七年级下平行线的判定及性质讲义
平行线的性质ppt课件
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图，下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
人教版数学七年级下册
3.如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换)，
内错角相等，两直线平行
所以_________(________________________)．
AE∥GF
针对练习
人教版数学七年级下册
已知如图所示，∠ = ∠，点、、在同一条直线上，
∠ = ∠ + ∠，且平分∠，试说明 ∥ 的理由．
复习回顾
人教版数学七年级下册
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
人教版数学七年级下册
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
起着什么样的作用？
知识精讲
人教版数学七年级下册
可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
4.如图，下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4，则m//c
B.若∠1=∠2，则a//b
C.若∠1+∠3=180，则n//c
D.若∠2+∠3=180°，则m//n
达标检测
人教版数学七年级下册
5.如图(1)，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4，则AB // _____,BE_____DF.
七年级数学下册课件(北师大版)平行线的性质
3 如图，在平行线a，b 之间放置一块直角三角板，三角板的 顶点A，B 分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（ A ）
A．90° B．85° C．80° D．60°
4 如图，AB∥CD，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，
∠2＝30°，则∠3的度数是( A ) A．70° B．60° C．55° D．50°
2.3平行线的性质
第1课时
复
习
回
顾
平
条件
行
线 同位角相等
的 内错角相等 判 定 同旁内角互补
结论 两直线平行
猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？
两直线平行
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
知识点 1 “同位角”的性质
探究 如图，利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三
角尺画两条平行线a∥b，然后， 画一条截线c 与这两条平行线
1 如图所示，AB∥CD，AC∥BD. 分别找出与∠1相等或互补的角.
解：如图，与∠1相等的角有∠3， ∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15； 与∠1互补的角有∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12， ∠14，∠16.
2 如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知 一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设 的角度大小应为( D ) A．120° B．100° C．80° D．60°
总结
解决学具操作题，关键是要掌握学具作为几何 图形具有的性质特征，以及学具作为特殊图形中特 殊内角的度数．
例2 如图，将一张长方形的纸片沿EF 折叠后，点D，C 分 别落在D′，C ′位置上，ED ′与BC 的交点为点G，若 ∠EFG＝50°，求∠EGB 的度数．
人教版数学七年级下册5.3.1 第1课时 平行线的性质 -课件
4
b
2
∴ 2+ 4=180°
线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
应用格式:
∵a∥b（已知）
∴∠2+∠4=180 °
a
1
4
b
2
（两直线平行，内错角相等）
c
典例精析
例 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补. D
C
于是∠D=180 °-∠A=180°-
100°=80°
A
B
∠所C以=梯18形0的°另-∠外B两=1个80角°分-1别15是°8=06°5°、 65°.
四、平行线的判定与性质 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是
什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
如图，已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解 ∵ a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
a
1
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
3
b
2
∴ ∠2=∠3(等量代换).
