平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案

【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时

【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹

【教材分析】

1.向量在数学中的地位

向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。

2.本节在教学中的地位

平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。

3.本节在教学思维方面的培养价值

平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。

【目标分析】

知识与技能

1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表

示为一组基底的线性组合；

2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法

1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上

的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；

2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定

理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观

1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；

2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【学情分析】

有利因素

1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和

向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；

2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这

为我们学习向量分解提供了认知准备。

不利因素

1.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难

度；

2.对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量

运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3.如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面

向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

【教学重点、难点、关键】

重点：平面向量基本定理的理解与应用。

难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。

关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。

【教学方法】引导探究、讨论交流。

【教学手段】计算机、PPT、几何画板。

【教学过程设计】

（四）

定理运用

（六）

小结作业例已知ABCD的两条对角线相交于点M，

设AB=a，AD=b，试用基底a、b表示MA、

MB、MC和MD。

思考一：能否用a、b表示AC、DB？用怎

样的法则运算？

思考二：MA，MB与哪些向量有关？

学生回答，并完成题目，归纳解题方法。

分析：1a、b不共线，所以平面内的所有向量

都可以用它们作基底来表示。

2此类题目的关键是找所求向量与基底

间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法

的平行四边形法则和三角形法则来寻求。

练习

如图：质量为m的物体静止的放在斜面上，斜

面与水平面的夹角为 ，求斜面与物体的摩擦

力

f

知识总结：1平面向量基本定理

2基底、向量夹角、垂直的概念

3 定理的应用

思想方法总结：本节课主要应用了数形结合及

转化的思想。平时学习中要注意数学思想方法

的运用。

作业：1、课本第77页第3、4、5题，

2、思考题：空间任一向量是否有类似的

结论吗？

教师

引导

学生

讲解

学生

思考

识别

解决

问题

1. 根据变式理

论，设计了不同

形式类型的典型

例题，强化定理

的应用。

2.练习主要是要

让学生再一次感

受定理在物理学

上的应用，体会

数学是“有用的”

a

M

A B

C

D

b