巧用换元法解数学题
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【关键词】 换元法；高中数学；解题方法
换元法又叫变量代换，实质就是转化与化归，即在求解问题时引 入新的变量去代替原来复杂的表达式，从而形成新的变量表达式，因 此使问题得到简化，降低求解难度。掌握这种方法可以使复杂问题变 得简单明了，是一种快速有效的解题方法。
一、三角换元法 三角换元法主要是利用三角函数的一些性质，如 等来替换变量，通常应用于去根号或者变换为三角形式易求时，主要 利用已知的代数式中与三角知识的某些联系进行换元。 例 1 （2012 年浙江省高考数学）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy， 则 3x+4y 的最小值是多少？
的
形式，可以先考虑均值换元法，然后设
，
，从而减少
了元的个数，再将题目中的条件转移到新元的背景下研究，使问题简
单易解。
以上列举了换元法常见的三种类型，除此之外，还有和差换元法、
比值换元法等类型。换元法就是利用转化与化归的数学思想，其关键
就是找出被代换的代数式和设立新的元，然后将问题转移到新的表达
式中研究，从而使非标准问题标准化，复杂问题简单化。换元法是一
解析：将等式 x+3yBiblioteka Baidu5xy 的两边同时除以 5xy，得
，
因为
， 且 x ＞ 0，y ＞ 0， 所 以 可 以 令
，
（θ 为 锐 角 ）， 即
，
， 代 入 得：
，将式中的“1”代换为
，得：
因此可以将原式化为：
。此时可对 a+b+c+3 进 行整体换元，令 a+b+c+3=t，因为 a,b,c ＞ 0，abc=1，所以 t ≥ 6，
的字母代替原来的代数式从而得到新的表达式，通过对新表达式的研
究来获得原来表达式的最大值、最小值等性质。
例 2 已知
，abc=1，求
的最小
值。 解析：先利用基本不等式进行放缩，由于等号成立的条件相同，
， 得：
，所以 xy 可化为
，代入原式并化简
，由 t 的范围可得到不等式：
，解得：
，所以
。
点评：在使用换元法时，若题目给定条件中遇到类似
学练研究
巧用换元法解数学题
云南省曲靖市富源县胜境中学 赵贤芳
【摘 要】 换元法是求解高中数学问题的经典思想方法之一， 通过换元，可以使问题变生为熟，变难为易。这种方法的关键就是如 何合适的选择新元以及如何引入新元，由于题目的不同，学生在解题 时应根据条件选择合适的换元法。本文将通过实例介绍换元法常见的 三种类型—三角换元法、整体换元法和均值换元法。
种创造性思维的显现，熟练掌握换元的基本方法，对学生求解不等式、
分解因式、求函数最值、解数列等问题有很大的帮助。由于换元法类
型众多，学生也需要多加练习，不断总结反思，归纳换元法的解题思
路，从而提高解题能力。
61 2016 年第 29 期
三、均值换元法 均值换元法是指当题目条件中出现两数之和时，往往设两数分别 为其平均值加减另一个常数。运用此种方法可以达到减元的效果，从 而将复杂问题简化。
例 3 实数 x,y 满足 的值。
，设
，求
解析：因为
，按照均值换元的思路可以设
，
=5，当且仅当
，即
，
时，等式成立，即 x=1， 时，3x+4y 的最小
值为 5。
点 评： 本 题 中 反 复 利 用“1” 的 代 换 来 求 解 问 题， 即 用
来替换 1。三角换元法对题目中的“1”较为敏感，除此
之外，若题目中条件结构为
；也经常用到三角换元法。
二、整体换元法
整体换元法是指若某个代数式在条件或问题中出现几次，便用一
个字母来代替它从而使问题简化。通常需要通过变形才能发现，用新
当 a=b=c=1 时取等号。设
，且 y=f（t）在 t ≥ 6 上为增
函数，所以
，即不等式
≥，
当且仅当 a=b=c=1 时取等号，所以最小值为 。 点评：本题条件较为复杂，很难一步求解到位，因此可多次利用
基本不等式进行放缩，从而 凑出相同的部分，再利用整体换元法将 式子化简。通过解答过程可以看出，在使用换元法解决问题时，新元 的代入只是将原来的整体代换，将已知条件运用到新元代入后的表达 式中，从而达到简化原式的目的，尤其要注意整体换元法时被代替的 代数式的取值范围。另外，还需注意多次利用基本不等式时等号成立 的条件是否相同。
