标准差和标准偏差

标准差和标准偏差

1）首先给出计算公式

标准差：σ=1）

标准偏差：s =2）

这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？

2）公式由来

标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。

那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1

1n

i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n

n

i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。

对于均值μ，我们容易通过期望获得：

()E X μ=

但是对于方差，我们知道212

()n i i X

X σ=-∑是服从卡分分布21n χ-的（这一点请查阅卡分分布的定义）。因此有下面的公式：

2222

2()()(1)n

n ns E s E n n n σσσ==-

这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X 是μ的无偏估计，而2n s 则不是2σ的无偏估计。但是我

们可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2n s 就是2σ的无偏估计。我们定义：

2

211()1n

i i s X X n ==--∑ 这样我们重新来求解方差的期望：

222222(1)()()(1)11n n n s E s E n n n σσσσ-=

=-=-- 这样一来，2s 就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。

3）这两个公式的应用。

在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。

看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。

4）在EXCEL 中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N ，也就是说你关注的就是这批数据。