高考圆锥曲线之弦长为定值问题

题型七：弦或弦长为定值问题

例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法1：

（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程

为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.

22

p kx y py

x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.

由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2. 于是2122

1

x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=

+=∆∆∆ ＝212

21214)(x x x x p x x p -+=- ＝.228422

2

2

2

+=+k p

p k p p

222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆

相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）

点的坐标为（

2

,2,11p

y x O PQ H O +'⊥' 212

1)(2

121p y x AC P O -+==

'Θ ＝

22

12

1p y +. ,22

1

211p y a p y a H O --=+-

=' 2

2

2

H O P O PH '-'=∴

=

21221)2(4

1

)(41p y a p y ---+ ＝),()2

(1a p a y p

a -+-

22

)2(PH PQ =∴

=.)()2(42⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a 令02=-

p a ，得p PQ p

a ==此时,2

为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p y =

， 即抛物线的通径所在的直线.

解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=

＝.21222+⋅+k k p

又由点到直线的距离公式得2

12k

p d +=

.

从而，,22122122121222

22+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=

∆k p k p k k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当

（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为

,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得

).

(1)2(4))((4,

0))((12

1

112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有

.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+-=-=

令p PQ p

a p a ===-

此时得,2

,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p y =

. 即抛物线的通径所在的直线。 练习、（山东09理）（22）（本小题满分14分）

设椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2

） ，

,1)两点，O 为坐标原点，

（I ）求椭圆E 的方程；

（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且

OA OB ⊥u u u r u u u r

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2

） ，

,1)两点,

所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211

8

11

4

a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,

且OA OB ⊥u u u r u u u r ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218

4x y y kx m +==+⎧⎪

⎨⎪⎩得

222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=2

2

2

2

2

2

164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22

840k m -+>

1222

12241228

12km x x k m x x k ⎧

+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

,

2222222

2

212121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=

+++要使OA OB ⊥u u u r u u u r ,需使12120x x y y +=,即

22222

28801212m m k k k --+=++,所以2

2

3880m k --=,所以22

3808m k -=≥又22

840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩

,所以28

3

m ≥

,

即m ≥

m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切

线,

所以圆的半径为r =,222

228

381318

m m r m k ===-++

,r =所求的圆为228

3

x y +=

,此时圆的切线y kx m =+

都满足m ≥

或m ≤,而当切线的斜

率不存在时切线为x =与椭圆

22

184

x y +=

的两个交点为

或(33-±满足OA OB ⊥u u u r u u u r ,综上, 存在圆心在原点的圆228

3x y +=，使得该圆的

任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥u u u r u u u r .

因为122

2

1224122812km x x k m x x k ⎧

+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

,