人猫鸡米过河模型

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2202

所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 杨松泉

2. 付建华

3. 付琪

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组

日期： 2012年 8月 8日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

人、鸡、米、猫过河模型

摘要

研究目的：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键词：过河模型、模仿、商人过河

一．问题的提出

模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二．模型的假设与符号说明

假设：

1、假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。

2、当人不在场时，猫一定会吃鸡，鸡一定会吃米。

3、不考虑外界其他影响。

符号说明

三、问题分析

考虑到猫不能和鸡在一起，鸡不能和米在一起这个因素人每次只能带一样过去，且还得开船。

四、模型建立与求解

Ⅰ. 模型的建立：

人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，

则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。记s 的反状态为

()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为：

()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u

，否则记0=i u ，允许决策集合为

(

)

(

)

(

)

(

){}

0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）

人鸡米猫

记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为

()k

d k k s k s 11-+=+， （3） 设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。 Ⅱ. 模型的求解：

从而我们得到一个可行的方案如下：

从而得出：

方法1：人带鸡过去，人回来，再人带米过去，把鸡带回来，然后人带猫过去，人回来，最后人带鸡过去。

方法2：人带鸡过去，人回来，再人带猫过去，把鸡带回来，然后人带米过去，人回来，最后人带鸡过去。

五、模型评价与推广

优点：推理详细。

缺点：问题的求解没有使用LINGO 或MATLAB 软件。

推广：正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。

六．模型的改进

可从 LINGO 或MATLAB 软件进行改进，建立模型。