二次函数知识讲解(基础)

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人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

人教版九年级上册  第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

二次函数复习知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次多项式。

(①含自变量的代数式是整式,②自变量的最高次数是2,③二次项系数不为0.)⑵a b c,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、二次函数的基本形式1. y=ax2的性质:2. y=ax2+k的性质:(k上加下减)3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减)4. y =a (x -h)2+k 的性质:5. y =ax2+bx+c 的性质:三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然a ≠0 ① 当0a >时,抛物线开口向上,当0a <时,抛物线开口向下;②a 的绝对值越大,开口越小,反之a 的绝对值越小,开口越大。

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b (a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置).抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;② (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③ (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.八、二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠),适用条件:已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠),适用条件:已知图像上点两坐标,且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 交点式(两根式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标), 适用条件:已知图像上三点坐标,其中两点为抛物线与x 轴的两个交点(1x ,0),(2x ,0),一般选用交点式;九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当abx 2-=时,a b ac y 442-=最值。

二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

二次函数y=a (x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数,a ≠0)的图象.掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系;2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质,并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题;3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程,体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程,深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释:二次函数2()+(0y a x h k a =-≠)的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起,借助它的图象与性质.运用数形结合、函数、方程思想解决问题.要点二、二次函数的平移 1.平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:2.平移规律:在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 要点诠释:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1.将抛物线22(1)3y x =-+作下列移动,求得到的新抛物线的解析式. (1)向左平移2个单位,再向下平移3个单位; (2)顶点不动,将原抛物线开口方向反向;(3)以x 轴为对称轴,将原抛物线开口方向反向. 【答案与解析】抛物线22(1)3y x =-+的顶点为(1,3).(1)将抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,顶点为(-1,0),而开口方向和形状不变,所以a =2,得到抛物线解析式为222(1)242y x x x =+=++. (2)顶点不动为(1,3),开口方向反向,则2a =-, 所得抛物线解析式为222(1)3241y x x x =--+=-++.(3)因为新顶点与原顶点(1,3)关于x 轴对称,故新顶点应为(1,-3).又∵ 抛物线开口反向, ∴ 2a =-.故所得抛物线解析式为222(1)3245y x x x =---=-+-.【总结升华】当抛物线的形状确定以后,其位置完全决定于顶点,方向决定于a 的符号,故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式. 举一反三:【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到的抛物线解析式为 . 【答案】23127y x x =-+-.2.(荆州)将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,求得到的抛物线解析式. 【答案与解析】解:y=x 2﹣6x+5=(x ﹣3)2﹣4, ∴抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),把点(3,﹣4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,﹣2), ∴平移后得到的抛物线解析式为y=(x ﹣4)2﹣2.【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变,故a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 举一反三:【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位,再向 平移3个单位得到的.【答案】上;右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.(安顺期末)二次函数y 1=a (x ﹣2)2的图象与直线y 2交于A (0,﹣1),B (2,0)两点. (1)确定二次函数与直线AB 的解析式.(2)如图,分别确定当y 1<y 2,y 1=y 2,y 1>y 2时,自变量x 的取值范围.【答案与解析】解:(1)把A (0,﹣1)代入y 1=a (x ﹣2)2,得:﹣1=4a ,即a=﹣,∴二次函数解析式为y 1=﹣(x ﹣2)2=﹣a 2+a ﹣1; 设直线AB 解析式为y=kx+b , 把A (0,﹣1),B (2,0)代入得:,解得:k=,b=﹣1,则直线AB 解析式为y=x ﹣1;(2)根据图象得:当y 1<y 2时,x 的范围为x <0或x >2;y 1=y 2时,x=0或x=2,y 1>y 2时,0<x <2. 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式,然后利用函数图象写出自变量的取值范围.4.在同一直角坐标系中,画出下列三条抛物线:212y x =,2132y x =+,2132y x =-. (1)观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)请你说出抛物线212y x c =+的开口方向,对称轴及顶点坐标. 【答案与解析】 x …-3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线,可得抛物线22y x =. 将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位,就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象(如图所示).抛物线212y x =,2132y x =+与2132y x =-开口都向上,对称轴都是y 轴,顶点坐标依次 是(0,0)、(0,3)和(0,-3). (2)抛物线212y x c =+的开口向上,对称轴是y 轴(或直线0x =),顶点坐标为(0,c ).【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象,再用平移法得到另两条抛物线,并根据图象回答问题. 规律总结:2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->.。

