自动控制原理-线性系统的根轨迹法1

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规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
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规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
5
对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到 根轨迹。
根轨迹法
从开环传递函数着手，通过图解法来求闭 环系统根轨迹。 3.闭环极点与开环零、极点之间的关系 闭环极点与开环零、
设
控制系统如图所示
G (s) Φ (s) = 1 + G (s)H (s)
s− zj e s − pi
jϕ
= 1e
j ( 2 k +1)π
相角条件（幅角条件）：（充分必要条件） 相角条件（幅角条件）
j =1
∑ ∠ ( s − z j ) − ∑ ∠ ( s − p i ) = ( 2 k + 1)π
i =1
m
n
,
( k = 0 , ± 1, ± 2 , L )
模值条件（幅值条件） K 模值条件（幅值条件）：
1 + G (s)H (s) = 0
G ( s) H ( s) = −1
2
1.根轨迹的定义 开环系统（传递函数）的某一个参数 开环系统 某一个参数 从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根 s 平面 闭环系统特征方程的根在 闭环系统特征方程的根 上的轨迹称为根轨迹。 若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根 与闭环传递函数的极点是一一对应的。 例: 二阶系统的根轨迹
第四章 线性系统的根轨迹法
4.1 引言 控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取 决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定 闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。 为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年 W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一 种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点， 因此在工程实践中获得广泛应用。 本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位 系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹 的影响、用根轨迹分析系统性能。
2
s1, 2 = −1 ± 1 − 2 K
K =0→∞
K =0
K =1
1
K 0 0.25 0.5 1 2.5 ∞
s1 0 -0.3 -1 -1+j -1+j2 -1+j∞
s2 -2 -1.7 -1 -1-j -1-j2 -1-j∞
−2
−1
0
σ
K = 0. 5
−1
−2
4
2.根轨迹与系统性能
稳定性
面。 考察根轨迹是否进入右半 s 平
∏( s − p ) + K ∏( s − z ) = 0
j =1 j r i =1 i
n
m
根轨迹法的任务： 根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益， 用图解方法确定闭环极点。
8
4.根轨迹方程
由闭环传递函数
1 + G (s) H (s) = 0
当
G (s) Φ (s) = 1 + G (s)H (s)
m
Π (− p )
(不包括原点处的极点 )
7
G (s) Φ (s) = = 1 + G (s)H (s)
G ( s )∏ ( s − p j )
j =1
n
∏ (s − p
j =1
n
j
) + K r ∏ (s − zi )
i =1
m
பைடு நூலகம்
结论： 结论：
闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。
1 + G(s) H ( s) = 0
jω
σ
-4 -2 0
−0−2−4 σa = = −2 3 2k +1 π 3π 5π θa = π= , , 3 3 3 3
Kr G (s)H (s) = S ( S + 1)( S + 2 )( S + 5 )
jω
-5 -2 -1 0
σ
− 0 −1− 2 − 5 = −2 σa = 4 2k + 1 π 3π θa = π = , 4 4 4
11
K Kr = 例4.1 G ( s ) H ( s ) = S (0.5S + 1) S ( S + 2)
K r = 2K
开环极点： p1 = 0 ,
p2 = −2
;
无开环零点
Kr → ∞ Kr = 2 Kr = 1 Kr = 0 jω
闭环系统特征方程式: S 2 + 2 S + K r = 0 闭环特征根: S 1, 2 = − 1 ± 1 − K r 1. K r = 0 , 3. K r = 1 ,
(s − pi) +∏ (s − z j ) = 0
j =1
m
Kr → ∞
⇒
∏ (s − z
j =1
m
j
)=0
s = zj
1 q
为了避免丢失方程的根，在上式中作变换： s =
1 K r K
r
∏
n
i =1
m 1 1 ( − pi) +∏ ( − z j) = 0 q q j =1
→ ∞
q
n−m
∏
m
(1 − z j q ) = 0
• 根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重 根轨迹若有分离点 表明闭环特征方程有重根， 分离点，
r
=
∏
n
∏
i =1 m j =1
s − pi s − z
j
10
.
s z1
θ1
jω
p2
ϕ2
ϕ1
∑θ − ∑ ϕ
σ
j =1 j i =1
m
n
i
= (2k + 1)π
p1
开环极点： s = p i 开环零点： s = z j
指向轨迹点的向量的方位角。
θ j , ϕi 由开环零、极点
(1) 当 K r 从 0 → ∞ 变化时，S平面上系统特征根 的变化形成轨迹。每一个 K r 值，按幅值条件对应于 根轨迹上的n个点。 (2) 根轨迹 上的点符合相角条件，且 符合相角条件 的点一定在根轨迹上。故 相角条件是根轨迹的充 要条件。 要条件。
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点， 规则1 终止于开环零点。 简要证明：
1 + G (s)H (s) = 0 ⇒
∏
n
i =1
(s − pi ) +K
r
∏
m
j =1
(s − z j ) = 0
Q
Kr = 0
⇒
∏
n
i =1
(s − pi ) = 0
s = pi
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又从
Q
1 Kr
∏
n
i =1
1
4.2 根轨迹法的概念 .2 考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹）， 了解闭环系统动态性能的变化。 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭 环系统的极点的分布。 + G(s) G( s )
M( s ) =
H(s)
闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式
1 + G ( s )H ( s )
（1） p 1 = 0 , p 2 = − 4 , p 3 = − 1 + j
p 4 = −1 − j, z1 = −1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴 ） 条根轨迹的分支， 条根轨迹的分支 （3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线 有 条根轨迹渐近线
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与实轴夹角
(2k + 1)180 (2k + 1)180 o o o ϕa = = = 60 , − 60 , 180 n−m 4 −1
Kr = 0
0
n>m
Kr = 0
0
n<m
Kr → ∞
有两个无穷远处的 终点
Kr → ∞