电磁场与电磁波 第2章

微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才
可以将电荷分布看做空间的连续函数。我们知道，宏观物体的带电量
总是电子电荷的整数倍。一个电子的带电量是e=－1.602 18×10－19 C。 其实在微观领域，组成原子核的大多数粒子的带电量也是如此。只有
在涉及强相互作用，此时尺度小于原子核时，量子色动力学的夸克模
解 把场点选在z=h处，即r=hez，源点与上题一致， r′=a cosθex+a sinθey，由电场强度公式，有
E(h) 4π0
2π
cos
0
(hez
a cosex a siney )
(a2 h2 )3/2
ad
考虑到电荷分布的对称性，可以判断出上述积分仅仅x分量不
为零。积分后得到
E(h)
库仑定律表明，真空中两个点电荷之间作用力的大小与两点 电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它 们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。点 电荷q′受到q的作用力为F′ ，且F′=－F，可见两点电荷之间 的作用力符合牛顿第三定律(如图2-1所示)。
库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带 电体的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点 的理想化模型。对于实际的带电体，一般应该看成是分布在 一定的区域内，称其为分布电荷。分布电荷通常用电荷密度 来定量描述电荷的空间分布情况，如图2-2所示。
荷q在电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电 场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r 处， 试验电荷q受到的电场力为
F(r)=qE(r)
(2-5)
这里的试验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响
电场分布的电荷。由两个点电荷间作用力的公式(2-1)，可以
得到位于点r′处的点电荷q′在r处产生的电场强度为
d
dS cos
R2
dS • (r r) r r3
(2-11)
图2-4 立体角
式中r是面积元所处的位置， r′是点o′的位置 ，R是从点 r′到点r的矢径，θ是有向面元dS与R的夹角。立体角可以为 正，也可以为负，视夹角θ为锐角或钝角而定。整个曲面S对 点o′所张的立体角是
图2-1 库仑定律用图
图2-2 电荷分布示意图
电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元ΔV，若
其中的电量为Δq，电荷体密度为
lim q dq
V 0 V dV
(2-2)
其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度而言
很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况； 但是相对于
r r z2 a2 , dl ad
E(r) l 4π0
2π 0
( zez
a cosex a siney ) (a2 z2 )3/2
ad
al 2 0
(a2
z z2 )3/ 2
ez
图2-3 例2-1图
例2-2 若上题的圆环上电荷以ρl=λ cosθ的形式分布，重 新计算z轴上某点的电场强度。
第2章 静 电 场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 高斯定理 2.3 静电场的旋度与静电场的电位 2.4 电偶极子 2.5 电介质中的场方程 2.6 静电场的边界条件 2.7 导体系统的电容 2.8 电场能量与能量密度 2.9 电场力
2.1 库仑定律与电场强度
2.1.1 库仑定律 库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的
a2 4 0
(a2
1 h2 )3/ 2
ex
2.2 高斯定理
2.2.1 立体角 如图2-4所示，立体角是由过一点的射线，绕过该点的
某一轴旋转一周所扫出的锥面所限定的空间。形成立体角锥 体可以是圆锥、椭圆锥、三棱锥等任意锥体。如果以点o′为 球心、R为半径作球面，若立体角的锥面在球面截下的面积 为S，则此立体角的大小为 Ω=S/R2。 立体角的单位是球面 度(sr)。整个球面对球心的立体角是4π。对于任一个有向曲 面S，面上的面积元dS对某点o′的立体角是
型中，组成基本粒子的夸克才带分数量值的基本电荷，六种夸克带电
量全是基本电荷的1/3的整数倍。但是到目前为止，实验中一直没有 发现单个的夸克存在，通常总是由两个或者三个夸克组成一个粒子，
而这个组成的粒子的带电量是基本电荷的整数倍。
如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电 荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。此时仅仅 考虑电荷沿曲面的分布，而不考虑电荷沿曲面厚度方向的变 化。若面积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为
强度为
n
E(r)
i1
qi (r ri )
4π0 r ri 3
(2-7)
对于体分布的电荷，可将其视为一系wk.baidu.com点电荷的叠加，
从而得出r点的电场强度为
E(r) 1 4π0 V
(
r)( r
r r 3
r)
dV
(2-8)
同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为
E(r) 1 4π 0
S
S
(r r
)(r r3
实验定律。内容是，点电荷q′作用于点电荷q的力为
F
qq
4π 0 R 2
eR
qq
4π 0
R R3
(2-1)
式中，R=r－r′表示从r′到r的矢量，R是r′到r的距离，eR是R的
单位矢量，ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常
数，其值为
0
8.854187 817 1012
1 36π
109 (F/m)
s
lim
V 0
q S
dq dS
(2-3)
对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。
此时仅仅考虑电荷沿曲线的分布，而不涉及电荷沿带电线的截
面的变化。若线元Δl内的电量为Δq ，则线密度为
l
lim
V 0
q l
dq dl
(2-4)
2.1.2 电场强度 电荷q′对电荷q的作用力，是由于q′在空间产生电场，电
r)
dS
E(r) 1 4π 0
l
l
(r)(r r r3
r)
dl
(2-9) (2-10)
例2-1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场 强度。
解 取坐标系如图2-3所示，圆环位于xoy平面，圆环中 心与坐标原点重合，设电荷线密度为ρl。
由图可以定出：
所以
r zez , r' a cosex asiney
E(r)
q
4π 0
R R3
q
4π 0
(r r) r r3
(2-6)
以后我们将电荷所在点r′称为源点，将观察点r称为场点。
如果真空中一共有n个点电荷，则r点处的电场强度可由
叠加原理计算。点电荷系统在空间某点产生的电场强度等于
各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为电
场强度叠加原理。依据叠加原理，得到点电荷系产生的电场