c
总结归纳
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( 已知 )
D
∴∠A=_∠__C_P_E__ ( 两直线平行,同位角相等)
A
∵AC∥DF( 已知 )
F C
P E
图１ B
∴∠D=_∠__C_P_E_ ( 两直线平行,同位角相等 )
七年级下册两线平行知识点
七年级下册两线平行知识点在数学学习中，平行线是一个非常重要的概念，在七年级下册数学中，关于平行线的知识点也是非常的重要。
本文将从两线平行的定义、性质、判定方法等方面进行详细说明，帮助同学们更好地理解和掌握两线平行的相关知识。
一、两线平行的定义在平面内，如果两条直线在同一平面内，且不存在任何交点，则这两条直线被称为平行线。
用符号“||”表示。
如下图所示：（插入图片：两线平行）其中，线AB和线CD被表示为平行线，符号“||”表示两条线段平行。
需要注意的是，两条线段平行，不仅仅是指它们的位置关系，还包括它们的方向和长度关系。
二、两线平行的性质1. 平行线的夹角相等如果两条相交的直线都和另一条直线平行，则这两条相交的直线所夹角相等。
如下图所示：（插入图片：相交直线夹角相等）其中，线AB和CD平行，线EF和CD相交，在DE处所夹角∠AED等于所夹角∠BEF，即∠AED=∠BEF。
2. 平行线上的对应角相等如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的对应角是相等的。
如下图所示：（插入图片：平行线上的对应角相等）其中，线ab和线cd是平行线，线ef与线ab、cd相交，所成的对应角∠bfe=∠ecd。
3. 平行线上的内错角相等，外错角互补如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的内错角相等，外错角互补。
如下图所示：（插入图片：平行线上的内错角相等，外错角互补）其中，线AB和CD平行，线EF与线AB、CD相交，所成的内错角∠AEF=∠DFC；所成的外错角∠CEF=∠AEF+∠DFC。
三、两线平行的判定方法在数学学习中，我们需要掌握两线平行的判定方法，这也是七年级下册数学学习的重点之一。
1. 就角度判定如果两条直线之间的夹角是直角，则这两条直线相互垂直。
如下图所示：（插入图片：直角垂直）其中，线AB和线CD是相交的直线，若∠ABC=90°，则线AB 平行于线EF，即AB||EF。
2. 就边长比判定在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，如果两条直线上的相交角等于90度，并且一条直线在这两条直线之间，且分别与两条直线相交，则这两条直线平行。
第1讲 平行线的性质与判定
∠AMD=∠AGF. 证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）， ∴∠BDF=∠EFC=90°（垂直的性质）
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠CBD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2=∠1（已知）， ∴∠1=∠CBD（等量代换），
∴∠D=∠AHC（_两___直__线__平__行___，__同__位__角__相___等____） ∵∠A=∠D（已知） ∴∠AHC=∠A（__等__量__代__换____________________）
∴___A__B_∥__C__D___（__内__错__角__相__等___，__两__直__线___平__行_____）．
★ 例题精讲
例题5 如图，已知∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，求证：AB∥ED.
解：连接BD， ∴∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°， ∵∠ABC+∠BCD+∠EDC=360° ∴∠ABD+∠EDB=180°， ∴AB∥DE．
★ 例题精讲
练习5 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°。 （1）求证：AB∥DG；（2）求∠AGD.
4. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假： （1）等角的补角相等； （2）两个锐角的和是锐角； （3）负数之和仍为负数.
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等； 真命题 （2）如果两个角是锐角，那么这两个角的和也是锐角；假命题 （3）如果几个数是负数，那么它们的和也是负数. 真命题
∴ CE∥DF（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠BCE=∠BDF（两直线平行，同位角相等） ∠EDF=∠CED（两直线平行，内错角相等）
平行线的判定和性质讲义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。
.（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角互补，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2） 两直线平行，内错角相等。
（3） 两直线平行， 同旁内角互补。
【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。
七年级下册平行判定知识点
七年级下册平行判定知识点在七年级数学中，平行判定是一个重要的知识点。
理解平行线的概念和特性，掌握平行线的判定方法，是学好平行线相关知识的前提。
一、平行线的概念和特性1. 平行线的概念：如果两条直线在同一平面内且没有交点，则这两条直线互相平行。
2. 平行线之间的特性：（1）两条平行线夹在同一条横线上的对应角相等。
（2）两条平行线夹在同一条平行线上的内角互补，外角相等。
（3）平行线与第三条交线所形成的对应角、内角和外角相等。
二、平行线的判定方法1. 判定法一：同位角相等判定法。
如果两条直线被一条横线分成左右两部分，且在同一边内，对应角相等，则这两条直线互相平行。
2. 判定法二：内部夹角相等判定法。
如果两条直线被一条横线分成左右两部分，且在同一边内，内角互补，则这两条直线互相平行。
3. 判定法三：平行于同一直线的两条直线。
如果两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
4. 判定法四：垂线判定法。
如果一条直线与另一条直线垂直，并且与第三条直线交于同一点上，则这两条直线互相平行。
总之，熟练掌握以上四种判定方法，能够准确判定平行线，有利于学生对平行线的理解和应用。
