全等三角形经典模型总结(超经典)
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
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全等的相关模型总结一、角平分线模型应用 1•角平分性质模型：②如图2，已知，1 2， 3 4.求证：AP 平分BACA① 2 (提示：作DE AB 交AB 于点E )②1 2 PM PN 3 4 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC(2) .模型巩固:练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分 BAC .①如图1,在ABC 中 距离是90°, AD 平分CAB'BC 6cm,BD 4cm,那么点D 到直线AB 的cm.I)(1) •例题应用: 辅助线：过点G 作GE 射线AC图1图2•求证： A C 180练习二：已知如图4,四边形ABCD中，B D 1800,BC CD•求证：AC平分BAD.练习三：如图5 Rt ABC中，ACB 90 , CD AB,垂足为D , AF平分CAB,交CD于点E 交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论图5 图6练习四：如图7，/ A 90，AD // BC，P是AB的中点，PD平分/ ADC求证：CP 平分/ DCB图7练习五：如图 8, AB> AC / A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自D 作DE L AB, DF 丄AC,垂足 分别为E , F .求证：BE=CF图8练习六：如图9所示，在△ ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交厶BAC 的外角平分线 AD 于点D , F 为垂足，DE 丄AB 于E ,并且 AB>AC 。
求证：BE — AC=AE 。
练习七： 如图10, D 、E 、F 分别是△ ABC 的三边上的点， CE=BF ，且△ DCE 的面积与厶 DBF 的面 积相等，求证：AD 平分/ BAC 。
全等三角形经典模型总结解析
全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線の性質模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現A、例題輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F .求證：1()2BE AC AB=-.例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交ADの延長線於M. 求證：1()2AM AB AC=+.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC .A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC .2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，求證：AD＋BD＝BC .3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，求證：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF ≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應用1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF .求證：∠ADB＝∠CDF .變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF .求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .Fpg四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結論：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需構造等邊三角形證明）Fpg 例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：如圖②，分別以△ABC のAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M 即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．2、△ABD 和△ACE 均為等腰直角三角形結論：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形結論：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .變式1、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形，AS ⊥BC 交FD 於T ，求證：（1）T 為FD 中點；（2）ABC ADF SS .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：AS⊥BC .4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型條件：1,+=1802αββθβ=︒且，兩邊相等.思路：1、旋轉輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND .2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN於點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM .變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且滿足EF＝BE＋DF，求證：12EAF BAD ∠=∠.變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且12EAF BAD∠=∠，求證：EF＝BE＋DF .。
全等三角形9种经典几何模型
1初中数学几何模型【模型1】倍长1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交EABCFABC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.图1DFD【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ；(2)若︒=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．2E CODECOD O C【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ．HGEFA BDC【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为.HGFEADBC【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，【结论】OAC OBD ≅；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；3CDA B EEFEBDAC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE =2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为 .【例6】如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ，AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，求DFG ∠GFD CBAE【例7】如图，在边长为62ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH 。
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全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作 GE射线AC（1） .例题应用：①如图 1，在ABC中，C900， AD 平分 CAB , BC 6cm, BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.②如图 2，已知，1 2 ，34 .求证： AP平分 BAC .图 1图2① 2（提示：作 DE AB 交 AB 于点 E ）②12 ， PM PN ，3 4 ， PN PQ ， PM PQ, PA平分 BAC .(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形 ABCD 中， BC>AB ， AD=CD ，BD 平分BAC ..求证：A C180图3练习二：已知如图4，四边形 ABCD 中，B D 1800 , BC CD.求证： AC 平分BAD .图 4练习三：如图5，Rt ABC 中， ACB900， CD AB, 垂足为 D ， AF 平分CAB ,交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F.(1)求证： CE=CF.(2)将图 5 中的△ ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E '的位置，使点 E'落在BC边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想：BE'于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5图6练习四：如图7，∠ A90 ， AD ∥ BC ， P 是 AB的中点， PD平分∠ ADC．求证： CP平分∠ DCB．A D214E3PB C图 7练习五：如图8，AB＞ AC，∠ A 的平分线与 BC的垂直平分线相交于D，自 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为 E， F．求证： BE=CF．图 8练习六：如图9 所示，在△ ABC 中， BC 边的垂直平分线DF 交△ BAC 的外角平分线AD 于点 D， F 为垂足， DE ⊥AB 于 E，并且 AB>AC 。
