用抽签法解概率题

用抽签法解概率题

张蕴禄

例1 随机地将15名新生平均分配到三个班中去，这15名新生有3名优等生，试求 （1）每一个班分到一名优等生的概率. （2）这三名优等生分到同一个班的概率.

例2 8个篮球队中有两个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？

例1、例2类型的题目在教材和各种教辅资料中屡见不鲜，也是高中数学概率的一类重要题型,其解法也大都采用下面的解法.

解：（例1）（1）每一个班分到一名优等生的概率

9125

5

5

5105154

448412331==C C C C C C A P （2）这三名优等生分到同一班的概率

916

5

5

5105155

5510212132==C C C C C C A P 解一：（例2）把分组视为有序分组，则73

484

64826=+=C C C C P .

解二：（例2）把分组视为无序分组，则73

14

83612=-=C C C P .

以上解法涉及到了排列、组合的分组问题.分组问题一直是排列、组合的难点问题，有许多学生对有序分与无序分往往模糊不清.特别是对那些学习困难的学生更是难以理解.再加上即便是式子列对，式子的运算（例1）也是比较麻烦的.有一些学生会出现式子正确而结果错误的情况.为此，本文提供一种解决此类问题的简单易行的方法——“抽签法”.

事实上，现实生活中的分组问题，诸如体育比赛中的分组问题，福利彩票中的抽奖问题,都是通过抽签的方式完成的.采用抽签法目的是使每个个体被抽到的概率相等.既然现实生活中的分组问题是通过抽签来完成的，那么我们完全可以从抽签的角度来分析和解决此类问题.

分析：例1中，15名新生需制作15个签，其中一班、二班、三班各5个（比如一班1～

5，二班6～10，三班11～15），这15名新生抽取15个签，共有15

15A =15！种不同的抽取方法.

（1）每一个班各有一名优等生可采用如下的抽签方法：第一名优等生抽取，有15种抽取方法；第二名优等生只能从10个签中抽取，有10种（比如第一个抽到13，第二个只能从1～

10中抽取）；第三名优等生只能从5个签中抽取，有5种；剩余的12个人抽取12个签有1212

A 种.这样每一个班各有一名优等生的概率 91

25

!15!12510151=⨯⨯⨯=

P

用同样的方法可求出这三名优等生分到同一个班的概率

91

6

!15!1234152=⨯⨯⨯=

P

解一(例1)：15人抽签有15

15A =15！种；

（1）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有10种；第三名抽取有5种；剩余12名抽取有12！种，于是每一个班各有一名优等生的概率 91

25

!15!12510151=⨯⨯⨯=

P

（2）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有4种；第三名抽取，有3种；剩余12名抽取有12！种，于是三名优等生分到同一个班的概率

91

6

!15!1234152=⨯⨯⨯=

P

若仅考虑，这三名优等生的抽签方式可使运算更为简便.

解二(例1)：三名优等生从15个签中任抽3个，有3

15A 种

（1）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有10种；第三名抽取有5种.于是每一个班各有一名优等生的概率

9125

510153

15

1=⨯⨯=

A P （2）第一名优等生抽取，有15种；第二名抽取，有4种；第三名抽取，有3种.于是三名优等生分到同一个班的概率

91634153

15

2=⨯⨯=

A P 若用此法解例2，可得到两个强队分在一组内的概率 73!8!638=⨯⨯=

P 或7

37838=⨯⨯=P . 此种解法避开了分组问题的有序无序问题，一是运算简便，二是便于操作.经实验，学习困难生完全可以掌握.不失为一个妙法.以下再举一例。

例3 16个国家足球队中有中、日、韩3个亚洲求队，抽签分成甲、乙、丙、丁4个小组（每组4个队），求

（1）每个组中至多有1个亚洲球队的概率？ （2）3个亚洲球队被分在同一组内的概率？

（3）中、韩被分在同一组，日本被分在另一组内的概率？

（4）其中有两个亚洲球队被分在一组，第三支亚洲球队被分在另一组的概率？

解：三个亚洲球队从16个签中任抽3个，有1415163

16⨯⨯=A 种

（1）第一个亚洲球队抽签，有16种；第二个亚洲球队抽签，有12种；第三个亚洲球队抽签，有8种；于是，每个组中至多有1个亚洲球队的概率为

35

16

141516812161=⨯⨯⨯⨯=

P

（2）第一个亚洲球队抽签，有16种；第二个亚洲球队抽签，有3种；第三个亚洲球队

抽签，有2种；于是，3个亚洲球队被分在同一组内的概率为

35

1

14151623162=⨯⨯⨯⨯=

P

（3）中国队抽签，有16种；韩国队抽签，有3种；日本队抽签，有12种； 于是，中、韩被分在同一组，日本被分在另一组内的概率为

35

6

141516123163=⨯⨯⨯⨯=

P

（4）第一支亚洲球队抽签，有16种，第二支亚洲球队抽签时有两种选择，若从第一支亚洲球队所在的组中抽取，有3种，此时第三支亚洲球队只能从该组以外的12个签中抽取，有12种；第二个亚洲球队若不与第一支亚洲球队在一组，则有12种，此时第三支亚洲球队只能从两组中剩余的6个签中抽取，有6种；于是，两个亚洲球队被分在一组，第三支亚洲球队被分在另一组的概率为

35

18

141516)612123(164=⨯⨯⨯+⨯=

P

当然第（4）小题也可用323P C 来解决，笔者认为，抽签法应尽量淡化排列、组合作用，否则学生容易出现概念不清的错误。

运用抽签法不仅可以解决有关分组问题中的概率问题，还可以解决其他类型的概率问题，下举2例.

例4．（2000年上海高考题）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别有号码1，2，3.现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 .

解：9面旗帜抽3面，7893

9⨯⨯=A 种；

颜色和号码均不同，可这样抽，抽第一面，有9种；第二面只能从第一面剩余的行和列中抽取，有4种；同理，第三面有1种.于是三面颜色与号码均不相同的概率是

14

1

789149=⨯⨯⨯⨯=

P

例5．（扑克牌问题）一副扑克牌共有52张（去掉大小王），现从中任意抽取4张，求 （1）4张花色各不相同的概率？ （2）4张花色均相同的概率？ （3）4张数值相同的概率？ （4）4张数值各不相同的概率？

（3） 其中2张数值相同，另外2张数值也相同（4张数值不全相同）的概率？

解：一副扑克牌可看成52张签，依次抽取4张共有49505152452⨯⨯⨯=A 种

（1）四张花色各不相同可这样抽取，抽第一张有52种；抽第二张有39种；抽第三张有26种；抽第四张有13种.于是，4张花色各不相同的概率

20825

507

49505152132639521=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

P

（2）4张花色均相同的概率

红 黄 蓝 1 1 1 2 2 2 3 3 3