弹性力学的半逆解法研究_周道祥

(5)
利用边界条件 y =-h/2 时 , σy =-q ;y = h/ 2 时 , σy =0 , 得到 A =B =0 , C =-q/ 2 ;利用端部
∫ ∫ ∫ x
=L 截面合力以及合力矩条件
h/ 2 - h/2
σx d
y
=0 ,
h/2 -h/
2
σxy
d
y
=0
,
h/ 2 -h/ 2
τxy
d
(3)认真分析弹性体内各应力分量的分布特点 , 从而给出某应力分量的函数形式极为重要 , 可以借用
第 6 期 周道祥 :弹性力学的半逆解法研究
27
已有的相近问题的一些应力分量的函数式求解 。
参考文献
1 徐芝纶 .弹性力学(上 、下).北京 :人民教育出版社 , 1979 . 2 铁木辛柯 .板壳理论 .北京 :科学出版社 , 1964. 3 王光钦 , 丁贵宝 , 刘长虹 , 等 .弹性力学 .北京 :中国铁道出版社 , 2004 .
-2
q(14
+34
z t
+
z t
3
3)-3
q
x2
(41t
+
z t
2
3 )+
x
f′(z
)+F
(z
)]
=0
解之可得到问题的解
σx
=
6q t3
(l
2
-x 2)z
+
qz t
(4tz22
-
3 5
),
σy
=0
,
σz
=-2 q(12
-
z t
)2(1
+
z t
),
τxy
= τyz
=0
(1 5)
这个结果对相对两边受约束的狭长板来说也有相当满意的精度 , 而且与一般求解板的位移法相比其
可以在假设某一应力分量 , 利用平衡方程求出其余的应力分量后再
代入相容方程求解 。 这样 , 由于未经过消元运算 , 所以方程的阶数
较低 , 可以大大简化运算 。 如果所设函数不是问题的解 , 还可以通 过放松边界条件 , 进而求出一组近似解[ 2] 。由平衡方程可以看出 ,
通过假设剪应力函数而后用平衡方程求出其余应力分量较方便 。
果求解
τxy =-6hq3x(h42 -y 2)
代入方程(1)的前两式积分后可以得出
σx
=-6
qx 2y h3
+f (y), σy
=-2
qy h3
3
+32qhy
+g(x)
(3)
把(3)式代入方程(1)的第三式可求出
f
(y)=
4
qy3 h3
+Ay 2
+Dy
+E
(4)
g(x)=-A x 2 +B x +C
THE SEMI -REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY
ZHO U Dao -xiang
(Research Institute of Higher Educatio n, A nhui Institute of Architecture & Industry , Hefei , 230022 , China)
τyz z
=0
(1 3)
τz x x
+
τzy y
+
σz z
=0
2(σx +σy +σz)=0 , 4 τxy =0 , 4 τyz =0, 4τz x =0
图 3 对边简支板受均布载荷
由于把 y 向的长度 b 视为无限长的柱面弯曲 , 则该问题简化成两维问题 , 所有应力分量均不含自变
Abstract :S tress com ponent funct ions are used to solve the problems of elasticit y based on the equilibrium equations and stress com patible equation acco rding to boundary co nditions .Shear stress function is recommended to solve the elastici ty problems . Key words:elastici ty ;analysis met hod ;st ress f unction
y
=-ql
,得到 H
=6
qL h3
2
-35 qh
,
K =0 。受均布载荷的简支梁应力解为
σx
= 6hq3y(L 2
-
x
2)+
qy h
(4hy22
-
3 5
),
σy
=-
q 2
(hy
+1)(2hy -1)2 ,
τxy
=-6hq3x (h42
-y 2)(6)
1 .2 半无限平面受法向集中力的弗拉芒解[ 3]
(8) 图 2 半无限平面受集中力
σ1 s1
+σ1
-σ2 ρ2
=0
σ2 s2
+σ1
-σ2 ρ1
=0
式中 , s1 , s2 分别为主应力坐标系下 σ1 , σ2 方向的曲线坐标 ;ρ1 , ρ2 分别为主应力坐标系下曲线坐标 的曲率半径 。
根据边界条件和对称性知道 s1 为直线束 , 而 s2 为圆弧 。所以必有 τρ =0 , 利用(7)式积分得到 σ =
σ
=0,
τρ
=0
1 .3 薄板柱面弯曲的近似解
一个对边简支 , 长为 b , 宽为 a(a b), 厚度为 t 的薄板受
集度为 q 的均布载荷作用(见图 3), 下面给出近似解 。
空间问题不计体积力的平衡方程和相容方程为
(1 2)
σx + x
τxy y
+
τx z z
=0
τy x x
+
σy + y
为有效 , 但通过解平衡方程求应力函数 时要做消元运算 , 升高了微分方程的阶数 , 以至于运算过于复
