高中数学选修2-1曲线与方程 例题解析

曲线与方程 例题解析

【例1】求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．

【分析】因题没有直角坐标系，故需按建系、设点、列式、代换、化简、证明直接来求轨迹方程． 【解】 以两不同定点A ，B 所在的直线为x 轴，ＡＢ的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设Ｐ（x ，y ）是轨迹上任一点，A(－a ，0)，B(a ，0)，（a ＞０）．

由题设得PB PA λ=，即

()()2222y a x y a x +-=++λ，

∴()()()021122222

=++++-ax a y x λλ

当1=λ时，方程x=0表示一条直线．

当1≠λ时，方程为2

222

2

2

1211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-++λλλλa y a x ，表示一个圆． 所以当1=λ时，点的轨迹是一条直线；当1≠λ时，点的轨迹是一个圆．

【点评】 题中没有坐标系，因此要根据条件建立坐标系，一般要利用题中的有关定点、定直

线、和图形的对称性来建立．

【例2】已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （－2，0）、B （0，－2），第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心轨迹方程．

【分析】可设重心坐标为（x ，y ），顶点C 的坐标为（0x ，0y ），根据已知条件将0x 、0y 用x ，y 表示，再代人曲线132-=x y 的方程，求轨迹方程．

【解】设C 点坐标为（0x ，0y ），△ABC 重心坐标为（x ，y ），依题意有 3020

x x ++-=

3

200y y +-=

解得 230+=x x 230+=y y

因点C （x ．，0y ）在132-=x y 上移动，132

00-=x y 所以()1233232

-+=+x y ，整理得

()191322

+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+y x 为所求△ABC 重心轨迹方程．

【点评】本题是用转移代人法求轨迹方程．若动点M 随着已知曲线上的动点()11,y x P 作有规律的运动，又可将点P 的坐标表示为()()y x g y y x f x ,,,11==，则需要将()()y x g y y x f x ,,,11==代入已知曲线的方程，整理便得所要求的轨迹方程． 【例3】已知动圆过点

相外切，求动圆圆心的轨迹方

程．

【分析】根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点．根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程． 【解】 因为

所以定圆圆心为

，半径为6

设动圆圆心为，半径为r

由双曲线定义，

的轨迹是双曲线的一个分支．

故所求轨迹方程为：

【点评】 由条件及圆锥曲线的定义能判断所求轨迹是什么曲线，再利用圆锥曲线的标准方程来求轨迹方程是一个简化的过程．

【例4】 已知点P(－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足MQ AM AM PA 2

3

,

0-

==⋅ （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；

（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平

行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．

【分析】 动点M 的轨迹是由点A 在y 轴上移动而得，因而用动点M 的坐标来表示点A 的坐标，再根据点A 满足MQ AM AM PA 23

,

0-

==⋅求点M 的轨迹C 的方程．

【解】（1）设点M 的坐标为(x ，y)，则由MQ AM 2

3-=得A(0，－

2

y )

0=⋅AM PA 得(3，2

y

-

))2

3,

(y

x ⋅=0⇒y 2=4x ∴所求动点M 的轨迹C 的方程：y 2=4x

(2) 轨迹C 的焦点为F （1，0），准线为l ：x=－1，对称轴为x 轴， 设直线m 的方程为x=ty+1，代入y 2=4x ，得y 2－4ty －4=0．

设H 、G 的坐标分别为(12

1,4

y y )，(222

,4y y )，则y 1y 2=－4．

∴n l=E(－1，y 2)

∴,1(-=OE y 2)，),4

(12

1

y y OH =

∵（－1·y 1）－（421

y ·y 2）=－y 1－（4

21y y ）y 1=－y 1＋y 2=0，

∴E ，O ，H 三点共线．

【点评】本题是用向量的知识方法来处理求动点M 的轨迹C 的方程，并用向量的知识来证明

E ，O ，H 三点共线．所以要求具有较强分析问题和处理问题的综合能力．

【例5】过定点()

0,3-M 作直线与椭圆13

42

2=+y x 相交于Ａ、Ｂ两点，Ｏ为原点，求△ＡＯＢ面积的最大值．

【分析】设过定点()

0,3-M 作直线方程后，与椭圆13

42

2=+y x 联立，写出△ＡＯＢ面积关于直线的斜率的函数解析式，利用基本不等式求解． 【解】设直线ＡＢ的方程为()

3+=x k y ，

则由方程组()

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=134

3

22y x x k y 消去y ，得

()()

.01123843222

2

=-+++k x k x

k

()()

2

2

224339141k k

k x x k AB B A +++=

-+=． 又点Ｏ到直线ＡＢ的距离2

13k

k d +=

，则