《二次函数》数学教学PPT课件(4篇)

《二次函数》数学教学PPT课件(4篇)
x 2 不是整式
×
知1-讲
(2) y=-5x2
解:
二次项系数
所以y=-5x2的二次项系数为-5,一次项系
数为0,常数项为0.
二次项系数
(5)化为一般式,得到y=3x2-21x+30,
常数项
一次项系数
所以y=3(x-2)(x-5)的二次项系数为3,
一次项系数为-21,常数项为30.(来自《点拨》)
知1-练
值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
两年后的产量
y=20(1+x)2,
即y=20x2+40x+20.
知1-导
思考:函数y=6x2,m=
1
2
n2- 1 n,
2
y=20x2+40x+20有什么共同点?
可以发现
1、函数解析式是整式;
2、化简后自变量的最高次数是2;
3、二次项系数不为0.
知1-讲
定义 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,
(6)y=x2+
.
知1-讲
解: (1)y=7x-1; 自变量的最高次数是1
(2)y=-5x2; 自变量的最高次数是2
(3)y=3a3+2a2;自变量的最高次数是3
(4)y=x-2+x; x-2不是整式
×

×
×
(5)y=3(x-2)(x-5);
2-21x+30,是二次函数 √
整理得到y=3x
1
1
2
(6)y=x + x 2
a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变
量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、
一次项系数和常数项.
知1-讲
例1 下列函数中,哪些是二次函数?并指出二次函

二次函数复习讲义

二次函数复习讲义

AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解(一)解析式的获取问题 1. 列取例1:正方形ABCD 的边长为4,E 为BC 上一点,F 是CD 上一点,且AE=AF ,设⊿AEF 的面积为y ,EC 的长为x ,求y 与x 的函数关系式,写出自变量的取值范围。

例2:某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可售出20件。

现需降价处理,经过市场调查:每件服装每降价2元,每天可多售出1件。

在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x 元,每天售出服装的利润为y 元,确定y 与x 之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围。

例3:如图,在⊿ABC 中,∠B=900,AB=12cm ,BC=24cm ,动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动(不与点C 重合)。

假设P 、O 分别从A 、B 同时出发,设运动的时间为x s ,四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式,并确定自变量的取值范围;⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2?若能,求出运动的时间;若不能,说明理由。

练:1.在半径为4米的圆中,挖一个半径为xcm 的圆,剩下的圆环面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价,若设平均每次的降价率为x ,该药品的原价为18元,降价后的药价为y 元,则y 与x 的函数关系式为 。

3.如图,一矩形场地,两边长分别是80m 、60m ,先欲在场地内修两条宽为xm 的小路,剩余局部的面积为ym 2,则y 与x 之间的关系式为 。

4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙(墙长为15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD 。

