B ．13+ C ．12+D ．2122+ 12．一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数)1,1()(-的值域为x f ； 乙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠；丙：若规定*||1)()),(()(),()(11N n x n xx f x f f x f x f x f n n n ∈+===-对任意则恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。
四川省成都市2024高三冲刺(高考数学)统编版测试(评估卷)完整试卷
四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）统编版测试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（）A．B．C．D．第(2)题牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为（为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（）A．B．C．D．第(3)题设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．第(4)题已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（）A．B．C．D．第(5)题的展开式中的系数是（）A．B．0C．35D．70第(6)题若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为（）A．B．C．或D．或第(7)题动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（）A．B．C．D．第(8)题已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中正确的有（）A．在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好B．已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1C．已知随机变量，若，则D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则第(3)题已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的有（）A．函数的解析式为B．函数的最小正周期为C ．函数在区间上单调递减D ．是函数图象的一个对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若直线是曲线与曲线的公切线，则___________，___________.第(2)题已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且项的系数为，则______．第(3)题设是首项为的等比数列，是其前项和，若，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．(1)证明：平面；(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．第(2)题京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?第(3)题设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若f（x）有两个极值点，，求a的取值范围．第(4)题已知正项数列满足，．(1)若，请判断并证明数列的单调性；(2)若，求数列的前项和．第(5)题如图，已知椭圆，点是抛物线的焦点，过点F作直线交抛物线于M，N两点，延长，分别交椭圆于A，B两点，记，的面积分别是，.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时直线的方程.。
最新湖南省张家界市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷五
数学试卷一、选择题1.设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+,则z 的虚部为( )A.-2B.-4C.2D.42.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 例如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,···,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,···这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289B.1024C.1225D.13783.70年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数N,并且按照以下的规律进行变换:如果是个奇数,则下一步变成31N +;如果是个偶数,则下一步变成2N.不单单是学生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论N 是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说,是无法逃出落入底部的421--循环,永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算,自然数27经过十步运算得到的数为( ) A.142B.71C.214D.1074.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ,点2F 关于双曲线C 的一条渐近线的对称点A 在该双曲线的左支上,则此双曲线的离心率为( )A.B. C. 2D.5.已知向量3?OA =u u u r ,2OB =u u u r ,OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ,若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60o,且OC AB ⊥u u u r u u u r ,则实数mn的值为( )A.16 B. 14C. 6D. 46.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为203,则图中 x 的值为( )A. 3?B.32 C. 2D. 527.已知函数()22(0)f x x x ωωω=<,若4y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象重合,记ω的最大值为0ω,函数()0cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为( ) A. (),32122k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ B. (),12262k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,2312k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()2,2126k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦8.对定义在R 上的连续非常函数()()(),,?f x g x h x ,如果()()()2g x f x h x =⋅总成立,则称()()(),,f x g x h x 成等比函数.若()()(),,f x g x h x 成等比函数,则下列说法中正确的个数是( )①若()(),f x h x 都是增函数,则()g x 是增函数; ②若()(),f x h x 都是减函数,则()g x 是减函数; ③若()(),f x h x 都是偶函数,则()g x 是偶函数; ④若()(),f x h x 都是奇函数,则()g x 是奇函数.A.0B.1C.2D.39.设,x y 满足约束条件230{22100x y x y x a +-≤--≤-≥,若x yx y-+的最大值为2,则a 的值为( )A. 12B. 14C. 38D. 5910.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,O 是ABC ∆外接圆的圆心,若cos B b =-,且cos cos sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ,则m 的值是( )A.4B.2C.D.11.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()(()2'f x x f x >,其中()'f x 为()f x 的导函数,则下列不等式中,一定成立的是（ ）A. ()()()23123f f f >> B. ()()()149234f f f >> C. ()()()23123f f f << D.()()()149234f f f << 12.定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称,且()f x 在[)0,+∞上单调递减,若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[1,3]x ∈上恒成立,则实数m 的取值范围为( )A. 1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 1ln 66,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1ln 36,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13.421111x x x x ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x -的系数为__________(用数字填写答案).14.已知数列{}n a 满足: 1a m = (m 为正整数),,若61a =,则m所有可能的取值为__________.