椭圆、双曲线综合应用

椭圆、双曲线综合应用

一、解答题()

1.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆+=1

（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且经过点（1，

）．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若

D为x轴上的一点，DA=DB，求的值．

2.已知椭圆E：的一个交点为，而且过点

．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

3.直线l：y=-2，椭圆+=1（a＞b＞0），上、下

顶点为A、B，点P是椭圆上异于点A、B的任意一

点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延

长交直线l于点M，如图所示．

（1）设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直

线的斜率为k2，试求k1•k2的值（用a，b表示）；

（2）设椭圆的离心率为，且过点A（0，1）．

①求MN的最小值；

②记以MN为直径的圆为圆C，随着点P的变化，圆C是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定足，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系x O y中，F1，F2分别是

椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的

坐标为（0，b），且△BF1F2是边长为2的等边三角

形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，C两点，

记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2．若S1=2S2，

求直线l的斜率．

5.已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，，记椭圆的左顶点为

A．

（1）求椭圆的方程；

（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．

6.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），M为椭圆上的一点，且满足∠F1MF2=．

（1）求椭圆离心率的取值范围；

（2）当椭圆的离心率e=，且与圆x2+y2=5相交于P（2，y0）（y0＞0）时，求此时椭

圆C的方程．

7.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分

别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥x

轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B

作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，N

为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆

O的位置关系．

8.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：

+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，

从原点O向圆R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作两条切

线，分别交椭圆于点P，Q．

（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，

求证：2k1k2+1=0；

（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

9.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆过点p（0，1），且其长轴

长等于圆O的直径．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．

（Ⅰ）设直线l1的斜率为k，求弦AB长；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

10.如图，已知椭圆E1：=1（a＞b＞0）的左右顶点

分别为A，A'，圆E2：x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜

率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．

（1）证明：k BA•k BA′=-；

（2）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，且a=3，试求椭圆的方程；

（3）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

11.已知双曲线：＞，＞的实轴长为2，点，在此双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆

x2+y2=5上，求实数m的值．

12.已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m

＜3）与椭圆E：＞＞有一个公

共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左右焦点，

直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值；

（2）求椭圆E的方程．

13.如图，椭圆C1与椭圆C2中心在原点，焦点

均在x轴上，且离心率相同．椭圆C1的长轴长

为，且椭圆C1的左准线l：x=-2被椭圆C2

截得的线段ST长为，已知点P是椭圆C2

上的一个动点．

（1）求椭圆C1与椭圆C2的方程；

（2）设点A1为椭圆C1的左顶点，点B1为椭圆

C1的下顶点，若直线OP刚好平分A1B1，求点

P的坐标；

（3）若点M，N在椭圆C1上，点P，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

14.如图，已知F（c，0）是椭圆：

＞＞的右焦点；⊙F：（x-c）2+y2=a2与x轴

交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点

D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置

关系；

（3）设直线AB与椭圆C交于另一点G，若△BGD的面积为，求椭圆C的标准方程．

15.已知椭圆C1：＞与双曲线C2：（b2＞0）的焦点相同，离心率之和为．

（1）求b1、b2的值；

（2）设C1与C2在第一象限的交点为P，求点P到椭圆左焦点的距离．

16.已知双曲线的焦点在x轴上，两个顶点A1，A2间的距离为2，焦点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设双曲线上任意一点的坐标为M（异于两个顶点），直线MA1和MA2的斜率分别是k1，k2．求k1k2的值．