求证： BE－ AC=AE 。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
全等三角形经典模型总结
全等三角形经典模型总结1.S-A-S（边-角-边）全等法则：当一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
2.A-S-A（角-边-角）全等法则：当一个三角形的两角和夹边分别等于另一个三角形的两角和夹边时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，BC=EF，并且∠BCA=∠EFD，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
3.S-S-S（边-边-边）全等法则：当两个三角形的三边分别对应相等时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且AC=DF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
4.H-L（高-底）全等法则：如果两个三角形的高和底分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果h1是三角形ABC的高，b1是它的底，h2是三角形DEF的高，b2是它的底，如果h1=h2，b1=b2，则三角形ABC全等于三角形DEF。
5.A-A-S’（角-角-边）全等法则：若三角形的两个角和两个边分别与另一三角形的两个相对角和边对应，则两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，并且AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
6.1-1-1全等法则：如果两个三角形的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
7.1-1-边（边-边）全等法则：如果两个三角形的两个边和一个夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型及习题练习第一部分全等模型图一、平移模型特征：可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的，故在同一直线上的对应边的相等关系一般可由加（减）公共边证得，对应角的相等关系可由平行线的性质证得。
二、平行模型(X型)特征：平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型（翻转型，部分X型）特征：图形关于某一条直线对称，则这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点。
图①中有公共角∠A；图②中对顶角相等（∠AOC=∠BOD)；图③④中分别有公共边AB,BD四、旋转模型特征：可看成是以三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中五、角平分线模型旋转有重叠特征：角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形（如图①,ΔA1BD1≌ΔC1BD1),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形（如图②,ΔA2BD2≌ΔC2BD2)六、双直角三角形模型特征：证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理,相等的角就是对应角七、一线三等角模型（K型）特征：如图①,,三个等角指的是α(图②中,α=90°),利用外角定理可证得∠1=∠2或∠3=∠4第二部分精选例题例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM 交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.AC=BC（已知）∠1=∠3 （已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC定角度：三角形全等分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF 条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).例4 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．定对象：如图定角度：三角形全等分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD 和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交 DE于G，∠ACB=105°，∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．例6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于多少？分析：对象：△DBE的周长角度：（1）BD，DE，BE的长解：因为DE⊥AB，所以AED ACD∠=∠因为AD是∠BAC的平分线，所以EAD CAD≅则AE=AC ∠=∠又因为AD为公共边所以AED ACD DE=DC所以△DBE的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20例7如图13—3—8所示，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：EF⊥AD．分析：对象：△ABC 角度：（1）AD是∠BAC的平分线，（2）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以0∠=∠=又因AED AFD90为AD是∠BAC的平分线，所以EAD FAD∠=∠由于AD是公共边所以AED AFD≅则AE=AF 因为AD是∠BAC的平分线所以EF⊥AD。
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全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ， 求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
(完整版)全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF SS .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .A、例题例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。
模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG所以BF=NG=NC+CG=DF+CG模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝27°解：在DC上截取DE＝BD，连接AE∵AD⊥BC，DE＝BD∴AD是BE的垂直平分线∴AB＝AE∴∠B＝∠AEB＝54°∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC∴AB＝EC∴AE＝EC∴∠C＝∠EAC∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°故答案为：27°变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE∵∠ACB＝60°∴∠CAB+∠ABC＝120°∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点∴∠CAP＝∠BAP＝∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP ∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP（SAS）∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE∴AP＝BE∴BE＝PE∴∠EPB＝∠EBP∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°∴∠PAB＝40°∴∠CAB＝80°故选：C【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠EBD在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED∵AD＝CD∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F。
一网打尽全等三角形模型-十个模型(解析版)
一网打尽全等三角形模型(10个模型)目录模型梳理题型一倍长中线模型题型二一线三等角模型题型三半角模型2022·山东日照真题题型四手拉手模型2022·张家界真题2022·贵阳中考题型五对角互补+邻边相等模型题型六平行线夹中点模型题型七截长补短模型题型八绝配角模型2023·深圳宝安区二模2023·深圳中学联考二模题型九婆罗摩笈模型2022武汉·中考真题2020·宿迁中考真题题型十脚蹬脚模型(海盗埋宝藏)模型梳理模型1倍长中线模型(一)基本模型已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED=AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF=DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．(二)结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD．∵∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD=CD．∵∠BDE=∠CDF，DE=DF，∴△BDE≌△CDF．(三)解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型(一)基本模型已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论1：△CAP≌△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论2：△APC≌△BDP．