动态电路方程及其解

独立初始值： uC(0＋), iL(0＋) 非独立初始值：t0+ 时刻其它u (0＋), i (0＋)值。
第四章 动态电路的时域分析
t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为 t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为
1 t 0 uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) iC ( )d C t 0 1 t 0 i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uL ( )d L t 0
uR (t ) uC (t ) us (t )
duC 1 1 uC us dt RC RC
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
2. RL电路
i R (t ) i L (t ) is (t )
uL diL uR uL iR i C , uL L R dt R R
2. (电感元件 t ) Li( t )
电感元件的特点 *电流有变化，才有电压。 *电感的电流具有连续性，不
能跃变。
dVAR 电感的 u( t ) dt di( t ) u( t ) L dt 1 t i ( t ) u( )d L
*电感有“记忆”电流的作
用。电感是无源元件。
确定积分常数A
根据换路定则在 t=0+时，uC (0 ) U 0

t
则A U 0 U s uC (t ) U s (U 0 - Us
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
（3） uC的变化规律 稳态分量
uC (t ) U s (U - Us 0
t )e RC
第四章 动态电路的时域分析
S + U -
C
R2
iC (0+ ) uC (0+) u2(0+_ )
+ U
t=0 R1
(a) 电路 L
+
-
i1(0+ )
R1
+ + u1(0+) uL(0+) _ _
R2
iL(0+ )
uC (0 ) 0, iL (0 ) 0,
(b) t = 0+等效电路 电容元件可视为短路 电感元件可视为开路
uR uC U s
+
t 0
s
i R C
+ _ uc
Us _
第四章 动态电路的时域分析
求对应齐次微分方程的通解
uC
duC uC 0 的解 通解即：RC dt t
pt 其解： uC (t ) Ae Ae RC
微分方程的通解为
（令 RC） (t ) uC (t ) U s Ae uC (t ) uC
第四章 动态电路的时域分析
i
1Ω
10V (t=0)
例3：已知换路前已达稳态，求
uL(0＋) 、i (0＋)、 i1(0＋) 和iL(0＋)。
4Ω
+ uL
i1
iL
-
解：(1)换路前
10 i L (0 ) 2( A) 1 4 (2)根据换路定律 i (0+) 1Ω i L (0 ) i L (0 ) 2 A
i L (0 )
Us 24 4A R1 R2 1 5
uC (0 ) R2 i L (0 ) 5 4 20V
第四章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 ) 20V i L (0 ) i L (0 ) 4 A
(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
uL (0 ) u1 (0 ) U
U C (0 ) 1 (0 ) R1
iC 、uL 产生突变
u2 (0 ) 0
第四章 动态电路的时域分析
例2 电路如图所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当
t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。
第四章 动态电路的时域分析
如果用f(t)表示激励us, 用y(t)表示响应uC或iL
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
y(t ) yh (t ) y p (t ) Ae
设全响应y(t)的初始值为y(0+)

t

y p (t )
A=y(0+)-yp(0+)
第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态
元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的， 称为n阶电路。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解
1. 初始值的计算
例：求解方程
解： 特征方程
dx 5 x 0, dt
x ( 0) 2
s5 0
s 5
特征根
画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC( 0+) 的电压源 替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=0+时的值。
(3) 由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的 初始值）。
第四章 动态电路的时域分析
例1 初始值的确定
S + U t=0 R1 L
C
第四章 动态电路的时域分析
换路、暂态与稳态的概念
US (t=t1)
(t=0)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。有两类稳态电路：
直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。 正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。
第四章 动态电路的时域分析
t
y (t ) y p (t ) [ y (0 ) y p (0 )]e

t0
第四章 动态电路的时域分析
当激励 f(t) 为直流时，微分方程的特解是常数。令 yp(t)=C, 显然有yp(0+)=C, 得
y(t ) C [ y(0 ) C ]e
uC (t )
+ Us U0 o
仅存在 于暂态 过程中
uC
t
uC (t ) U
0
t e RC U
s
t (1 e RC )
(t 0)
零输入响应
零状态响应
第四章 动态电路的时域分析
2. 电流 iC 的变化规律
duC U s U 0 iC C e t0 dt R i
第四章 动态电路的时域分析
动态电路的初始状态与初始值
t0+ 和 t0t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的瞬间， t0+ 为换路后 的瞬间（称为换路后的初始时刻）。 独立初始值 uC(t)和 iL(t)为电路的独立状态变量。 T0+ 时刻的uC(0 ＋)和 iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电 路所储存的能量。
3. uC 、 iC 变化曲线

