中考数学第12讲 二次函数的图象与性质

下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；
③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；
⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是( B)
A．2 B．3 C．4 D．5
x －1 0
2
3
4
y
5
0 －4 －3 0
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物 线上点坐标的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)， (4，0)可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断．
2. 小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她 离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻 画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋 转一圈的时间大约是( B)
A. 32分 B. 30分 C. 15分 D. 13分
x(分) y(米)
限制范围求二次函数最值误区
试题 已知二次函数y＝(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足 －1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为( D) A. 1或5 B. －5或3 C. －3或1 D. －3或5 易错分析 若x的取值范围受限制(x1≤x≤x2)，求二次函数的最值(或取值范 围)时，一定要先找出顶点坐标(h，k)，看所给的x值是否包含顶点横坐标 h.(1)若h在x的取值范围内，即x1≤h≤x2，则y在x＝h及x＝x1 或x＝x2处取得最 值；(2)若h不在x的取值范围内，则y在x＝x1 或x＝x2处取得最值．
5. (2020·鄂州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1, 0)和B， 与y轴交于点C.下列结论：①abc<0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④3a＋c>0, 其中正确的结论个数为( ) B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. (2020·黔东南州)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示， 其与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为x＝－1， 则当y＜0时，x的取值范围是__－__3_<_x_<_1____.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点坐标、最值
1. (2019·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度， 再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( D) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
2. (2020·成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是(D) A. 图象的对称轴在y轴的右侧 B. 图象与y轴的交点坐标为(0，8) C. 图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D. y的最小值为－9
8. (2020·杭州)在平面直角坐标系中， 设二次函数 y1＝x2＋bx＋a，y2＝ax2＋bx＋1(a，b 是实数，a≠0). (1)若函数 y1 的对称轴为直线 x＝3，且函数 y1 的图象经过点(a，b)， 求函数 y1 的表达式； (2)若函数 y1 的图象经过点(r，0)，其中 r≠0，
3. (2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解 为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是(A ) A. x1＜－1＜2＜x2 B. －1＜x1＜2＜x2 C. －1＜x1＜x2＜2 D. x1＜－1＜x2＜2 4. (2020·菏泽)一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )
例1 (2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是(A ) A. 2＞y1＞y2 B. 2＞y2＞y1 C. y1＞y2＞2 D. y2＞y1＞2
二次函数比较函数值大小
例2 (2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
…
13.5
14.7
16.0
…
… 156.25 159.85 158.33 …
3. 根据下列要求，解答相关问题： (1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程： Ⅰ.构造函数，画出图象 根据不等式构造二次函数y＝－2x2－4x；抛物线的对称轴为直线x＝－1， 开口向下，顶点(－1，2)，与x轴的交点是(0，0)，(－2，0)，用三点法画出 二次函数y＝－2x2－4x的图象如图；
7. (2018·孝感)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别 为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是__x_1_＝__－__2_，__x_2＝__1__．
8. (2019·云南)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴 是y轴，并且与x轴有两个交点． (1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2， 求点P的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2；又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点． ∴3k＜0，∴k＝－3.此时抛物线的关系式为y＝x2－9，因此k的值为－3； (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为2或－2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5. ∴点P的坐标为P(2，－5)或P(－2，－5).
求证：函数 y2 的图象经过点(1r ，0).
(3)设函数 y1 和函数 y2 的最小值分别为 m 和 n，若 m＋n＝0，求 m，n 的值．
(1)解：函数 y1＝x2－6x＋2 或 y1＝x2－6x＋3； (2)证明：∵函数 y1 的图象经过点(r，0)，其中 r≠0，
∴r2＋br＋a＝0，∴1＋br
其中正确的有( B) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
解有关抛物线与系数a，b，c关系的题的一般步骤 1．先根据抛物线开口方向判断a：开口向上，则a>0，开口向下，则a<0. 2．由a和对称轴的位置判断b. 3．由抛物线与y轴的交点判断c：交于正半轴，则c>0；交于负半轴，则 c<0；交于原点，则c＝0. 4．结合a，b，c判断ab，ac，bc，abc. 5．由抛物线与x轴交点的个数判断b2－4ac与0的关系．
解：(1)∵y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3. ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1； (2)∵抛物线的顶点在 x 轴上， ∴2a2－a－3＝0，解得 a＝32 或 a＝－1，
∴抛物线为 y＝32 x2－3x＋32 或 y＝－x2＋2x－1；
(3)∵抛物线的对称轴为x＝1，
＋ra2
＝0，即
1 a(r
)2＋b·1r
＋1＝0，
∴1r 是方程 ax2＋bx＋1＝0 的一个实数根，
即函数 y2 的图象经过点(1r ，0).
