矢量运算

a
a + (a) = 0
物理中矢量总有它的作用点,不同作用点的矢量相互 物理中矢量总有它的作用点 不同作用点的矢量相互 运算,甚至是没有意义的 甚至是没有意义的.一些矢量是可以经过平行 运算 甚至是没有意义的 一些矢量是可以经过平行 移动移到一点上再作运算,这种矢量叫自由矢量 这种矢量叫自由矢量. 移动移到一点上再作运算 这种矢量叫自由矢量 二.矢量的加法与数乘规则 矢量的加法与数乘规则 1)
i i = j j = k k = 1
4)按 乘 配 a ={xa , ya , zb},b ={xb , yb , zb} 点 分 律 有 a b = (xai + ya j + zak) (xbi + yb j + zbk) = xa xb + ya yb + za zb
矢量的叉乘(矢量积 五.矢量的叉乘 矢量积 矢量的叉乘 矢量积) (一)叉乘的运算规则 一 叉乘的运算规则 在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用, 在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用 呈现出某些特殊效应,例如动量矩 例如动量矩、 呈现出某些特殊效应 例如动量矩、力矩及运 动电荷伴存的磁场等.叉乘是描述这类效应的 动电荷伴存的磁场等 叉乘是描述这类效应的 矢量运算.叉乘用 表示,其积为矢量 其积为矢量,所以叫 矢量运算 叉乘用 表示 其积为矢量 所以叫 矢量积. 矢量积 的两个矢量,则叉乘定义为 若 a, b 是交角为 θ 的两个矢量 则叉乘定义为
a ={xa , ya , za},b ={xb , yb , zb} a + b ={xa + xb , ya + yb , za + zb}
λa ={λxa , λya , λza}
质点的位矢和位移
y
r(t)
o
r(t + t)
x
P(x, y, z) 点的位矢
位移
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
a×b = ( ya zb za yb )i (xa zb za xb )j + (xa yb ya xb )k
按行列式展开
i a×b = xa xb
j ya yb
k za zb
易记
t →t + t r = r(t + t) r(t)
例 已知一质点的位矢为
Ax , Ay ,ω为常量，t为时间 ，求质点轨迹。 求质点轨迹。 x(t) = Ax cosωt, y(t) = Ay sin ωt, z(t) = 0
x 2 y 2 ( ) + ( ) =1, z = 0 Ax Ay
矢量的微商、 矢量的微商、速度 位移
一.
Ch0.5 矢量运算
A
A
大小为矢量的模， 大小为矢量的模， 记为 A 长度为零的矢量 叫令矢量 长度为 的矢量叫 长度为1的矢量叫 单位矢量， 单位矢量，记 e 单位矢量用来表示 空间的方向
矢量的概念起源于对运动和 力的研究。 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示
依据事物自身的规律，按矢 依据事物自身的规律， 量运算规则运算的量叫矢量 大小相等、方向相反的矢量 大小相等、 互为负矢量， 互为负矢量，如 a与
λ(a) = (λ)a
(λ + )a = λa + a
λ(a + b) = λa + λb
4)矢量可由单位矢量与标量数的乘积 矢量可由单位矢量与标量数的乘积
a = aea
源自文库可移到一条直线上的矢量
a1 + a2 = (a1 + a2 )ea
a1ea 和 a2ea
直角坐标中的矢量， 三.直角坐标中的矢量，位矢和速度 直角坐标中的矢量
aθ
b
en
为一对邻边的平行四边形,其面积 设想有以 a和 b 为一对邻边的平行四边形 其面积 可表为 S = a b sin θ 则
b
a×b = Sen
叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形 的面积. 的面积
叉乘的运算规则 1)叉乘的反交换律 叉乘的反交换律
a×b = (b×a)
2)叉乘与数乘的结合律 叉乘与数乘的结合律
3)点乘的分配律 3)点乘的分配律 (a + b) c = a c + b c 点乘的常用性质还有
1)a a = a ; 2)a ⊥ b, a b = 0
2
a
θ
b
2)点乘与数乘的结合律λ（a b) = (λa) b = a (λb)
3)直 坐 中 j = j k = k i = 0 角 标 i
r lim 存在， 如果极限t →0 存在，此极限就是矢量函数 r(t) t 时的微商， 在自变量为 t时的微商，记为 r′(t)
r = r(t + t) r(t)
矢量的点乘(标量积 四.矢量的点乘 标量积 矢量的点乘 标量积) 点乘运算规则
a b = a b cosθ
1)点乘的交换律 a b = b a
i j k 为三坐标轴的单位矢量
a = xai + ya j + zak
a ={xa , ya , za}
矢量与三个轴的夹角为
z (k)
a
o
x (i)
y (j)
xa ya za cosα = , cos β = , cosγ = a a a
α, β,γ
a的单位矢量
ya za a xa ea = = i + j + k a a a a
矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标
cos α + cos β + cos γ =1
2 2 2
例 求矢量 解
a = {2,2,1 的方向余弦 }
a = 22 + 22 + (1)2 = 3
1 2 2 1 ea = {2,2,1 = { , , } } 3 3 3 3 2 2 1 cosα = , cos β = , cosγ = 3 3 3 按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算
a b = a + (b)
2)
a +b = c
b
c
a
c
b
λ = 0 λa = 0; λ > 0 λa与a同向，且λa = λ a
a
λ < 0 λa与a反向， λa = λ (a) 且
3)
加法交换律 加法结合律 数乘结合律 数乘分配律
a +b = b +a
(a + b) + c = a + (b + c)
λ(a×b) = (λa) ×b = a×(λb)
3)叉乘的分配律 a×(b + c) = a×b + a×c 叉乘的分配律 4)叉乘可得 a, b同向和反向 平行 的充分必要条件 同向和反向(平行 平行)的充分必要条件 叉乘可得
a×b = 0 且 a ×a = 0 直角坐标系中的叉乘运算 i ×i = j× j = k ×k = 0 i × j = k, j×k = i, k ×i = j 若 a ={xa , ya , za},b ={xb , yb , zb} 则
×
en 是由叉乘符号规定的 a, b两矢量所在平面 是由叉乘符号规定的,
的右手系法线方向的单位矢量. 的右手系法线方向的单位矢量
a×b = a b sin θen
右手系:将右手拇指伸直 其余四指并拢指向 右手系 将右手拇指伸直,其余四指并拢指向a 将右手拇指伸直 的方向,并沿 的方向 并沿 θ(<180 )的计算方向弯向 b , 的方向. 拇指所指的方向就是 en的方向
r dr dx(t) dy(t) dz(t) r′(t) = lim = = i+ j+ k t →0 t dt dt dt dt = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k
注意： 注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。