花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成。

如下列图,若设花园BC 边的边长为xm ,花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ;自变量的取值范围为 。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.要点诠释:如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c可分别为零,也可以同时都为零.a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④,其中;⑤.(以上式子a≠0)当(轴) (轴)(,)2. 抛物线的三要素: 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中,,,a b c 的作用: (1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线, 故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.4.用待定系数法求二次函数的解析式: (1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.(2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”:已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).要点诠释:求抛物线2y ax bx c =++(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数,当时,得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点,这时,则方程没有实根.要点诠释:二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是:(1)建立适当的平面直角坐标系;(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;(3)用待定系数法求出抛物线的关系式;(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释:常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1.已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭,且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为____ ____. 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+. 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键.由题意知另一交点为(1,0)或(-1,0). 因此所求抛物线的解析式有两种. 设二次函数解析式为2y ax bx c =++.则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩,或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+.举一反三:【变式】已知:抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1,交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧),且AB=4,交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1,且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为:A(-1,0),B(3,0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1,-4) ∵对称轴x=1,且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为:A(-1,0),B(3,0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 , ∴M(1,-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2.如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)图象的一部分,对称轴是直线x=﹣2.关于下列结论:①ab <0;②b 2﹣4ac >0;③9a ﹣3b+c <0;④b ﹣4a=0;⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0,x 2=﹣4,其中正确的结论有( )A .①③④B . ②④⑤C . ①②⑤D .②③⑤【答案】B ;【解析】解:∵抛物线开口向下, ∴a <0, ∵﹣=﹣2,∴b=4a ,ab >0,∴①错误,④正确,∵抛物线与x 轴交于﹣4,0处两点,∴b 2﹣4ac >0,方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0,x 2=﹣4, ∴②⑤正确,∵当a=﹣3时y >0,即9a ﹣3b+c >0, ∴③错误,故正确的有②④⑤. 故选:B .【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3.如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为(3,0),则由图象可知,不等式20ax bx c ++>的解集是________.【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知,抛物线与x 轴的另一个交点的坐标,观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x >3或x <-1;【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3,0)知,抛物线与x 轴的另一个交点为(-1,0),观察图象可知,不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值,y >0时,x 的取值范围.当x >3或x <-1时,y >0,因此不等式20ax bx c ++>的解集为x >3或x <-1.【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系,利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集.类型四、函数与方程4.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其顶点为D ,且k >0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1:4,则k 值为何?( )A .1B .C .D .【思路点拨】求出顶点和C 的坐标,由三角形的面积关系得出关于k 的方程,解方程即可. 【答案】D . 【解析】解:∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣(x ﹣2)2+4﹣k , ∴顶点D (2,4﹣k ),C (0,﹣k ), ∴OC=k ,∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ,△ABD 的面积=AB (4﹣k ),△ABC 与△ABD 的面积比为1:4,∴k=(4﹣k ),解得:k=.【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式;根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键.举一反三:【变式1】无论x 为何实数,二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A .B .C .D .【答案】二次函数的图象与x 轴无交点,则说明y=0时,方程无解,即.又图象永远在x 轴下方,则. 答案:B【变式2】对于二次函数,我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点,则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A .1B .2C .0D .不能确定 【答案】当y=0时,,,即二次函数的零点个数是2. 故选B.类型五、分类讨论5.已知点A(1,1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上.(1)用含a 的代数式表示b ;(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标. 【思路点拨】(1)将A(1,1)代入函数解析式.(2)由△=b 2-4ac =0求出a . 【答案与解析】(1)因为点A(1,1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上,所以1=1-2a+b ,所以b =2a . (2)根据题意,方程220x ax b -+=有两个相等的实数根,所以2244480a b a a -=-=, 解得a =0或a =2.当a =0时,y =x 2,这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0). 当a =2时,2244(2)y x x x =-+=-,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0).所以,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时,方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根,所以240b ac =-=△.类型六、二次函数与实际问题6.进价为每件40元的某商品,售价为每件50元时,每星期可卖出500件,市场调查反映:如果每件的售价每降价1元,每星期可多卖出100件,但售价不能低于每件42元,且每星期至少要销售800件.设每件降价x 元 (x 为正整数),每星期的利润为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围;(2)若某星期的利润为5600元,此利润是否是该星期的最大利润?说明理由. (3)直接写出售价为多少时,每星期的利润不低于5000元? 【思路点拨】(1)根据利润y=每件利润×销售量,每件利润=50﹣40﹣x ,销售量=500+100x ,而售价50﹣x≥42,销售量=500+100x≥800,列不等式组求x 的取值范围;(2)根据(1)的关系式配方后确定最大利润,与5600比较后即可发现是否为最大利润; (3)设当y=5000时x 有两个解,可推出0≤x≤5时,y≥5000. 【答案与解析】解:(1)依题意,得y=(50﹣40﹣x )•(500+100x )=﹣100x 2+500x+5000,∵,∴3≤x≤8;(2)y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100(x ﹣)2+5625,∵x 取正整数,当x=2或3时,y=5600.∴5600元是最大利润.(3)当y=5000时,y=﹣100x 2+500x+5000=5000,解得x 1=0,x 2=5,故当0≤x≤5时,y≥5000,即当售价在不小于45元且不大于50元时,月利润不低于5000元.【点评】本题考查二次函数的实际应用.一般求最值问题,大多是建立二次函数关系,从而借助二次函数解决实际问题.。