(3)解：由题意 a＞0，∴m＝4a－4 b2 ，n＝4a4－a b2 ，
∵m＋n＝0，∴4a－4 b2
＋4a－b2 4a
＝0，
∴(4a－b2)(a＋1)＝0， ∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0，∴m＝n＝0.
Ⅱ.数形结合，求得界点 当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为___x_1_＝__0_，__x_2_＝__－__2___； Ⅲ.借助图象，写出解集 由图象可得不等式－2x2－4x≥0的解集为_____－__2_≤_x__≤_0_______． (2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2－2x＋1<4的解集； (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式， 直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集．
其部分图象如图所示．以下结论错误的是(C)
A. abc＞0
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B. 4ac－b2＜0
C. 3a＋c＞0
D. 关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
6. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物 线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)，下列结论：
①abc＞0， ②3a＋c＜0， ③a(m－1)＋2b＞0， ④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形． 其中正确结论的序号为_②__③_．
例4 (2020·临沂)已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； (3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．
9. (2020·河南)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交 于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个 动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
解：(1)抛物线解析式为：y＝－x2＋2x＋3，顶点G坐标为(1，4)； (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛 物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个 单位长度，∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为(－2， －5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21)，∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点 M，N)的一个动点，∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5.
3. 二次函数y＝ax2－8ax(a为常数)的图象不经过第三象限，在自变量x的 1
值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为－3，则a的值是___4_．
例3 (2020·襄阳)二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象如图所示， 下列结论： ①ac<0；②3a＋c＝0；③4ac－b2<0; ④当x>－1时，y随x的增大而减小．
6．特殊式子的判断：看到 a＋b＋c，令 x＝1，看纵坐标；看到 a－b＋c， 令 x＝－1，看纵坐标；看到 4a＋2b＋c，令 x＝2，看纵坐标； 看到 4a－2b＋c，令 x＝－2，看纵坐标．
7．结合对称轴与直线 x＝1 的位置关系，即－2ba >1 或－2ba <1， 判断 2a＋b 的符号；结合对称轴与直线 x＝－1 的位置关系，
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第12讲 二次函数的图象与性质
1. (2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点， 则n的值为( B) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 2. (2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度， 再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( D) A. y＝(x＋3)2＋5 B. y＝(x－3)2＋5 C. y＝(x＋5)2＋3 D. y＝(x－5)2＋3
即－2ba >－1 或－2ba <－1，判断 2a－b 的符号．
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝2时，该函数取最大值8.设该函数
图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞4，则a的取值范围是( B) A. －3＜a＜－1 B. －2＜a＜0
C. －1＜a＜1 D. 2＜a＜4
5. (2020·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，
1. 当－1≤x≤2时，则函数y＝x2－2x－4的最大值是__－__1， 最小值是_－__5_；当－3≤x≤0时， 则函数y＝x2－2x－4的最大值是_1_1__，最小值是_－__4_；
当3≤x≤6时，则函数y＝x2－2x－4的最大值是___2_0， 最小值是_－__1_．
1. (2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)， 针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下， 甲：若b＝5，则点P的个数为0； 乙：若b＝4，则点P的个数为1； 丙：若b＝3，则点P的个数为1. 下列判断正确的是( C ) A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对
则Q(3，y2)关于x＝1对称点的坐标为(－1，y2)， ∴当a>0，－1<m<3时，y1<y2； 当a<0，m<－1或m>3时，y1<y2.
7. (人教九上P40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1， －1)，(1，9)三点，这个二次函数的解析式是____y_＝__4_x_2＋__5_x_____．