(整理)4第四章级数.

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第四章 级数

本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。

§4.1 复数项级数

1.复数序列

给定一列无穷多个有序的复数

111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，…

称为复数序列，记为}{n z 。

定义4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有

ε<-||0z z n ，

则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为

0lim z z n

=。

2.复数项级数

定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式

++++=∑∞

=n n n

z z z z

211

(4.1.1)

称为复数项级数。

定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列

}{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n 以有限复数ib a s +=为极限，即若

s s n n =∞→lim ，

则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为

s z

n n

=∑∞

=1

；

若部分和

}{21n n z z z s +++= ， ,2,1=n

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由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑n

a

和虚部级数

∑n

b

都收敛。

定义 4.1.4：若级数

∑=1

n n

z

收敛，则称级数

∑=1

n n

z

绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛

级数。

【注】：上述柯西乘积等式最右边的式子即是按下述对角线方法作出：

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3.复变函数项级数

定义 4.1.5：设复函数序列{} ,2,1),(=n z f n 的各项均在点集C ⊂E 上有定义。若存在一个在E 有定义的函数)(z f ，对E 中每一点z ，复函数项级数

++++=∑∞

=)()()()(211

z f z f z f z f

n n n

(4.1.2)

均收敛于)(z f ，则称级数(4.1.2)在E 上收敛，其和函数为)(z f ，记为

)()(1

z f z f

n n

=∑∞

=。

此定义用精确的语言叙述就是：任给0>ε，以及给定的E z ∈，存在正整数),(z N N ε=，使当),(z N n ε>时，有

ε<-)()(z S z f n ，

其中∑==

n

k k

n z f

z S 1

)()(。

上述的正整数),(z N N ε=，一般地说，不仅依赖于ε，而且依赖于E z ∈。重要的一种情形是N 不依赖于E z ∈，即)(εN N =，这就是一致收敛的概念：

定义4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集E 上有函数)(z f ，使对任意给定的0>ε，存在正整数

)(εN N =，当N n >时，对所有的E z ∈，均有

ε<-)()(z S z f n ，

则称级数(4.1.2)在E 上一致收敛于)(z f 。

这样的正项级数∑=1

n n

M

，称为复函数项级数

∑=1

)(n n

z f

的优级数。

例：级数

∑∞

=0

n n

z

++++++=n z z z z 321在闭圆r z ≤)1(

证：事实上，所述级数有收敛的优级数∑∞

=0

n n

r

。

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定义4.1.7：设),2,1)(( =n z f n 在区域D 内有定义，若

∑∞

=1

)(n n

z f

在含于D 内的任意一个有界闭区域

d 上都一致收敛，则称级数∑∞

=1

)(n n z f 在D 内闭一致收敛。

§4.2 幂级数

1 幂级数的概念

幂级数定义：当n n n a z c z f )()(-=或n

n n z c z f =)(时，就得到复函数项级数的特殊情况：

∑∞

=-0

)(n n n

a z c

+-++-+-+=n n a z c a z c a z c c )()()(2210 (4.2.1)

或

∑∞

=0

n n

n z

c +++++=n n z c z c z c c 2210 (4.2.2)

这种级数称为幂级数，其中n c 及a 都是复常数。

如果在(4.2.1)中令0=a ，就得到(4.2.2)。一般地，如果在(4.2.1)中作变换ζ=-a z （变换后把ζ