北师大版数学必修四课件：1.3弧度制

(2)-315°
(3)
11 7
(4)-8
【审题指导】(1)(3)(4)是用弧度制表示角，(2)是用角度
制表示角.判断某角是哪个象限的角时，要注意与 0、 、
2
π、
3 等特殊角进行比较. 2
【规范解答】 (1) 16 4 4 且 ＜ 4 ＜3 ,所以
3 3 3 2 4 16 与 终边相同是 3 3
2 180 (3)-210°= 210 rad 7 rad. 180 6 (4)400°= 400 rad 20 rad. 180 9 (5)1.5rad= 1.5 (180 ) ( 270 ). (6) 7 rad 7 180 105. 12 12 (7) rad 1 180 36. 5 5 (8) 11 rad 11 180 55. 36 36 120 180 18
【审题指导】(1)弓形面积可由相应的扇形面积减去三角形
面积得到；(2)求扇形面积的最大值，首先要建立扇形面积
与扇形弧长l(或半径R)的函数关系式.
【规范解答】(1)设弧长为l，弓形的面积为S弓 ∵α=60°= ∴l=αR=
，R=10 cm. 3
10 (cm),„„„„„„„„„„„„„„„„2分 3
制是十进制的，给运算带来方便. (4)一定大小的圆心角α 的弧度数和度数，都是一个与半径 无关的定值.
2.角度数与弧度数的换算
(1)换算方法 由180°=π rad知：
“角化弧”时，将角度数乘以 数值变小； 180 “弧化角”时，将弧度数乘以 180 数值变大.
(2)要注意的问题 ①用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字或“rad” 可以省略不写；用度为单位表示角的大小时，度(°)不能
3 所以π＜12-8＜4π-8＜ 2
又-8=-4π+(4π-8) 所以-8是第三象限的角.
用弧度表示终边相同的角
1.用弧度制表示终边相同的角 所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的集合用
弧度可表示为｛β ｜β =2kπ +α ，k∈Z｝,这里α 应为弧度
数.
2.在某个区间内寻找与α 终边相同的角β
36 36
k=-1，k=-2，k=-3时,不等式成立. ∴在区间[-5π,0)上与α终边相同的角是
31 103 175 ， ， . 36 36 36
【例】已知0＜θ ＜2π ，且θ 与7θ 的终边相同，求θ . 【审题指导】θ与7θ的终边相同说明θ与7θ之差为2π的 整数倍，找出θ与7θ的关系后，依据0＜θ＜2π可求θ.
角度数与弧度数的换算
1.角度制与弧度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制；角度制 是以“度”为单位来度量角的单位制. (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小； 而1度是圆周的
1 所对的圆心角的大小.1 rad的角大于 360
1°的角.
(3)角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算；弧度
第三象限的角.
(2)-315°=-360°+45°= 2
同是第一象限的角.
,所以-315°与 终边相 4 4
(3) 11 2 3 且 0＜3 ＜ ,所以
7 7 7 2
11 3 与 终边相同是 7 7
第一象限的角. (4)由π≈3.14得2π≈6.28，4π≈12.56
省去.
②度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
有些角的弧度数是π的倍数的形式，如无特
别要求，不必把π写成小数.
【例1】把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度.(不必求 近似值) (1)10° (2)-10°30′ (3)-210° (4)400°
(5)1.Baidu Nhomakorabearad
(6)
7 rad 12
【规范解答】 (1)2 005°＝ 2 005 401 5 2 41 , 又 ＜ 41 ＜3 ，
36 180 36 36 2 所以α与 41 终边相同，是第三象限的角. 36
(2)∵与α终边相同的角为 2k 41 (k∈Z)
由 5 2k 41 ＜0 知
【规范解答】由已知得7θ=2kπ+θ，k∈Z,
即6θ=2kπ，∴ k ,
3
又∵0＜θ＜2π,∴ 0＜ k ＜2
3
∵k∈Z，∴k=1、2、3、4、5
2 4 5 ∴ 、 、、 、 . 3 3 3 3
【典例】(12分)已知一扇形的圆心角是α ，半径是R. (1)若α =60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，则当α 为多少弧度时， 该扇形的面积最大？
(7) rad
5
(8)
11 rad 36
【审题指导】注意到180°=πrad且1rad的角大于1°的角.
可以在“角化弧”时，将角度数乘以
时，将弧度数乘以 180 .

；“弧化角” 180
【规范解答】 (1)10°= 10 rad rad. (2)-10°30′=-10.5°= 21 rad 7 rad.
(1)首先表示β 的一般形式.
(2)然后根据区间范围讨论k的值. (3)最后把k的值代入β 的一般形式求出.
【例3】已知角α =2 005°
(1)将α 改写成β +2kπ (k∈Z，0≤β ＜2π )的形式，并指
出α 是第几象限的角；
(2)在区间[-5π ,0)上找出与α 终边相同的角.
【审题指导】(1)可将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β＜2π) 的形式，根据β与α终边相同判断. (2)关键在于由-5π≤β+2kπ＜0求出k的取值.
判断角的终边所在的位置
(1)终边落在x轴上的角β=kπ，k∈Z (2)终边落在y轴上的角 k ，k∈Z
2 (3)终边落在坐标轴上的角 k ，k∈Z 2
【例2】把下列各角化成2kπ +α (0≤α ＜2π ，k∈Z)的形 式，并判断此角是哪个象限的角？ (1)
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