证明三点共线问题的方法
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证明三点共线问题的方法
1、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例1、如图1,圆内接ΔABC 为不等边
三角形,过点A 、B 、C 分别作圆
的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1
A 、1
B 、1
C ,求证:1A 、1
B 、1
C 三点共线。
解:记,,BC a
CA b AB c ===,易知
111
1
AC C
CC B
S AC
C B S
∆∆=
又易证1
1
AC C
CC B
∆∆.则
112
2
2
AC C CC B S AC b S CB a
∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.
同理
1212
1
212,BA c CB a A C b B A c
==.故
111222
1
112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c
⋅⋅=⋅⋅=.
由梅涅劳斯定理的逆定理,知1
A 、1
B 、1
C 三点共线。
2、利用四点共圆(在圆内,主要由角相等或互补
得到共线)
例2 、如图,以锐角ΔABC 边BC 为直径作⊙O ,过点A 作⊙O 的两条切线,切点为M 、A B C C 1
B
1
A
1
N ,点H 是ΔABC 的垂心.求证:M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数)
证明:射线AH 交BC 于D ,显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ,易知C 、H 、E 三点共线。
联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH , 易知0
90AMO ANO ADO ∠=∠=∠=,
∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆,更有A 、M 、D 、N 四点共圆, 此时,0
+180AND ∠∠=AMD
因为2
AM AE AB AH AD =⋅=⋅(B 、D 、H 、E 四点共圆),
即AM AD AH AM =;又MAH DAM ∠=∠,所以AMH ADM ∆∆,故AHM AMD ∠=∠
同理,AHN AND ∠=∠。
因为0
180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=,所以,M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法
如果S S EMN FMN =∆∆,点E 、F 位于直线MN 的异侧,则直线MN 平分线段EF ,即M 、N 与EF 的中点三点共线。
例3 、如图,延长凸四边形ABCD 的边AB 、DC 交于点E ,延长边AD 、BC 交于点F ,又
M 、N 、L 分别是AC 、BD 、EF 的中点,求证:M 、N 、L 三点共线。
证明:设BC
图所示, 由//,//OM AE ON DE 可知, 点O 必在EMN ∆内,此时,
S S S S EMN OMN OME ONE =++∆∆∆∆ O O O B MN
MB
NC
MN
BCN
S S S S S ∆∆∆∆∆=++=+ B B BC 11111
()()()22224
MD BCD MC DMC A ADC ABCD
S S S S S S S
∆∆∆∆∆∆=+=+=⋅+=四边形 同理,1
4
FMN
S
S ∆=
四边形ABCD 。
因此S S EMN FMN =∆∆。此时,直线MN 平分EF ,即M 、N 、L 三点共线。
注:利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
E
尽管同一法是一种间接证法,但它却是一各很有用的证法,观察例4后,你会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地。
例4 、如图4(a),凸四边形ABCD 的四边皆与⊙O 相切,切点分别为P 、M 、Q 、N ,设PQ 与
MN 交于S
A 、S 、C 证明:如图4(b)
令PQ 与AC 交于
/
S ,
易证/
/
APS CQS ∠∠与互补。 而/
/
AS P CS Q ∠=∠,则
//////sin sin sin sin AS APS CQS S C
AP AS P CS Q CQ
∠∠===∠∠,
故
//
AS AP
S C CQ
=。再令MN 与AC 交于//
S 。同理可得
////AS AM
S C CN
= 但
AP AM
CQ CN
=,所以
///
///AS AS S C S C
=
。利用合比性质得,
(b)(a)
B
///
AS AS AC AC
=。
因此,/
//
AS AS =,可断定/
S 与//
S 必重合于点S ,故A 、S 、C 三点共线。
注:观察本题图形,显然还可证得B 、S 、D 三点共线;换言之,AC 、BD 、PQ 、MN 四线共点。
5、利用位似形的性质
如果ABC ∆与/
/
/
A B C ∆是两个位似三角形,点O 为位似中心,那么不仅A 、/A 、O ;B 、/
B 、O ;
C 、/C 、O 分别三点共线,而且ABC ∆、///
A B C ∆的两个对应点与位似中心O 也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,颇为有用。
例5、如图,ABC ∆内部的三个等圆⊙1O 、⊙2
O 、⊙3
O 两两相交且都经过点P ,其中每两个圆都与ABC ∆
ABC ∆O 三点共线。 证明:联结12O O 、1O 由已知得