换元法又叫变量代换，实质就是转化与化归，即在求解问题时引 入新的变量去代替原来复杂的表达式，从而形成新的变量表达式，因 此使问题得到简化，降低求解难度。掌握这种方法可以使复杂问题变 得简单明了，是一种快速有效的解题方法。
一、三角换元法 三角换元法主要是利用三角函数的一些性质，如 等来替换变量，通常应用于去根号或者变换为三角形式易求时，主要 利用已知的代数式中与三角知识的某些联系进行换元。 例 1 （2012 年浙江省高考数学）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy， 则 3x+4y 的最小值是多少？
的
形式，可以先考虑均值换元法，然后设
，
，从而减少
了元的个数，再将题目中的条件转移到新元的背景下研究，使问题简
单易解。
以上列举了换元法常见的三种类型，除此之外，还有和差换元法、
比值换元法等类型。换元法就是利用转化与化归的数学思想，其关键
就是找出被代换的代数式和设立新的元，然后将问题转移到新的表达
式中研究，从而使非标准问题标准化，复杂问题简单化。换元法是一
解析：将等式 x+3yBiblioteka Baidu5xy 的两边同时除以 5xy，得
，
因为
， 且 x ＞ 0，y ＞ 0， 所 以 可 以 令
，
（θ 为 锐 角 ）， 即
，
， 代 入 得：
，将式中的“1”代换为
，得：
因此可以将原式化为：
。此时可对 a+b+c+3 进 行整体换元，令 a+b+c+3=t，因为 a,b,c ＞ 0，abc=1，所以 t ≥ 6，
的字母代替原来的代数式从而得到新的表达式，通过对新表达式的研
究来获得原来表达式的最大值、最小值等性质。
例 2 已知
，abc=1，求
的最小
值。 解析：先利用基本不等式进行放缩，由于等号成立的条件相同，
， 得：
，所以 xy 可化为
，代入原式并化简
，由 t 的范围可得到不等式：
，解得：
，所以
。
点评：在使用换元法时，若题目给定条件中遇到类似
学练研究
巧用换元法解数学题
云南省曲靖市富源县胜境中学 赵贤芳
【摘 要】 换元法是求解高中数学问题的经典思想方法之一， 通过换元，可以使问题变生为熟，变难为易。这种方法的关键就是如 何合适的选择新元以及如何引入新元，由于题目的不同，学生在解题 时应根据条件选择合适的换元法。本文将通过实例介绍换元法常见的 三种类型—三角换元法、整体换元法和均值换元法。
种创造性思维的显现，熟练掌握换元的基本方法，对学生求解不等式、
分解因式、求函数最值、解数列等问题有很大的帮助。由于换元法类
型众多，学生也需要多加练习，不断总结反思，归纳换元法的解题思
路，从而提高解题能力。
61 2016 年第 29 期
三、均值换元法 均值换元法是指当题目条件中出现两数之和时，往往设两数分别 为其平均值加减另一个常数。运用此种方法可以达到减元的效果，从 而将复杂问题简化。
例 3 实数 x,y 满足 的值。
，设
，求
解析：因为
，按照均值换元的思路可以设
，
=5，当且仅当
，即
，
时，等式成立，即 x=1， 时，3x+4y 的最小
值为 5。
点 评： 本 题 中 反 复 利 用“1” 的 代 换 来 求 解 问 题， 即 用
来替换 1。三角换元法对题目中的“1”较为敏感，除此
之外，若题目中条件结构为
；也经常用到三角换元法。
二、整体换元法
整体换元法是指若某个代数式在条件或问题中出现几次，便用一
个字母来代替它从而使问题简化。通常需要通过变形才能发现，用新
当 a=b=c=1 时取等号。设
，且 y=f（t）在 t ≥ 6 上为增
函数，所以
，即不等式
≥，
当且仅当 a=b=c=1 时取等号，所以最小值为 。 点评：本题条件较为复杂，很难一步求解到位，因此可多次利用
基本不等式进行放缩，从而 凑出相同的部分，再利用整体换元法将 式子化简。通过解答过程可以看出，在使用换元法解决问题时，新元 的代入只是将原来的整体代换，将已知条件运用到新元代入后的表达 式中，从而达到简化原式的目的，尤其要注意整体换元法时被代替的 代数式的取值范围。另外，还需注意多次利用基本不等式时等号成立 的条件是否相同。