三、平行线的应用1. 平行线可以用来解决平面图形的性质问题，如找出等边三角形、全等三角形等。
2. 平行线也可以用来解决实际生活中的测量问题，如在制作家具时，需要用到平行线的概念和判定方法。
3. 平行线还可以用来解决其他数学和物理问题，如在研究太阳系星体的运动时，需要用到平行线的概念和特性。
总之，平行线是学习数学的重要知识点之一，理解其概念和方法，能够更好地应用于实际问题的解决中。
希望同学们在学习中认真掌握，提高数学水平，更好地适应未来的学习和工作。
平行线的性质与判定_讲义
一、授课目的与分析：一、授课目的与分析：教学目标：1. 了解平行线的概念和两条直线的位置关系了解平行线的概念和两条直线的位置关系2. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质重 点：平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用 难 点：平行的性质和判定的综合应用二、授课内容：二、授课内容： 平行线的性质与判定教学过程：【知识点】【知识点】1、平行线的概念：、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5、 平行线的判定与性质平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质 1、 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 2、 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 3、 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行，同位角相等、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行 6两条平行线的距离两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
平行线讲义
平行线知识总结1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
5、认识三角形（1）三角形构成的条件：两边之和大于第三边；（2）推论：两边之差小于第三边；（3）三角形的中线、角平分线、高的定义。
6、多边形的内角和与外角和（1）用平行线的性质定理证明三角形的内角和是180°；（2）n边形的内角和等于（n-2）·180°；（3）多边形的外角和等于360°。
一、选择题1．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )2如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是()A．∠1与∠4是同位角B．∠2与∠3是内错角C．∠3与∠4是同旁内角D．∠2与∠4是同旁内角3．如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC＝32°，那么∠AOD等于(A)A．148°B．132°C．128°D．90°4．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数(B)A．65°B．55°C．45°D．35°5．下列命题中，真命题的个数是(D)①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等．A．4 B．3 C．2 D．16．如图，给出下列四个条件：①AC＝BD；②∠DAC＝∠BCA；③∠ABD＝∠CDB；④∠ADB＝∠CBD.其中能使AD∥BC的条件为(C)A．①②B．③④C．②④D．①③④12．如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝70°.。
七年级数学下册教学课件《平行线的性质》
d
c
21 a
34
65 b
78
对应训练
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为 __1_2_0_°_.
2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°， 则∠3=__5_8_°__.
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
两条直线平行
21 a
34
同位角相等
转化
内错角相等
65 b
78
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
解：∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.
21 a
34
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）.
拓展提升
我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底 挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的 刀片打开，得到如图所示的图形． （1）若∠1=55°，求∠2的度数； （2）在刀片打开过程中，若∠2始终为钝角，试说明 ∠2=∠1+90°．
解:（1）如图，延长CB交AD于点E. 由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE， ∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°， ∠EAG=∠DEC. ∴∠DEC=145°. ∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF， ∴∠2=∠DEC=145°. （2）由（1）可知 ∠DEC=∠DAG=∠1+∠BAG=∠1+90°， ∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
21 a
人教版数学七年级下册 5.2.2 平行线的判定 课件
为什么？
解：直线与平行. 理由如下：
∵∠1 + ∠ = 180°， ∠1 + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠.
∵∠ = ∠，
∴∠ = ∠.
∴∥（同位角相等，两直线平行）.
【例题2】如图，∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠，试说明∥.
∥
∥
∥
∠ + ∠ = ∠
∠ = ∠ − ∠
∠ = ∠
∠ = ∠ − ∠ = ∠
【例题3】如图，∠ + ∠ = ∠，试说明∥.
解： 如图，作∠ = ∠.
∵∠ = ∠
∴∥.