(把你认为正确的答案全部写上)15.体积为183A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上,球心O 在此三棱锥内部,且:2:3R BC =,点E 为线段BD 上一点,且2DE EB =,过点E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是_____________.16.对于函数()[]()()sin ,0,2{12,2,2x x f x f x x π∈=-∈+∞,下列5个结论正确的是__________(把你认为正确的答案全部写上).(1)任取[)12,0,x x ∈+∞,都有()()122f x f x -≤;(2)函数()y f x =在[]4,5上单调递增;(3) ()()()*22N f x kf x k k =+∈,对一切[)0,x ∈+∞恒成立; (4)函数()()ln 1y f x x =--有3个零点;(5)若关于 x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1?2,x x ,则123x x +=. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(n 为正整数).1.令2nn n b a =,求证数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;2.令1n n n c a n +=,12n n T c c c =+++L ,试比较n T 与521nn +的大小,并予以证明。
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成都外国语学校19-20学年度上期高2017级12月月考
数学试题(文)
出题人：刘丹 审题人：朱世衡 考试时间：120分钟 满分150分
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合 M ={x ∣∣ x <1
2
,x ∈R}，集合 N ={x∣ x ≥−4,x ∈R }，则 M ∩N = ( ) A. {x ∣∣ x ≤1
2
}
B. {x ∣∣ −4≤x <1
2
}
C. R
D. ∅
2. 在复平面内，复数 z 所对应的点 A 的坐标为 (3,4)，则 ∣z∣
z = ( )
A. 4
5
−3
5i
B. 45
+3
5
i
C. 35
−4
5
i
D. 35
+4
5
i
3. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1+a 2+a 3=3，a 4+a 5+a 6=6，则 S 12= ( ) A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
4. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽，⋯⋯，如表是不同发芽天数的种子数的记录：
发芽天数
1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数
8 26 22 24 12 4 2 0 A. 2 B. 3
C. 3.5
D. 4
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著
的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的 x =2，n =2，则输出的 S = ( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 22
6. 已知条件 p:∣x +1∣>2，条件 q:∣x ∣>a ，且q 是 p 的必要不充分 条件，则实数 a 的取值范围是 ( )
A. 0≤a ≤1
B. 1≤a ≤3
C. a ≤1
D. a ≥3
7. 将函数 y =√2sin (2x +π
4) 的图象向右平移 π
12 个单位后，所得图象对应的函数解析式为 ( )
A. y =√2sin (2x −5π
12) B. y =√2sin (2x +5π
12) C. y =√2sin (2x −π
12)
D. y =√2sin (2x +π
12)
8. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该 几何体的体积为 ( ) A. √3π6
+2√3 B. π3
+4
C.
√3π
12
+2√3
D.
2π3
+4
9. 已知实数 a ，b 满足不等式 a 2+(b −1)2≤1，则点 A (1,−1) 与 点 B (−1,−1) 在直线 ax +by +1=0 的两侧的概率为 ( ) A. 3
4 B. 2
3
C. 12
D. 1
3
10. 正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 2S n =a n 2
+a n (n ∈N ∗)，设 c n =(−1)n
2a n +12S n
，
则数列 {c n } 的前 2020项的和为 ( )
A. −2019
2020
B. −2020
2019
C. −2020
2021
D. −2021
2020
11. 设函数 f (x ) 满足 e ()2()x xf x f x x
'+=，f (2)=e 2
4
，则 x >0 时 f (x ) ( )
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值
12. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，
f (x )=x 3，若函数
g (x )=f (x )−log a ∣x∣（a >0，且 a ≠1）至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A. (0,1
5]∪(5,+∞)
B. (0,1
5)∪(5,+∞)
C. (17,1
5
]∪(5,7]
D. (17,1
5
)∪[5,7)
二、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知 tan (π+α)=2，则 sin2α= ．
14. 向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，且 ∣∣a ⃗−2b ⃗⃗∣∣∈(2,2√3]，则 a
⃗，b ⃗⃗ 的夹角 θ 的取值范围是 ．
15. 设实数 x ，y 满足 {2≤x ≤3,
1≤y ≤2,x +y ≤4,
则 y
x−1 的最大值为 ．
16. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)的直线l 与双曲线3x 2- y 2=1交于两点A ，B . 若△OAB 是直
角三角形，则直线l 的斜率为 ．
三、解答题（共6小题；共70分）
17. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，bcosC =acos 2B +bcosAcosB ．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）若 cosA =7
8，且 △ABC 的周长为 5，求 △ABC 的面积．
18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 N 个人参加，现将所有参加
者按年龄情况分为 [20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55) 等七组，其频率分布直方图如图所示，已知 [25,30) 这组的参加者是 6 人．
（1）根据此频率分布直方图求 N ；
（2）已知 [35,40) 和 [40,45) 这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2 人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概率．
19. 在如图所示的几何体中，△ABC 是边长为 2 的正三角形，AE >1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥
平面ABC ，BD =CD ，且 BD ⊥CD ．
（1）若 AE =2，求证：AC ∥平面BDE ；
（2）若B 到DE 的距离是√72
，求该几何体的体积．
20. 已知椭圆 C:
x 2a
2+
y 2b 2
(a >b >0) 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ，离心率为 √22
，
△ABF 的面积为 √2+1 ． （1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 M ， N 为 y 轴上的两个动点，且 MF ⊥NF ，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E ， D 两点．若O 是坐标原点，求证：E 、O 、D 三点共线。
21. 已知称函数()f x 是“有趣的”，如果其满足1()()f x f x
=且x=1是它的零点。
例如
1
()ln ln g x x x
=⋅就是“有趣的”。
已知2()ln()ln()h x x c bx =+-是“有趣的”。
（1）求出b 、c 并判断函数()h x 的单调性；
（2）若对于任意正数x ，都有()()0h x kg x +<恒成立，求参数k 的取值范围。
请考生在22,23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。
22. 在平面直角坐标系下，直线 l:{
x =1+
√22
t,y =√22t
（t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴
为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ−4cosθ=0． （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，求 ∣AB ∣ 的值．
23. 已知函数 f (x )=∣x∣（x ∈R ）．
（1）求不等式 f (x −1)+f (x +1)≤4 的解集 M ； （2）若 a,b ∈M ，证明 2f (a +b )≤f (ab )+4．。