杂 , 很有改进的必要 。
实际上 , 按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程 、应力相
容方程和边界条件 , 则是问题的解 。 可以看出 , 在不考虑体积力的
情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的 。为此 , 我们
第 12 卷第 6 期 2004
安徽建筑工业学院学报(自然科学版) Journal of Anhui Institute of Archi tecture & Industry
Vol .12 No .6 20 04
弹性力学的半逆解法研究
周道祥
(安徽建筑工业学院高教研究所 , 合肥 230022)
摘 要 :利用应力平衡方程和相容方程的特点 , 根据问 题的应 力边界 条件以 应力分 量的函 数表达式 作为试 函数 求解弹性力学问题 。 这种方法简化了计算过程 。 本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易 。 关键词 :弹性力学 ;解析法 ;应力函数 中图分类号 :O343 文献标识码 :A 文章编号 :1006-4540(2004)06 -024-04
图 1 受均布载荷的简支 梁
1 用应力分量函数求解弹性力学问题的实例
1 .1 受均布载荷的简支梁
平面问题的平衡方程与相容方程是
σx x
+
τxy y
=0
τy x x
+
σy y
wk.baidu.com
=0
2(σx +σy)=0
把(1)式的前两式分别对 y 与 x 求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到 4 τxy =0
=0
(1 3)
2(σx +σz )=0
把所取的应力分量分别代入(13)式中的各方程 , 可以求得
τxz
=-2 q x(12
-
z t
)2(1
+
z t
)+f (z),
σx
=-3qx 2(41t
+z t
2 3
)+x
f′(z
)+F
(z
)
(1 4)
把(1 4)式 代入相 容方 程
2
( x2 +
2
z 2 )[
求解过程大大简化了 。
2 结 论
(1)通过以上实例可以看出 , 直接按应力的平衡方程及相容方程通过用应力分量函数的方法求解弹 性力学问题可以大大简化求结果程 。
(2)由材料力学中儒拉夫公式的推导过程及弹性力学理论分析的结果知道 , 弹性体内的剪应力对边 界条件敏感性较差 , 借用材料力学的剪应力函数求解往往能得出较为满意的结果 。
σρ =(A cos +B sin )/ ρ
(1 1)
26
安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 第 12 卷
利用分布在半径为 ρ的半圆上 σρ的合力为F 的条件 , 可得到(11)式中的代定常数 A =21π, B =0 。 由此得出 , 弗拉芒解为
σρ
=
F cos 2πρ
,
量 y 。显然各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的 , 或者各分量增加一个常数项 , 它们仍能满足所
有方程 。为此 , 可以参考材料力学中梁的解 , 取
σy
=0 , σz
=-2 q(12
-
z t
)2(1
+
z t
),
τxy
=0 , τyz
=0 。原
方程组为
σx x
+
τxz z
=0
τz x + x
σz z
f (ρ)。根据边界条件可知
,当
θ=±
π 2
,
σ
=
f (ρ)=0 。把这一结果代入平衡方程的另一式
, 则有
ρ σρρ +σρ =0
(9)
解得
σρ =
F
(ρ),
2
再带入相容方程( ρ2
2
+ ρ ρ+ ρ2
2)σρ =0 , 得到
ρ13F ()+ρ13 Fn( )=0
(1 0)
方程(10)的解是 F( )= A cos +B sin , 所以
收稿日期 :2004 -07 -15 作者简介 :周道祥(1946 -), 男 , 教授 , 硕士 , 主要研究方向为断裂力学 。
(1) (2)
第 6 期 周道祥 :弹性力学的半逆解法研究
25
由(2)式可以看出 τxy 函数的指数一般不超过 3 次 , 可以用三次多项式求解 , 也可以直接利用材料力学结
半逆解法是圣维南于 1856 年提出来的 , 它是求解弹性力学问题十分重要的方法 , 在弹性力学中占有
极重要的地位 。 半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定
函数式 , 再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数 从而求得各应力分量[ 1] 。这种方法较
对于长度远大于梁高度的地基梁 , 可简化为集中力用作用半无限平面上
的平面应变问题(见图 2)。 利用极坐标求解 , 极坐标下的平面问题平衡方程
与相容方程是
σρρ + ρτρ
+
σρ
-σ ρ
=0
τρ ρ
+ρσ
+2
τρ ρ
=0
(7)
[ ρddρ(ρ ρ)+ρ2 2 2] (σρ +σ)=0 考察主应力坐标系下的拉梅 -麦克斯韦尔方程[ 3]