苏教版数学中考复习专题 专题一 规律探索型问题

专题一 规律探索型问题
中考典例精析
例1：一组按规律排列的数:95,1612,2521,36
32
,…请推断第n 个数是________.
【点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：(1)分子以幂的形式排列，分母与分子的差是定值4；(2)再从特殊到一般：从第一个数开始分子分别以3,4,5，…的平方出现．所以分子分母的代数式分别是(n ＋2)2和(n ＋2)2－4.
例2：如图，将n 个边长都为1 cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为________．
例3（2011·大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝1
2∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，
DE 与AB 相交于点F.
(1)当AB ＝AC 时(如图所示)，
①∠EBF ＝________°；②探索线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明． (2)当AB ＝kAC 时(如图所示)，求BE
FD 的值(用含k 的式子表示)．
专题训练
1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为________.
2．观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1； ②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1； ④________； ….
(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
3．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)，
A3(______，______)，A12(______，______)；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向
4．如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．
1
2 3 4
3 56789
10111213141516
171819202122232425
2627282930313233343536
(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是______，最后一个数是______，第n行共有______个数；
(3)求第n行各数之和．
专题训练【练习篇】
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010中考变式题)如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 012个图案是()
2．(2012中考预测题)观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，…通过观察，用你所发现的规律确定32 012的个位数字是()
A．3 B．9 C．7 D．1
3．(2010中考变式题)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是() A．38 B．52 C．66 D．74
4．(2010中考变式题)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明
文(解密)．已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0,1,2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c.
字母a b c d e f g h i j k l m
序号0123456789101112
字母n o p q r s t u v w x y z
序号13141516171819202122232425
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是()
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
5．(2011·武汉)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为()
A．65 B．49 C．36 D．25
二、填空题(每小题5分，共40分)
6．(2011·桂林)若a1＝1－1
m，a2＝1－
1
a1，a3＝1－
1
a2，…，则a2 011的值为________(用含m
的代数式表示)．
7．(2011·北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i，j规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i<j时，a i，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2,1＝1.按此规定，a1,3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为________.
a 1,1a
1,2
a
1,3
a
1,4
a
1,5
a 2,1a
2,2
a
2,3
a
2,4
a
2,5
a 3,1a
3,2
a
3,3
a
3,4
a
3,5
a 4,1a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a 5,1a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
8．(2010中考变式题)观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★.
9．(2011·南京)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出
的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________．
10．(2010中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1,2,3,4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n＋1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n的代数式表示)
11．(2010中考变式题)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S50＝________.(结果保留π)
12．(2010中考变式题)如图，直线y＝3x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A5的坐标为________．
13．(2010中考变式题)如图，n＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n＋1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n＝________.
三、解答题(共35分)
14．(15分)(2010中考变式题)给出下列命题：
命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝1
x的一个交点；
命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝8
x的一个交点；
命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝27
x的一个交点；……
(1)请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)；
(2)证明你猜想的命题n是正确的．
15．(20分)(2011·河北)如图①至④中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)．其直径MN在AB上，MN ＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.
当α＝________度时，点P到CD的距离最小，最小值为________．
探究一在图①的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N 到CD 的距离是________．
探究二将图①中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大
值；
(2)如图④，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．。