23实际问题与二次函数—知识讲解(基础)

23实际问题与二次函数—知识讲解(基础)

实际问题与二次函数—知识讲解(基础)【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题,培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识.2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案.(6)写出答案.要点诠释:常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.要点诠释:(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:①首先必须了解二次函数的基本性质;②学会从实际问题中建立二次函数的模型;③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值1.(2016•成都)某果园有100颗橙子树,平均每颗树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系;(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?【思路点拨】(1)根据每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子列式即可;(2)根据题意列出函数解析式,利用配方法把二次函数化为顶点式,根据二次函数的性质进行解答即可.【答案与解析】解:(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600﹣5x(0≤x<120);(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w,则w=(600﹣5x)(100+x)=﹣5x2+100x+60000=﹣5(x﹣10)2+60500,则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个.【点评】本题考查的是二次函数的应用,根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键.举一反三:【变式】(2015•营口)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【答案】22.【解析】解:设定价为x元,根据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)] =﹣2x2+88x﹣870∴y=﹣2x2+88x﹣870,=﹣2(x﹣22)2+98∵a=﹣2<0,∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y最大值=98.故答案为:22.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2.如图所示,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12,0),P(6,6).(2)设抛物线解析式为:2(6)6y a x =-+.∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0,0),∴ 20(06)6a =-+,即16a =-. ∴ 抛物线解析式为:21(6)66y x =--+,即2126y x x =-+. (3)设A(m ,0),则B(12-m ,0),C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∴ 支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212123m m =-++21(3)153m =--+. ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m =3时,。

数学二次函数知识点总结

数学二次函数知识点总结

数学二次函数知识点总结(总9页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在数学中,二次函数最高次必须为二次。

数学二次函数知识点总结,希望可以帮助到大家,一起来看看下文。

数学二次函数知识点总结一1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线];重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量,y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

二次函数讲解

二次函数讲解

一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00,y 轴0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下()00,y 轴0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质:a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ,y 轴0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c .0a < 向下()0c ,y 轴0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c .a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ,X=hx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下()0h ,X=hx h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较0a > 向上()h k ,X=hx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值k . 0a < 向下()h k ,X=hx h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值k .从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项c⑴当0c>时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当0c=时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;⑶当0c<时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要a b c,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---;y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后,得到的解析式是2()2y a x h ky a x h k=---;=-+关于x轴对称后,得到的解析式是()22. 关于y轴对称2=-+;y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后,得到的解析式是2()2y a x h k=++;=-+关于y轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-;y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后,得到的解析式是2()2=-+-;y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后,得到的解析式是()24. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+. 5. 关于点()m n ,对称()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;例1.已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是例2.如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 例3.已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。

