电路-状态方程

第7章
一阶电路和二阶电路的时域分析
状态方程的概念 会写电路的状态方程
状态方程
√ 状态方程的列写 √ 输出方程的列写 √
状态变量的选择 状态方程的求解（时域或频域求解） × 输出方程的求解（时域或频域求解） ×
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1、状态和状态变量 状态 电路在tk时刻的状态是指在该时刻电路所必须具 有的一组独立完备数据，这组数据不仅反映了tk 时刻以前所有输入对电路的作用效果，而且结 合（tk，t）期间的输入就能够完全确定t时刻电 路的特性。
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状态变量
一组独立的网络变量
(1)这组变量在t=t0时刻的值和从t=t0开始的输入能唯一 决定这组变量在任何时刻t>t0时的值。 (2) t时刻的这组变量值和t时刻的输入值能唯一决定网 络的任一变量在时刻t的值。 则这组变量称为状态变量,由这组变量构成的集合称为网 络的状态。 通常选独立的电容电压和电感电流作为网络的 状态变量
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2. 状态方程和输出方程
t
R
L
iL
uC
d uC C = iL dt
uS
uR
uL
C
d uC 1 = iL d 2 uC d uC + RC + uC = uS LC dt C 2 dt dt d iL 1 R 1 = − u C − iL + u S dt L L L
d iL uS = RiL + L + uC dt
t >0
⎡ d uC ⎤ ⎡ ⎢ dt ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ d iL ⎥ ⎢ − 1 ⎢ dt ⎥ ⎢ L ⎣ ⎦ ⎣
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1 ⎤ ⎡0⎤ C ⎥ ⎡ uC ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + 1 [uS ] R ⎥ ⎣ iL ⎦ ⎢ ⎥ − ⎣L⎦ ⎥ L⎦
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⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = A ⎢ x ⎥ + B [ uS ] ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦
状态方程的标准形式：
χ=A χ+B ν
状态方程是状态向量的一阶微分方程，描述了 电路中有记忆元件的输入－输出关系，体现了 电路的动态特性。
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t
R
L
iL
uC
uR = RiL
uL = −uC − RiL + uS
⎡uR ⎤ ⎡ 0 ⎢u ⎥ = ⎢−1 ⎣ L⎦ ⎣
uS
uR
uL
C
R ⎤ ⎡uC ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ i ⎥ + ⎢ 1 ⎥ [u S ] −R⎦ ⎣ L ⎦ ⎣ ⎦
输出方程的一般形式：
y =Cχ + Dν
输出方程描述了电路输出与状态变量之间的关 系，输出方程由电路中无记忆部分的输入－输出 关系导出，是一组代数方程。
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3. 状态变量法概述 4. 状态方程的直观编写法 步骤： 1. 选独立的电容电压、电感电流为状态变量； 2. 列写状态方程，方程中包含一个状态变量的 一阶导数： 对含有电容的结点列 KCL； 对含有电感的回路列 KVL； 3. 消去非状态变量：利用KCL或KVL方程； 4. 整理成标准的状态方程。
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【例7-12】 解
iL
L
R2
iS
R1
1
C
uC
uS
iR d uC C + iR1 + iS + iL = 0 dt d iL d uC 1 1 1 L + R2iL + uS = uC =− uC − iL − iS dt dt R1C C C
iR1
uC = R1
R2 d iL 1 1 = uC − iL − uS L L dt L
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d uC 1 1 1 =− uC − iL − iS dt R1C C C
R2 d iL 1 1 = uC − iL − uS L L dt L
⎡ d uC ⎤ ⎡ − 1 ⎢ dt ⎥ ⎢ R C ⎢ ⎥=⎢ 1 ⎢ d iL ⎥ ⎢ 1 ⎢ dt ⎥ ⎣ L ⎣ ⎦ ⎢ 1 ⎤ ⎡ 1 − ⎥ ⎢− C C ⎡uC ⎤ ⎥⎢ ⎥+⎢ R2 ⎥ ⎣ iL ⎦ ⎢ 0 − ⎥ ⎢ ⎣ L⎦ ⎤ 0 ⎥ ⎡ iS ⎤ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣ uS ⎦ − L⎥ ⎦
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状态变量的选择 1. 是一组独立变量，数目等于电路中独立记忆元 件数量，也就是电路的阶数； 2. 选独立的电容电压、电感电流为状态变量； 3. 状态变量的选择方式不唯一； 4. 状态变量具有完备性。
C2
C2
L2
L1
C3
uS
C1
C3
C1
L
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【例7-13】 已知图示电路， R = 1Ω, L = 1H, C1 = C2 = C3 = 1F, 写出状态方程。 解
L
R
iL , uC2 , uC3 为状态变量
LiL = RiR + u C1
C 2 u C 2 = i R − iC 1 C 3 u C 3 = iL + iC1 + iS
uS
L
R
C1
iS
C3
C2
iL
iR
uC2
a
uC1
C1 iC1
b
uC3
uS
iS
C2
C3
iR , iC1 , uC1 为非状态变量
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