考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章 概率论的基本概念

定义： 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ，S 的子集为E 的随机事件，单个样本点为基本事件． 事件关系： 1．A ⊂B ，A 发生必导致B 发生．

2．A B 和事件，A ，B 至少一个发生，A B 发生． 3．A B 记AB 积事件，A ，B 同时发生，AB 发生． 4．A －B 差事件，A 发生，B 不发生，A －B 发生．

5．A B=Ø，A 和B 互不相容(互斥)，A 和B 不能同时发生，基本事件两两互不相容． 6．A B=S 且A B=Ø，A 和B 互为逆事件或对立事

件，A 和B 中必有且仅有一个发生，记B=A S A -=． 事件运算： 交换律、结合律、分配率略．

德摩根律：B A B A =，B A B A =．

概率： 概率就是n 趋向无穷时的频率，记P(A)．

概率性质:

1．P (Ø)=0．

2．(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )，A i 互不相容． 3．若A ⊂B ，则P (B －A)=P (B)－P (A)．

4．对任意事件A ，有)A (1)A (P P -=．

5．P (A B)=P (A)+P (B)－P (AB)．

古典概型： 即等可能概型，满足：1．S 包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同． 等概公式： 中样本点总数

中样本点数

S A )A (==

n k P ． 超几何分布：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ，其中r

a C r a =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛． 条件概率： )

A ()

AB ()A B (P P P =

． 乘法定理：

)A ()A B ()AB C ()ABC ()

A ()A

B ()AB (P P P P P P P ==．

全概率公式： )B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ，其中i B 为S 的划分． 贝叶斯公式： )

A ()

B ()B A ()A B (P P P P i i i =

，∑==

n

j j j B P B A P A P 1

)()()(或)

()()()()

()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=

．

独立性： 满足P (AB)=P (A)P (B)，则A ，B 相互独立，简称A ，B 独立．

定理一： A ，B 独立，则．P (B |A)=P (B)． 定理二： A ，B 独立，则A 和B ，A 和B ，A 和B 也相互独立．

(0—1)分布： k k p p k X P --==1)1(}{，k =0，1 （0

伯努利实

验：

实验只有两个可能的结果：A 及A ．

二项式分布： 记X~b （n ，p ），k

n k k n p p C k X P --==)1(}{． n 重伯努利实验：

独立且每次试验概率保持不变．其中A 发生k 次，即二项式分布．

泊松分布： 记X~π（λ），!

}{k e k X P k λ

λ-=

=， ,2,1,0=k ．

泊松定理： !

)

1(lim k e p p C k k

n k k

n

n λ

λ--∞

→=

-，其中λ=np ．当20≥n ，05.0≤p 使用泊松定理近似效果颇佳．

随机变量分

布函数： }{)(x X P x F ≤=，+∞<<∞-x ．

)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<．

连续型随机

变量： ⎰

∞

-=

x

t t f x F d )()(，X 为连续型随机变量，)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度．

概率密度性

质：

1．0)(≥x f ；2．

1d )(=⎰

+∞

∞

-x x f ；

3．⎰=-=≤<2

1

d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ；4．)()(x f x F ='，f (x )在x 点连续；5．P {X=a }=0．

均匀分布： 记X~U(a ，b )；⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它，，01)(b

x a a

b x f ；⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ，

，，10)(． 性质：对a ≤c

⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它，

，00

1)(x e x f x θ

θ

；⎩⎨⎧>-=-其它，，001)(x e x F x θ． 无记忆性： }{}{t X P s X t s X P >=>+>． 正态分布： 记),(~2

σμN X ；]2)(ex p[21)(2

2

σμσ

π--=

x x f ；t t x F x

d ]2)(ex p[21

)(22

⎰∞---=σμσ

π．

性质： 1．f (x )关于x =μ对称，且P {μ-h

布：

]2exp[21)(2

x x -=π

ϕ；⎰∞--=

Φx

t t x d ]2ex p[21)(2

π．

即μ=0，σ=1时

的正态分布X ~N(0，1)

性质：)(1)(x x Φ-=-Φ．

正态分布的

线性转化： 对),(~2σμN X 有)1,0(~N X Z σμ-=；且有)(}{}{)(σ

μσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F ．

正态分布概

率转化： )()(}{1221σ

μσμ-Φ--Φ=≤

3σ法则： P =Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P =Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P =Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P 多落在(μ-3σ，μ+3σ)内． 上ɑ分位点： 对X~N(0，1)，若z α满足条件P {X>z α}=α，0<α<1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点． 常用 上ɑ分位点： 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.090

2.576

2.326

1.960

1.645

1.282

Y 服从自由度为1的χ2

分布：

设X 密度函数f X (x )，+∞<<∞-x ，若Y=X 2，则

⎪⎩⎪

⎨⎧≤>-+=000)]()([21

)(y y y f y f y y f X X

Y ，

，

若设X ~N(0，1)，则有

⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=--00021

)(221y y e y y f y Y ，

，π

定理：

设X 密度函数f X (x )，设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0)，则Y=g (X)是连续型随机变量，且有

⎩⎨⎧<<'=其他，，0)()]([)(βαy y h y h f y f X Y h (y )是g (x )的反函数；①若+∞<<∞-x ，则α=min{g (−∞)，

g (+∞)}，β=max{g (−∞)，g (+∞)}；②若f X (x )在[a ，b ]外等于零，

g (x )在[a ，b ]上单调，则α=min{g (a )，g (b )}，β=max{g (a )，g (b )}．

使用： Y=aX +b ~N(a μ+b ，(|a |σ)2)．

二维随机变量的分

布函数： 分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ，记作：},{y Y x X P ≤≤．

),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<．

F （x ，y ）性质： 1．F （x ，y ）是x 和y 的不减函数，即x 2>x 1时，F （x 2，y ）≥F （x 1，y ）；y 2>y 1时，F （x ，y 2）≥F （x ，y 1）．

2．0≤F （x ，y ）≤1且F （−∞，y ）=0，F （x ，−∞）=0，F （−∞，−∞）=0，F （+∞，+∞）=1．

3．F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y +0）=F （x ，y ），即F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 也右连续．

4．对于任意的(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 2>x 1，y 2>y 1，有P {x 1

离散型（X ，Y ）：

0≥ij p ，11

1=∑∑∞

=∞=ij j i p ，ij y

y x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(．

连续型

（X ，Y ）：

v u v u f y x F y x

d d ),(),(⎰⎰

∞-∞

-=

．

f (x ，y )性

质：

1．f (x ，y )≥0．

2．

1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰

∞

∞-∞

∞

-F y x y x f ．