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《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)【学习目标】1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;2.会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质;3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导),并能解决简单的实际问题;4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.要点诠释:如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c可分别为零,也可以同时都为零.a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④,其中;⑤.(以上式子a≠0)函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时(轴) (0,0)开口向上 当时开口向下(轴) (0,) (,0)(,)()2.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中,,,a b c 的作用: (1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线, 故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即 、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.4.用待定系数法求二次函数的解析式: (1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.(2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”:已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系:).要点诠释:求抛物线2y ax bx c =++(a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数,当时,得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根.的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释:二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是:(1)建立适当的平面直角坐标系;(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;(3)用待定系数法求出抛物线的关系式;(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释:常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1.已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭,且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为____ ____. 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+. 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键.由题意知另一交点为(1,0)或(-1,0). 因此所求抛物线的解析式有两种. 设二次函数解析式为2y ax bx c =++.则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩,或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+. 【点评] 此题容易出错漏解的错误.举一反三:【变式】已知:抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1,交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧),且AB=4,交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1,且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为:A(-1,0),B(3,0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1,-4) ∵对称轴x=1,且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为:A(-1,0),B(3,0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ,∴M(1,-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示,反比例函数ay x=与正比例函数y =(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( ).【答案】B ;【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a >0,又02ba->,∴ b <0. 由抛物线与y 轴负半轴相交得c <0. ∵ a >0,∴ ay x=的图象在第一、三象限. ∵ b+c <0,∴ y =(b+c)x 的图象在第二、四象限. 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B . 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系,去判断选项的正误.类型三、数形结合3.如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为(3,0),则由图象可知,不等式20ax bx c ++>的解集是________.【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知,抛物线与x 轴的另一个交点的坐标,观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x >3或x <-1;【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3,0)知,抛物线与x 轴的另一个交点为(-1,0),观察图象可知,不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值,y >0时,x 的取值范围.当x>3或x <-1时,y >0,因此不等式20ax bx c ++>的解集为x >3或x <-1.【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系,利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集.类型四、函数与方程4.已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点. ①求c 的取值范围; ②试确定直线1+=cx y 经过的象限,并说明理由.【答案与解析】(1)∵抛物线与x 轴没有交点,∴⊿<0,即1-2c <0,解得c >12(2)∵c >12,∴直线y=12x +1随x 的增大而增大, ∵b=1,∴直线y=12x +1经过第一、二、三象限.【点评】抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点,⊿<0,可求c 的取值范围.举一反三:【变式1】无论x 为何实数,二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A .B .C .D .【答案】二次函数的图象与x 轴无交点,则说明y=0时,方程无解,即.又图象永远在x 轴下方,则. 答案:B【变式2】对于二次函数,我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点, 则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A .1B .2C .0D .不能确定 【答案】当y=0时,,,即二次函数的零点个数是2. 故选B.类型五、分类讨论5.已知点A(1,1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上.(1)用含a 的代数式表示b ;(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标. 