t
C Us
uC
uC
uC U s ( 1 e
t

) U 0e
t

U s U0 R
U0
iC
t
第四章 动态电路的时域分析
3. 直流电源作用一阶动态电路的三要素法
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
第四章 动态电路的时域分析
2. 微分方程经典解法
+
t 0
s
i R
C + _ uc
U _
uC (0 -) =U0
U U0
实质：RC电路的充电过程
第四章 动态电路的时域分析
1. uC的变化规律
(1) 列 KVL方程
解得：K U s 即：u'C (t ) U s
duC RC uC U s uC (0 -) = U0 dt (方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解) (t ) uC (t ) 即 uC (t ) uC (2) 解方程 duC RC uC U s 求特解 u'C： dt dK 设：u'C K 代入方程, U s RC K dt
(3) 由0+等效电路，计算其余初始值。
U C (0 ) 20 i2 (0 ) U C (0 ) 20 4 A i2 (0 ) R2 5 4 A R2 5 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0 iC ( 0 ) i L ( 0 ) i 2 ( 0 ) 4 4 0
通解
x(t ) K e
wk.baidu.comst
Ke
5t
代入初始条件，得 原问题的解为
x(0) 2 K 2
x( t ) 2 e 5 t
第四章 动态电路的时域分析
讨论初始值的原因:
初始值用来完全确定微分方程的解。动态电 路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始 值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压 的初始值。
uc
US
暂态
稳 态
US (t=t1)
暂态
(t=0)
R C
uc
-
+
t1
t
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。 过渡过程产生的原因： 外因换路；内因有储能元件。
第四章 动态电路的时域分析
3.2.1 动态电路方程 1. RC电路
duC iC , uR Ri dt
duC duC iC , uR Ri RC dt dt
第四章 动态电路的时域分析
3.2 动态电路方程及其解
包含至少一个动态元件（电容或电感）的 电路为动态电路。 含有一个独立的动态元件的电路为一阶电路。 （电路方程为一阶常系数微分方程） 含有二个独立的动态元件的电路为二阶电路。 （电路方程为二阶常系数微分方程） 含有三个或三个以上独立的动态元件的电路 为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分 方程）
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 )
换路定律
注意：除uC(0＋)和iL(0＋)外，其他各电流和电压在换 路前后可以跃变。
第四章 动态电路的时域分析
求初始值的简要步骤如下：
(1) 0- 的独立初始值。由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 0+ 的独立初始值。根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。
(3)由0＋等效电路可求得
10V
4Ω i1(0+) 2A
+ uL(0+)
-
i (0 ) 10A
i1 (0 ) 8 A
uL (0 ) 8V
第四章 动态电路的时域分析
例4 电路如图所示，t=0时开关S由1扳向2，在t＜0时电路已 处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。
解： (1) 换路前
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾 1. 电容元件 电容的VAR 电容元件的特点 *电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
dq du i C dt dt 1 du( t ) C
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
*电容有“记忆”电压的作

t

i ( )d
用。电容是无源元件。
第四章 动态电路的时域分析
diL R R i L is dt L L
一阶常系数微分方程
第四章 动态电路的时域分析
3. RLC电路
uL (t ) uR (t ) uC (t ) us (t )
2 duC duC di d u C iC , uR Ri RC , uL L LC dt dt dt dt 2 d 2 uC R duC 1 1 uC us 2 dt L dt LC LC 二阶常系数微分方程
i1 ( 0 ) U s uC (0 ) 12 12 0 R1 4 u (0 ) 12 i2 (0 ) C 1.5 A R2 8 iC ( 0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值。
R2
(a) 解：(1)由换路前电路求 由已知条件知
已知：换路前电路处稳态， C、L 均未储能。 试求：电路中各电压和电 流的初始值。
uC (0 ), i L (0 )
uC (0 ) 0, i L (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0 (2)根据换路定律得：
L (0 ) L (0 ) 0
第四章 动态电路的时域分析
解： (1) 求uC(0-)。由于开关闭合 前电路稳定， duC/dt=0 ，故 iC=0 ， 电容可看作开路。 t=0- 时电路如 图，
uC (0 ) 12V
(2) 根据换路定律有
uC (0 ) uC (0 )12 V ＝ 12V
第四章 动态电路的时域分析