又∵∠ + ∠ = ∠，
解： ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD．
∵∠3+∠4=180°，∴CD∥EF，
∴AB∥EF．
3.如图，B、A、E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC．你
∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°
所添加的条件是___________________________________________（不允许添加
任何辅助线）．
4.如图，下列条件不能判断直线a∥b的是( D
).
A. ∠1=∠4 B. ∠3=∠5 C. ∠2+∠5=180° D. ∠2+∠4=180°
平行线的判定方法
1. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
2. 同位角相等，两直线平行.
3. 内错角相等，两直线平行.
4. 同旁内角互补，两直线平行.
∠1 = ∠2
∥
判定方法2
线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直
第8讲 平行线的性质与用尺规作角七年级数学下册同步精品讲义
第8讲平行线的性质与用尺规作角目标导航1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3、理解尺规作图的含义；4、能用尺规作一些基本的图形；5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。
知识精讲知识点01平行线的性质一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．二、平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【知识拓展1】（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若∠1＝115°，则∠2的度数为（）A．85°B．75°C．55°D．95°【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（）A．70°B．75°C．80°D．85°【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．55°C．65°D．75°【即学即练3】（2021秋•普宁市期末）如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB ∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（）A．60°B．30°C．90°D．80°【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为．【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为度．【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE∥BC，且∠ABD＝∠ADB，∠DAE＝∠E，若∠ABC＝63°，求∠DBC的度数．【即学即练1】（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线P A，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（）A．2αB．2βC．α+βD．（α+β）【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为度．【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由条件可知：∠1＝∠3，依据是，∠2＝∠4，依据是．②反射光线BC与EF平行，依据是．（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝；∠3＝．【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．解：∵AB∥DC（），∴∠B+∠DCB＝180°（）．∵∠B＝（已知），∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝（垂直的定义）．∴∠2＝．∵AB∥DC（已知），∴∠1＝（）．∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝（角平分线的定义）．∵AB∥DC（已知），∴+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．∴∠D＝180°﹣∠DAB＝．【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．知识点02 用尺规作角1．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、作一个角等于已知角作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等．利用尺规作一个角等于已知角.已知：∠AOB(如图2－4－22所示)．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.图2－4－22作法：(1)如图2－4－23所示，作射线O′B′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′B′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′A′.则∠A′O′B′就是所求作的角．图2－4－23【知识拓展1】（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（）A．延长射线AB到DB．以点D为圆心，任意长为半径画弧C．作直线AB＝3cmD．延长线段AB至C，使AC＝BC【即学即练1】（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（）A．延长线段AB到点C，使BC＝ABB．画直线AB的中点CC．画直线AB＝6cmD．延长射线OA到点B【即学即练2】只用的直尺和进行的作图称为尺规作图．【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（）①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离C．延长射线OA D．连接A、B两点【即学即练5】（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是、、，而且要画出，写出，保留．【即学即练6】（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．连结A、B两点C．画出直线AB的中点D．画出A、B两点的距离【即学即练7】（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述．①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线AB，使AB＝a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB 的平行线．其中正确的有．（填序号即可）【即学即练8】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．②过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．能力拓展类型一、平行线的性质例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°类型四：尺规作图的定义例6.下列作图属于尺规作图的是()A．用三角尺作AB的平行线B．用刻度尺画线段AB＝3 cmC．用直尺和圆规作直线AB的平行线D．用量角器画∠AOB的平分线OC类型五：作一个角等于已知角例7.如图2－4－24所示，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO＝∠AOB，交OA于点C.图2－4－24类型六：作已知角的和、差、倍例8.如图2－4－25所示，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．图2－4－25分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50°B．55°C．45°D．60°2．（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°4．下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3 cm B．画出A、B两点的距离C．画出A、B两点的中点D．连接A、B两点5．在下列各题中，属于尺规作图的是（）A．利用三角板画45°的角B．用直尺和三角板画平行线C．用直尺画一工件边缘的垂线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段二．填空题（共3小题）6．（2021秋•道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为度．7．（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝度．8．（2020秋•石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空．解：因为DE∥BC，所以∠DEF＝（）．因为EF∥AB，所以＝∠ABC（）．所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．因为∠ABC＝50°，所以∠DEF＝°．