证明三点共线问题的方法

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证明三点共线问题的方法

1、利用梅涅劳斯定理的逆定理

例1、如图1,圆内接ΔABC 为不等边

三角形,过点A 、B 、C 分别作圆

的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1

A 、1

B 、1

C ,求证:1A 、1

B 、1

C 三点共线。

解:记,,BC a

CA b AB c ===,易知

111

1

AC C

CC B

S AC

C B S

∆∆=

又易证1

1

AC C

CC B

∆∆.则

112

2

2

AC C CC B S AC b S CB a

∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.

同理

1212

1

212,BA c CB a A C b B A c

==.故

111222

1

112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c

⋅⋅=⋅⋅=.

由梅涅劳斯定理的逆定理,知1

A 、1

B 、1

C 三点共线。

2、利用四点共圆(在圆内,主要由角相等或互补

得到共线)

例2 、如图,以锐角ΔABC 边BC 为直径作⊙O ,过点A 作⊙O 的两条切线,切点为M 、A B C C 1

B

1

A

1

N ,点H 是ΔABC 的垂心.求证:M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数)

证明:射线AH 交BC 于D ,显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ,易知C 、H 、E 三点共线。

联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH , 易知0

90AMO ANO ADO ∠=∠=∠=,

∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆,更有A 、M 、D 、N 四点共圆, 此时,0

+180AND ∠∠=AMD

因为2

AM AE AB AH AD =⋅=⋅(B 、D 、H 、E 四点共圆),

即AM AD AH AM =;又MAH DAM ∠=∠,所以AMH ADM ∆∆,故AHM AMD ∠=∠

同理,AHN AND ∠=∠。

因为0

180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=,所以,M 、H 、N 三点共线。

3、利用面积法

如果S S EMN FMN =∆∆,点E 、F 位于直线MN 的异侧,则直线MN 平分线段EF ,即M 、N 与EF 的中点三点共线。

例3 、如图,延长凸四边形ABCD 的边AB 、DC 交于点E ,延长边AD 、BC 交于点F ,又

M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点,求证:M 、N 、L 三点共线。

证明:设BC

图所示, 由//,//OM AE ON DE 可知, 点O 必在EMN ∆内,此时,

S S S S EMN OMN OME ONE =++∆∆∆∆ O O O B MN

MB

NC

MN

BCN

S S S S S ∆∆∆∆∆=++=+ B B BC 11111

()()()22224

MD BCD MC DMC A ADC ABCD

S S S S S S S

∆∆∆∆∆∆=+=+=⋅+=四边形 同理,1

4

FMN

S

S ∆=

四边形ABCD 。

因此S S EMN FMN =∆∆。此时,直线MN 平分EF ,即M 、N 、L 三点共线。

注:利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。

4、利用同一法

E

尽管同一法是一种间接证法,但它却是一各很有用的证法,观察例4后,你会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地。

例4 、如图4(a),凸四边形ABCD 的四边皆与⊙O 相切,切点分别为P 、M 、Q 、N ,设PQ 与

MN 交于S

A 、S 、C 证明:如图4(b)

令PQ 与AC 交于

/

S ,

易证/

/

APS CQS ∠∠与互补。 而/

/

AS P CS Q ∠=∠,则

//////sin sin sin sin AS APS CQS S C

AP AS P CS Q CQ

∠∠===∠∠,

//

AS AP

S C CQ

=。再令MN 与AC 交于//

S 。同理可得

////AS AM

S C CN

= 但

AP AM

CQ CN

=,所以

///

///AS AS S C S C

=

。利用合比性质得,

(b)(a)

B

///

AS AS AC AC

=。

因此,/

//

AS AS =,可断定/

S 与//

S 必重合于点S ,故A 、S 、C 三点共线。

注:观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线;换言之,AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。

5、利用位似形的性质

如果ABC ∆与/

/

/

A B C ∆是两个位似三角形,点O 为位似中心,那么不仅A 、/A 、O ;B 、/

B 、O ;

C 、/C 、O 分别三点共线,而且ABC ∆、///

A B C ∆的两个对应点与位似中心O 也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,颇为有用。

例5、如图,ABC ∆内部的三个等圆⊙1O 、⊙2

O 、⊙3

O 两两相交且都经过点P ,其中每两个圆都与ABC ∆

ABC ∆O 三点共线。 证明:联结12O O 、1O 由已知得

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