(二)结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1+∠C+∠APC=180°，∠2+∠BPD+∠APC=180°，∠1=∠2，∴∠C=∠BPD．∵∠1=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1=∠C+∠APC，∠2=∠BPD+∠D，∠3=∠BPD+∠APC，∠1=∠2=∠3，∴∠C=∠BPD，∠APC=∠D．∵AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△APC≌△BDP．(三)解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形(正方形或矩形)为背景，在几何综合题中考查．模型3半角模型(一)基本模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF=60°．结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D，E在BC上，∠DAE=45°．结论3：DE2=BD2+CE2．(二)结论推导结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG=BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBE=∠DCF=90°，∴∠DBE=∠DCG=90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE=DG，∠DEB=∠G，∠BDE=∠CDG．∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDG+∠CDF=60°，即∠GDF=60°．∵DF=DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF=FG，∠DEF=∠G，∠DFC=∠DFE．∴∠DEB=∠DEF．∵FG=CG+CF，∴EF=BE+CF．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠G=∠AFD，∠BAG=∠DAF．∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，∠AEB=∠AEF，∠AFE=∠G．∴∠AFD=∠AFE．∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF．结论3：DE2=BD2+CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B=45°，∴∠ECF=90°，∴EF2=CF2+CE2=BD2+CE2，∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AED，∴EF=DE，∴DE2=BD2+CE2．(三)解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线(延长或旋转)，构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型(一)基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE，结论2：∠BOC=∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．(二)结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE．证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．结论2：∠BOC=∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠AFB=∠OFC，∴∠BOC=∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD=S△ACE，∴12BD⋅AG=12CE⋅AH．∵BD=CE，∴AG=AH，∴OA平分∠BOE．(三)解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
八上：全等三角形的常见模型
全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，在几何证明中有着广泛的应用，在几何证明的过程中，存在着一些全等三角形的经典的模型．这一讲我们会把常见的全等模型分享给大家，希望能让大家对全等的理解更进一步！一、手拉手模型1、等边三角形手拉手已知：如图，ABC△均为等边三角形．△和ADE结论：ABD∠．∠=︒；AP平分BPE△≌ACE△；60BPC2、等腰直角三角形手拉手已知：如图，ABC△均为等腰直角三角形．△和ADE结论：ABD∠．∠=︒；AP平分BPEBPC△；90△≌ACE3、等腰三角形手拉手已知：如图，ABC∠=∠．△均为等腰三角形，且BAC DAE△和ADE结论：ABD∠．∠=∠；AP平分BPE△；BPC BAC△≌ACE二、三垂直模型1、已知：如图，正方形EFGH的各顶点在正方形ABCD的边上．结论：EAF△．△≌HDE△≌GCH△≌FBG2、已知：如图，正方形ABCD中，AG BH⊥，CE DF⊥．⊥，BH CE结论：ABG△．△≌DAF△≌BCH△≌CDE3、已知：如图，正方形ABCD中，点F为CD上一点，连接BF，作AE BF⊥交BC于点E．结论：ABE△．△≌BCF三、角含半角模型1、正方形角含半角已知：如图，正方形ABCD中，点,E F分别为边BC,CD上的点，且45∠=︒．EAF结论：EF DF BE =+；AEF ABE ADF S S S =+△△△．2、等腰直角三角形角含半角已知：如图，等腰直角三角形ABC △中，点D ,E 为斜边BC 上的点，且45DAE ∠=︒．结论：222DE BD CE =+．3、 对角互补模型1） 已知：如图，90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠．结论：CD CE =；OD OE +； 212ODCE S OC =四边形． 2） 已知：如图，2120AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠．结论：CD CE =；OD OE OC +=；2ODCE S =四边形．全等三角形是初中几何的重点，是研究图形性质的基础，这一讲我们对于全等三角形中常见的模型进行了总结，但是这些内容更偏重理论，希望能够在此抛砖引玉，引发大家对学习方法上的思考，并能在平时学习中对全等三角形的模型多加理解和运用．。
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型摘要：1.全等三角形的定义与性质2.全等三角形的八大基本模型1.手拉手模型2.一线三垂直模型3.一线三等角模型4.等腰三角形中边边角模型5.背对背模型6.半角旋转模型7.角分线模型8.正方形手拉手模型正文：全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，同时掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角分别相等。
2.一线三垂直模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角分别相等，同时还有另一条公共边上的一个角与另一个角的补角相等。
3.一线三等角模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边上的三个角分别相等。
4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，同时这两个等腰三角形的底角分别相等。
5.背对背模型：两个三角形分别有一个角和另一个角的补角相等，且这两个三角形的另一条边分别相等。
6.半角旋转模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角中有一个角是另一个角的一半。
7.角分线模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边上的一个角平分另一个角。
8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的边与另一个正方形的对角线相等。
在解决全等三角形问题时，我们可以根据题目所给的条件，结合全等三角形的性质和八大基本模型，通过适当的变换和推理，证明两个三角形全等。
全等三角形的经典模型(一)
全等三角形的经典模型(一)全等三角形的经典模型（一）在研究三角形的时候，全等三角形是一个非常重要的概念。
这里介绍一些经典的模型，帮助大家更好地理解和应用全等三角形。
三角形7级：倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短是一个非常经典的全等三角形模型。
当三角形的中线等于另一条边的一半时，可以证明三角形全等。
此外，如果一条边被截成两段，其中一段的长度等于另一条边的长度减去另一段的长度，那么这两个三角形也是全等的。
三角形8级：全等三角形的经典模型（一）这是一个非常基础的全等三角形模型，利用的是三边对应相等的原理。
如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。
三角形9级：全等三角形的经典模型（二）这个模型利用的是两边一角相等的原理。
如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，那么这两个三角形是全等的。
题型一：等腰直角三角形模型等腰直角三角形是一个非常特殊的三角形，可以利用其特殊的性质来解决问题。
常见的辅助线包括作高和补全为正方形等。
思路导航如果要解决一个等腰直角三角形的问题，可以尝试以下思路：1.利用特殊边特殊角证题，如AC=BC或90°，45，45。
2.常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题。
3.补全为正方形。
等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45，45）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.典题精练例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，BAC90°，O为BC的中点。
B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△XXX的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．解析】⑴OA=OB=OC⑴连接OA。