应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．10．（2021春•原州区期末）如图，AD∥BC，∠CAE的平分线是AD，∠C＝65°．请你计算出∠DAE、∠CAB和∠B的度数．11．（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．12．（2021春•南丹县期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF ∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：解：∵DE∥BC（），∴∠DEF＝∠CFE（），∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠ABC（），∴∠DEF＝∠ABC（）．∵∠ABC＝65°，∴∠DEF＝．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（）A．αB．αC．2αD．2．（2021秋•上思县期中）如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（）A．135°B．125°C．55°D．45°3．（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．32°B．34°C．36°D．38°4．（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（）A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线ABC．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF6．下列作图不是尺规作图的是（）A．用直尺和圆规作线段a等于已知线段B．用直尺和圆规作一个角等于已知角C．用刻度尺和圆规作一条10cm的线段D．用直尺和圆规作一个三角形二．填空题（共4小题）7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m 上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝度．8．（2021秋•道里区期末）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于度．9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠NED＝°．三．解答题（共4小题）11．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．12．（2021秋•嵩县期末）已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）：；（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？13．（2021秋•虎林市期末）（1）如图（1），AB∥EF．求证：∠BCF＝∠B+∠F．（2）当点C在直线BF的右侧时，如图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B、∠F的关系如何？请说明理由．14．（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共7小题）2．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝．3．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有个．4．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD ＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P n＝度．5．（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝．6．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为．7．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠CDE n﹣1的平分线，交点为E n，若∠E n＝α度，则∠BED＝度．8．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．三．解答题（共5小题）9．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）10．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．11．（2021•泉州模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°）（1）求证：∠BED＝90°；（2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角）12．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．13．（2021春•江汉区期中）问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．。
《平行线的性质》七年级初一下册PPT课件
(2)判定点是否在平面内。
在生产、生活中，人们经
过长期观察与实践，总结出
关于平面的一些基本性质，
我们把它作为公理．这些公
理是进一步推理的基础．
新知探究
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
新知探究
平面公理
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
存在性
的交线为 OO1 ；
C
B
O
D
A
C1
D1
O1
正确
B1
A1
随堂练习
在正方体
ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
B
O
D
A
错误
C1
D1
B1
A1
随堂练习
例3：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明:这三条直线共面。
点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展
（没有边界）
2.不计大小
（无所谓面积）
3.不计厚薄
（没有质量）
新知探究
2. 平面的画法:
(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用其它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等等;
新知探究
(2) 通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横
∠3
∠4
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
角
度数
2
1
3
4
6
7
问题一：找出图中的角中，哪些是同位角？
数学七年级下学期第2讲 平行线的判定(1)
第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM ＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB ∥CD的是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．①B．②C．③D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行线及其判定和性质课件
1：如图，直线AB、CD被直线EF所截，量 得∠1=60°∠2=120°就可以判定AB∥CD。 它的根据是什么？
分析：证明AB∥CD
平行线的定理
同旁内角互补，两直线平行 即∠1+∠5 =180°
对顶角的定义
∠5 = ∠2
等量代换
证明：∵∠1=60° ∠2=120° (已知) ∴ ∠1+∠2= 180° ∵ ∠2=∠5 （对顶角相等） ∴∠1+∠5= 180°（等量代换） ∴AB∥CD (同旁内角互补、两直线平行）
∵∠1=60° ∠2=120° (已知) ∴∠1+∠2 =180°
2：如图已知∠1=72°，∠2=72°， ∠3=60°，求∠4的度数。
4 3
分析：求∠4的度数
两角关系
2 1
∠3与∠4互为同旁内角
平行线性质
a b
∠3+∠4=180°
即需证
解：∵∠1=72°∠2=72°(已知) ∴a∥b（内错角相等，两直线平行） ∴ ∠4+∠3 =180° （两直线平行，同旁内角互补） 又∠3=60°(已知) ∴ ∠4=180°-∠3 =180°-60°=120°
证明两直线平行
平行线判定
∵∠1=72°∠2=72°(已知) ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
变式：将原题改为已知∠1=72°，∠2=72°， 证明∠5=∠6
4
6
3
5
证：∵∠1=72°∠2=72°(已知) ∴ ∠1=∠2 ∴a∥b（内错角相等，两直线平行） ∵∠4=∠5，两直线平行，同位角相等 ∠4=∠6（对顶角相等） ∴∠5=∠6
2 1
a b
练习巩固
1、对于图1中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是(
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平行线与相交线的判定与性质讲义
一．知识再现：
平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
二．例题评析
1.如图1－18，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°.