【思路点拨】(1)将A(1,1)代入函数解析式.(2)由△=b 2-4ac =0求出a . 【答案与解析】(1)因为点A(1,1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上,所以1=1-2a+b ,所以b =2a . (2)根据题意,方程220x ax b -+=有两个相等的实数根,所以2244480a b a a -=-=, 解得a =0或a =2.当a =0时,y =x 2,这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0). 当a =2时,2244(2)y x x x =-+=-,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0).所以,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时,方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根,所以240b ac =-=△.类型六、二次函数与实际问题6.为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系.随着补贴款额x 的不断增大,销售量也不断增大,但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足图2所示的一次函数关系.(1)在政府出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式;(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大,政府应将每台补贴款额x 定为多少?并求出总收益ω的最大值. 【思路点拨】(2)依题意设y =k 1x+800,z =k 2x+200.分别将(400,1200)和(200,160)代入两式求出k 1、k 2; (3)由题意ω=yz . 【答案与解析】(1)在政府出台补贴措施前,该商场销售家电的总收益为800×200=160 000(元).(2)依题意可设y =k 1x+800,z =k 2x+200,则有 400k 1+800=1200,200k 2+200=160,解得k 1=1,215k =-,所以y =x+800,12005z x =-+. (3)211(800)200(100)16200055yz x x x ω⎛⎫==+-+=--+ ⎪⎝⎭g .政府应将每台补贴款额x 定为100元,总收益有最大值,其最大值为162000元.【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式.《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习(基础)【巩固练习】 一、选择题1.将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( ). A .2(1)2y x =-+ B .2(1)2y x =++ C .2(1)2y x =-- D .2(1)2y x =+- 2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++= 在同一坐标系内的图象大致为( ).3.抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的解析式为223y x x =--,则b 、c 的值为( ).A .b =2,c =2B .b =2,c =0C .b =-2,c =-1D .b =-3,c =2 4. 抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是( )A .22y x x =-- B .211122y x x =-++ C .211122y x x =--+ D .22y x x =-++ 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,有下列结论:①240b ac ->;②abc >0;③8a+c >0;④9a+3b+c <0.其中,正确结论的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4第4题 第5题6.已知点(1x ,1y ),(2x ,2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上,则下列说法正确的是( ). A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =-C .若120x x <<,则12y y >D .若120x x <<,则12y y > 7.在反比例函数a y x=中,当0x >时,y 随x 的增大而减小,则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( ).8.已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >,0b >,0c <),关于这个二次函数的图象有如下说法:①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的有( ).A .0个B .1个C .2个D .3个二、填空题9.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =,且经过点1(1,)y -,2(2,)y ,试比较1y 和2y 的大小:1y ________2y (填“>”,“<”或“=”).10.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示,则此抛物线的解析式为___ _____.11.抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ,已知y =-kx+3的图象经过点C ,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________.12.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为________.第10题 第12题 第13题13.如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象,那么a 的值是________.14.烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为________.15.已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1,4),B(5,4),C(3,-6),则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________.16.若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1,y 1)、B(2,y 2)、C(32,y 3)三点,则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体运动(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分,如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC =3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由.18. 如图所示,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上、下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上、下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等,设甬道的宽为x 米.(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积;(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽;(3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19.为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次购买100个以上,且购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80%销售.现购买太阳能路灯x 个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y 1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y 2元.(1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式;(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?20. 