系统数学模型与算子表示

3.算子方程的建立
电路中的基本元件R、L、C的伏安关系用微分算子表示
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4.转移算子 对于输入输出法描述的系统，可用算子方程表示为
( P n an1 P n1 a1 P a0 ) y( t ) (bm p m bm 1 p m 1 b1 p b0 ) f ( t )
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
第
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2．n 阶线性时不变系统的描述
y( t) t) 一个线性系统，其激励信号 f (与响应信号 之间的 关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n y( t ) d n 1 y ( t ) dy( t ) an a n 1 a1 a0 y( t ) n n 1 d t d t dt
——转移算子。
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D( p) y(t ) N ( p) f (t )
求零输入响应时，f(t)激励为零，即求解
D( p) y(t ) 0
齐次方程
求零状态Βιβλιοθήκη Baidu应时，即求解
y( t ) H ( p ) f ( t )
非齐次方程
例2-1-1 求并联电路的端电压 v(t ) 与激励 i s ( t ) 间的关系。页 电阻 电感 电容
1 i R (t ) v(t ) R is (t ) 1 t i L ( t ) v ( ) d L d v(t ) iC ( t ) C dt
iR R L iL C ic a
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v( t )

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b
根据KCL
i R (t ) i L (t ) iC (t ) iS (t )
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可以表示为
D( p) y(t ) N ( p) f (t )
N ( p) y( t ) f (t ) D( P )
表示微分关系, 而不是相乘.
则
N ( p) bm pm bm 1 p m 1 b1 p b0 H ( p) D( p) p n an1 p n1 a1 p a0
d m f (t ) d m 1 f ( t ) df ( t ) bm b b b0 f ( t ) m 1 1 m m 1 d t d t dt
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若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
二、系统方程的算子表示
1.算子的定义 微分算子
d p dt
n d pn n dt
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t 1 ()d 积分算子 p
则高阶微分方程可表示为
P n y( t ) an1 P n1 y( t ) a1 Py( t ) a0 y( t )
bm p m f ( t ) bm 1 p m 1 f ( t ) b1 pf ( t ) b0 f ( t )
d iS ( t ) d 2 v(t ) 1 d v(t ) 1 C v(t ) 2 dt R dt L dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
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机械位移系统，质量为 例2-1-2 m的刚体一端由弹簧
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k
m
f
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f，外加牵引力为 FS ( t ) ，其外加牵引力FS ( t )与 刚体运动速度 v(t )间的关系可以推导出为 d FS (t ) d 2 v (t ) d v (t ) m f kv (t ) 2 dt dt dt 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
如： py(t ) pf (t ) p不可约
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(2) 算子的乘除顺序不能随意颠倒
1 1 如：p y( t ) py( t ) p p
1 d t p y( t ) y( )d y( t ) p dt
t 1 d py( t ) [ y( )] d y( t ) y( ) y( t ) d p
主要内容
复习求解系统微分方程的经典法 微分方程的列写
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n 阶线性时不变系统的描述
系统方程的算子表示
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一．连续时间系统的数学模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
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线性常系数微分方程来描述。
1．微分方程的列写 •根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
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对下列某2阶微分方程
df ( t ) d 2 y( t ) dy( t ) 5 f (t ) 3 2 y( t ) 2 dt d t dt
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对应的算子方程为
( p2 3 p 2) y(t ) ( p 5) f ( t )
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2.算子的性质
(1) 对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子 相消。 如：分配律 ( p a )( p b) y(t ) [ p 2 (a b) p ab] y(t )