2.如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
3.如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？
4.如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．
三．知识点专练
知识点1：平行和角平分线、三角形
1如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，
若172∠=，则2∠= .
A
B
C
D
E F
1 2
3
2如图，已知//,30,AD BC B DB ∠=平分,ADE ∠则DEC ∠为（ ）.
（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）
120
A
D
B
E
C
3如图，已知：AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，请说明：AE ⊥CF.
A
B
D C
E
知识点2：方程与角
1.一个角的余角等于这个角的补角的1
3
，求这个角.
2如图,直线AB,CD 相交于O 点,OM ⊥AB. (1)若∠1=∠2,求∠NOD;(2)若∠1=1
4
∠BOC,求∠AOC 与∠MOD.
M N
1
O A B
D C
2
知识点3：平行中的模型
1如图，AB//CD ，若∠ABE =130，∠CDE =152，则∠BED = .
A
C
B
D
E
2如图，已知AB //CD ，（1）你能找到∠B 、∠D 和∠BED 的关系吗？ （2）如果∠B =46，∠D =58，则∠E 的度数是多少？
A
B
C
E
知识点4：填写简单证明
1如图，直线AB 、CD 被EF 所截，若已知AB //CD ，试完成下面填空.
∵AB //CD （已知），
∴1∠=∠ （两直线平行， ） 又∵23∠=∠，（ ）
∴
∠
=∠ .
B D E 1
3
A C
F
2
四．中考直击
1.(2008年安徽省)如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= ____。
2.( 2008年杭州市) 如图, 已知直线
,
( )
(A)
(B) (C)
(D)
3.（2008年湖北省咸宁市）如图，AB ∥CD ，∠C ＝65o
，CE ⊥BE ，垂足为E ，则∠B 的
度数为 ．
4. (2008年宁波市)如图，已知，则的度数（）A．
B．C．D．
5. （2008年甘肃省白银市）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，
若，则=（）
A．110° B．115° C．120° D．130°
6.(08河南)9．如图直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是．
7.（2008年广州市数学中考试题）12、如图4，∠
1=70°，若m∥n，则∠2= ．
8.（2008年广东省中山市）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A +∠B=120°，则∠
AN M= °；
五．课堂检测（时间30分钟，满分100分）
一、填空
1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ；
若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2.如图，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
3.如图，推理填空：
（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知），
∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知），
∴AC∥ED（ ）；
4.如图，直线l 1∥l 2，AB⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ．
5.如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB 互余的角有 ．
A B
C E D
1 2
3 图１
a
b c d 1 2 3
1 2 3
A F C D
B E
4题 1 2 D A
C
B
l 1 l 2
5题 C D F E B A
二、解答下列各题
1如图，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．
2.如图，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．
3.如图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．
4.如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．
5. 已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2。
求证：∠CDG=∠B.
E B A
F D C
F
2
A B C
D
Q E 1 P M
N
1 2
A C
B F G E D C
1 2 3
A B D F
六．拓展提高
1.如图，EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，
∠DGF=60°。
试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。
图4-4
如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，求∠C的度数．
2.
3.如图，CD∥BE，则∠2+∠3−∠１的度数是多少？
4如图：AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．。