王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用了30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量)y 的关系如图1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益量y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分,A 为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.(1)求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式;(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这30分钟的学习收益总量最大?(注:学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ;【解析】2y x =向右平移1个单位后,顶点为(1,0),再向上平移2个单位后,顶点为(1,2),开口方向及大小不变,所以1a =,即2(1)2y x =-=.2.【答案】D ;【解析】由上图可知0a >,0c <,02b a->,∴ 0b <.0a b c ++<.240b ac ->, ∴ 反比例函数图象在第二、四象限内,一次函数图象经过第一、二、四象限,因此选D .3.【答案】B ;【解析】2223(1)4y x x x =--=--,把抛物线2(1)4y x =--向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1y x =+-,∴ 222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+,∴ b =2,c =0.因此选B .4.【答案】D ;【解析】由图象知,抛物线与x 轴两交点是(-1,0),(2,0),又开口方向向下,所以0a <,抛物线与y 轴交点纵坐标大于1.显然A 、B 、C 不合题意,故选D .5.【答案】D ;【解析】抛物线与x 轴交于两点,则0b <.由图象可知a >0,c <0,则b <0,故abc >0.当x =-2时,y =4a-2b+c >0.∵ 12b x a=-=,∴ b =-2a , ∴ 4a-(-2a)×2+c >0,即8a+c >0.当x =3时,y =9a+3b+c <0,故4个结论都正确.6.【答案】D ;【解析】画出21y x =-的图象,对称轴为0x =,若12y y =,则12x x =-;若12x x =-,则12y y =;若120x x <<,则21y y >;若120x x <<,则12y y >.7.【答案】A ; 【解析】因为a y x=,当0x >时,y 随x 增大而减小,所以a >0,因此抛物线2(1)y ax ax a x x =-=- 开口向上,且与x 轴相交于(0,0)和(1,0).8.【答案】C ;【解析】∵ 0a >,0b >,∴ 抛物线开口向上,02b x a=-<,因此抛物线顶点在y 轴的左侧,不可能在第四象限;又0c <, 120c x x a=<·,抛物线与x 轴交于原点的两侧, 因此①③是正确的.二、填空题9.【答案】>; 【解析】根据题意画出抛物线大致图象,找出x =-1,x =2时的函数值,比较其大小,易如12y y >.10.【答案】223y x x =-++;【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为(3,0)、(-1,0),∴ 抛物线解析式为(3)(1)y x x =--+,即223y x x =-++.11.【答案】1;【解析】92k =,932y x =-+,与坐标轴交点为(0,3),2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12.【答案】 x 1=3或x 2=-1 ;【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知,与x 轴的一个交点为(3,0).代入方程得m =3,解方程得x 1=3或x 2=-1.13.【答案】-1;【解析】因为抛物线过原点,所以210a -=,即1a =±,又抛物线开口向下,所以a =-1.14.【答案】4s ; 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 15.【答案】(1,-6);【解析】常规解法是先求出关系式,然后再求点的坐标,但此方法繁琐耗时易出错,仔细分析就会注意到:A 、B 两点纵坐标相同,它们关于抛物线对称轴对称,由A(-1,4),B(5,4)得,对称轴1522x -+==,而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3,-6),所以它关于x =2的对称点是(1,-6).故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1,-6).16.【答案】y 1>y 3>y 2. 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯.而A 、B 在对称轴左侧,且y 随x 的增大而减小, ∵ -1<2,∴ y 1>y 2,又C 在对称轴右侧,且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别为2,1,由对称性可知:y 1>y 3>y 2.三、解答题17.【答案与解析】 (1)2233519315524y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. ∵ 305-<,∴ 函数的最大值是194.∴ 演员弹跳离地面的最大高度是194米. (2)当x =4时,234341 3.45y BC =-⨯+⨯+==.∴ 这次表演成功.18.【答案与解析】(1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2). (2)依题意:2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯, 整理得21557500x x -+=,解得x 1=5,x 2=150(不合题意,舍去).∴ 甬道的宽为5米. (3)设建花坛的总费用为y 万元,则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦. ∴ y =0.04x 2-0.5x+240.当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时,y 的值最小. ∵ 根据设计的要求,甬道的宽不能超过6 m .∴ 当x =6m 时,总费用最少,为0.04×62-0.5×6+240=238.44(万元).19.【答案与解析】(1)由题意可知,当x ≥100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元,但售价不得低于3500元/个,所以5000350010025010x -≤+=,即100≤x ≤250时,购买一个需5000-10(x-100)元. 故y 1=6000x-10x 2;当x >250时,购买一个需3500元.故y 1=3500x .所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩ y 2=5000×80%x =4000x .(2)当0<x ≤100时,y 1=5000x ≤500000<1400000;当100<x ≤250时,y 1=6000x-10x 2=-10(x-300)2+900000<1400000;所以,由3500x =1400000,得x =400.由4000x =1400000,得x =350.故选择甲商家,最多能购买400个路灯.20.【答案与解析】(1)设y =kx ,把(2,4)代入,得k =2,所以y =2x ,自变量x 的取值范围是:0≤x ≤30.(2)当0≤x <5时,设y =a(x-5)2+25,把(0,0)代入,得25a+25=0,a =-1,所以22(5)2510y x x x =--+=-+.当5≤x ≤15时,y =25.即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x <5)分钟,学习收益总量为Z ,则他用于解题的时间为(30-x)分钟.当0≤x <5时,222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+.所以当x =4时,76Z =最大.当5≤x ≤15时,Z =25+2(30-x)=-2x+85.因为Z 随x 的增大而减小,所以当x =5时,75Z =最大.综合所述,当x =4时,76Z =最大,此时30-x =26.即王亮用于解题的时间为26分钟,用于回顾反思的时间为4分钟时.学习收益总量最大.。

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