4第4讲函数的图象高考数学复习

第4讲函数的图象

1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、

周期性、对称性等

)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，

连线．

2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换

[注意](1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．

(2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．

(2)对称变换

①y ＝f(x)――→关于x 轴对称

y ＝－f (x)；②y ＝f(x)――→关于y 轴对称

y ＝f(－x)；③y ＝f(x)

――→

关于原点对称

y ＝－f(－x)；

④y ＝a x

(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称

y ＝log a x(x ＞0)．

(3)翻折变换

①y ＝f(x)――→保留x 轴及上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f(x)|；②y ＝f(x)

――→

保留y 轴及右边图象，并作其

关于y 轴对称的图象

y ＝f(|x|)．

(4)伸缩变换①y ＝f(x)

a ＞1，横坐标缩短为原来的1

a

倍，纵坐标不变0

a 倍，纵坐标不变→

y ＝f(ax)．

②y＝f(x)

a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变

0

→

y＝af(x)．

常用知识拓展

1．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)?函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)．

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线

x＝a＋b

2

对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)?函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－

f(2a＋x)．

3．两个函数图象之间的对称

(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a

2

对称(由a＋x＝b－x得对称轴方

程)．

(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．

(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．()

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．()

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√

下列图象是函数y＝x2，x<0，

x－1，x≥0

的图象的是()

答案：C

函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()

A．e x＋1B．e x－1

C．e－x＋1D．e－x－1

解析：选D.曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.

若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(x－4)的图象一定经过点________．答案：(5，1)

若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：

由题意a＝|x|＋x，

令y＝|x|＋x＝2x，x≥0，

0，x<0，

图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0，即实数

a的取值范围是(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

作函数的图象(师生共研)

分别作出下列函数的图象．

(1)y＝2x＋2；

(2)y＝|lg x|；

(3)y＝x＋2 x－1

.

【解】(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．