专题提升5与垂径定理有关的辅助线

专题提升5与垂径定理有关的辅助线

i •如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面

A. 3 cm

B.4 cm

C. 5 cm

D. 6 cm

【解】连结OA过点O作OC L AB交AB于点D

设该输水管的半径为r(cm).

■/ AB宽为8 cm ,••• AD= 4 cm.

2 2 2

•/ DC= 2 cm,「. OD= (r -2) cm , r = (r -2) + 4 ,

• r = 5(cm).

【解】连结OA

T CD= 8, OC= 5,「. 0D= 3.

由已知，得CDL AB 贝U AD= 52-32,

解得AD= 4. • AB= 8.

3.已知O 0的直径CD= 10 cm , AB是O O的弦，ABL CD垂足为M且AB= 8 cm，贝U AC的

长为(C)

A. 2 5 cm B . 4 5 cm

水管底部到水面的距离为 2 cm则该输水管的半径为（C）

（第1

题）

AB宽为8 cm输

2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离0C为5 m,则水面宽AB为（D）

A. 4 m

B. 5 m

Q

I J

A J J a

C. 6 m

D. 8 m

CD为8 m,桥拱半径

（第2

）

C. 2 :5 cm 或 4 ：5 cm D . 2 :3 cm 或 4 '3 cm

【解】 连结AO 当点C 的位置如解图①所示时， 易得AC= ..；A M+ CM= 42

+ 82

= 4 ：

5(cm);

当点C 的位置如解图②所示时，易得

AC= /22+ 42= 2 \ 5(cm).

【解】 过点O 作OCL AB 于点C,连结OA •/ OA= 5, AC= 1AB= 4,「. OC= 3.

••• 3w OPC 5,「. OP 的长为 3 或 4 或 5.

当OP= 3时，点P 只能与点C 重合；当OP= 4时，点P 可以在AC 上，也可以在 BC 上, •有

2个点P;当OP= 5时，点P 与点A 或点B 重合.

综上所述，满足条件的点 P 有5个.

5.如图，在以点 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C, D, AB= 2CD 弦AB 的

4.如图，O O 的直径为10 cm ,弦AB 为8 cm , P 是弦AB 上一点.若

OP 的长是整数，则满

足条件的点P 有

(D) （第4题）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

① ②

(第3题解)

【解】连结OC OA

1 ,

••• AB= 2CD 04 qCDAB

1

•••0P= C= q AR

•/ R 2= 0R + A R = 50R , r 2 = oR + cR = 20R ,

• R = .50R r = 20R •

6.如图，O 0的半径0R= 10 cm,弦AB 过0P 的中点 Q 且/ 0QB= 45°，则弦 AB 的弦心距

【解】 过点0作0CL AB 于点C,连结0A

•••O 0的半径 0P= 10 cm ，弦AB 过0P 勺中点 Q,

• 0Q= 5 cm.

•••/ 0C 食 90°,/ 0Q & 45°, •••△ 0CC 为等腰直角三角形， • 0C=竽 cm

• AB= 2AC= 5 14 cm.

7.已知O 0的半径为2，弦BC= 2 3，A 是O 0上一点，且A B= AC 直线A0与 BC 交于点D, 则AD

的长为1

或3.

【解】 TO O 的半径为2，弦BC= 2 3，A 是O O 上一点，且A B= AC • ADL BC • BD=尹 C= 3. 分两种情况讨论： ①如解图①所示，连结 OB 在 Rt △ OBD 中 BD + OD = OB,

在Rt △ A0C 中，根据勾股定理，得 （第6）

cm

，

即(，⑶2+ OD 22

,解得 0D= 1.

••• AD= OA OD= 2 — 1= 1.

①

r

（第7题解）

②如解图②所示，连结 0B 同理于①，得 AD= OAF OD= 2+ 1 = 3.

&如图，在 Rt △ AOB K/ 0= 90°, OA= 6, OB= 8.以点O 为圆心，OA 长为半径作圆交 于点C,

求BC 的长.

【解】 过点O 作AB 的垂线，垂足为 E ,连结OC

AB = O A + O B = 6 + 8 = 10,

••• AE = .'AO)- OE =错误！=, •AC=2AE=,

• BC= AB — AC= 10 —=.

【解】 过圆心O 作OGL CD 交O O 于点G,交CD 于点H •/ OGL CD • CG= DG 又••• CD/ AB • OGLAB

AG= BG 二 AC= BD

•••DE!AB 且AB 是O O 的直径，

.BD= B E . AC = B E

k

AB

OE=

OA OB 6 x 8 AB =

9.如图, AB 为O O 的直径，弦 CD/ AB 弦 DEL AB 求证：AC= BE

（第8）

（第9）