变量与函数的概念
变量与函数
周岁 1 2
3 45
6 7 8 9 10 11 12 13
体重 (Kg)
7.9
12.2
15.6 18.4 20.7
23.0 25.6 28.5 31.2 34.0
37.6 41.2
44.9
(1)在这个问题中有 两 个变化的量。
(2)这两个变化的量之间有怎样的对应关系?
对于周岁的每一个值,体重都有唯一的值与之对应
(4) y x中的y与x 不是
下列各图表示 y 是 x 的函数的是:
()
y
y
y
y
o
x
A
o
x
B
o
x
C
o
x
D
如图不表示函数关系的是(
)
A
B
C
D
E
想一想
在计算器上按下列程序进行操作:
输入x(任意一个数)
按键 × 2 + 5 =
显示y(计算结果) 填表
x
1
3 - 4 0 101
y7
11 - 3 5 207
显示的数y是x的函数吗?为什么?
收获心得
函数关系可以表述为:
输入x (自变量) 函数关系
输出y (因变量)
y的值是唯一的
函数的概念我们了解了,那我们 常见的函数如何表示呢?
1、某地某天气温如图见书P28:气温与时间 具有函数关系吗?
(图象法)
2下表是表示某水库存水量Q与水库的深度h的关系
水深h 0 5 10 15 20 25 30 35 (米) 存水量Q 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (万方)
提问2:在思考(1)--(3)的变化过程中,当一个量 发生变化时,另一个量是否也随之发生变化?是哪一个 量随哪一个量的变化而变化?
数学变量与函数关系
数学变量与函数关系在数学中,变量和函数是两个重要的概念。
变量是一个可以改变的量,而函数则是用来描述变量之间关系的工具。
变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一,它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义,也在其他学科中发挥着重要作用。
一、变量的概念与分类变量是数学中一个基本的概念,它表示一个可以改变的量。
在数学中,变量可以分为自变量和因变量。
自变量是一个独立的变量,它的取值不受其他变量的影响;而因变量则是一个依赖于其他变量的变量,它的取值由自变量决定。
例如,在一次数学实验中,我们可以将自变量设定为时间,而因变量则是实验结果。
通过改变时间的取值,我们可以观察到实验结果的变化。
这个过程中,时间是自变量,实验结果是因变量。
二、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间关系的工具。
它可以将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数通常用符号表示,例如f(x)或者y=f(x)。
其中,x是自变量,y是因变量,f是函数的名称。
函数可以用不同的方式表示,常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。
图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。
符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。
文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。
三、变量与函数的关系变量和函数之间存在着密切的关系。
变量是函数的构成要素之一,函数的定义中必然涉及到变量。
变量的取值不同,函数的取值也会有所不同。
例如,考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。
在这个函数中,x是自变量,2x + 1是因变量。
当x取不同的值时,函数的取值也会有所不同。
当x为0时,函数的取值为1;当x为1时,函数的取值为3;当x为2时,函数的取值为5,依此类推。
这个例子说明了变量和函数之间的关系,即变量的取值决定了函数的取值。
四、变量与函数的应用变量和函数的研究和应用在数学中有着广泛的应用。
它们不仅在代数、几何等数学学科中发挥着重要作用,也在物理、经济等其他学科中得到了广泛的应用。
一次函数-变量与函数
变量与函数(知识讲解)【学习目标】1.知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值范围);2.能初步理解函数的概念;能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法;给出自变量的一个值,会求出相应的函数值.【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地,在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是x 的函数.要点诠释:对于函数的定义,应从以下几个方面去理解:(1)函数的实质,揭示了两个变量之间的对应关系;(2)对于自变量x 的取值,必须要使代数式有实际意义;(3)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于x 允许取的每一个值,y 是否都有唯一确定的值与它相对应.(4)两个函数是同一函数至少具备两个条件:①函数关系式相同(或变形后相同);②自变量x 的取值范围相同.否则,就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到,自变量x 的取值范围有时容易忽视,这点应注意.要点三、函数值y 是x 的函数,如果当x =a 时y =b ,那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释:对于每个确定的自变量值,函数值是唯一的,但反过来,可以不唯一,即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如:2y x =中,当函数值为4时,自变量x 的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释:自变量的取值范围的确定方法:首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义:(1)当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数;(2)当解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数;(3)当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数;(4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为零;(5)当解析式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义.【典型例题】类型一、变量与函数例1、下列是关于变量x 与y 的八个关系式:① y = x ;② y 2 = x ;③ 2x 2 − y = 0;④ 2x − y 2 = 0;⑤ y = x 3 ;⑥ y =∣x ∣;⑦ x = ∣y ∣;⑧ x =2y .其中y 不是x 的函数的有_____.(填序号)【变式】下列:①2y x ;②21y x =+;③22(0)y x x =≥;④0)y x =≥,具有函数关系(自变量为x )的是______.类型二、函数解析式的取值范围 例2、求出下列函数中自变量x 的取值范围(1)2321y x x =--; (2)2131x y x -=+;(3)y =(4)y =.举一反三:【变式】等腰三角形的周长为10,底边长y 与腰x 的函数关系式是102y x =-,则自变量x 的取值范围是________.类型三、函数解析式例3.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用住房墙(住房墙的长度大于BC ),另外三边用25m 长的建筑材料围成,为方便进出,在CD 边上留一个1m 宽的门.若设AB 为()y m ,BC 为()x m ,则y 与x 之间的函数关系式为______.【变式】如图,ABC 中,90BAC ∠=,4BC =,BD 是ABC 的角平分线,过点C 作BD 的垂线,交BD 的延长线于点E .若设AB x =,CE y =,则y 关于x 的函数解析式为___________.类型四、函数值例4、 若y 与x 的关系式为306y x =-,当x =时,y 的值为( )A .5B .10C .4D .-413课后练习1.下列式子:①y=3x ﹣5;②y=1x ;③y 2=x ;⑤y=|x|,其中y 是x 的函数的个数是( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.下列说法中,正确的是( )A .对于两个变量x ,y ,若y x =,则y 是x 的函数B .对于两个变量x ,y ,若22016x y +=,则y 是x 的函数C .对于两个变量x ,y ,若2y x =,则y 是x 的函数D .对于两个变量x ,y ,若22y x =,则y 是x 的函数3.函数y =的自变量的取值范围是( ) A .0x B .0x > C .0x ≠ D .0x =4.下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是( )A .B .C .D .5.下列图象中,表示y 不是x 的函数的是( )A .B .C .D .6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉. 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终 点……. 用 s 1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t 为时间,则下列图像中与故事情节相吻合的是( )A .B .C .D .。
函数的概念
函数的概念
一、常量和变量:
常量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做常量。
变量:在某一变化过程中,可以取不同熟知的量,叫做变量;
变量和常量的最大区别在于表示量的数值是变还是不变。
此外,还要注意区分常量和变量,要结合具体的问题进行具体的分析。
二、函数的概念:
函数:在某个变化过程中有两个量x 和y ,如果在x 的允许范围内,变量y 随x 的变化而变
化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量y 叫做变量x 的函数,x 叫自变量,y 叫做因变量。
理解函数的概念,要注意以下三点:
(1) 函数并不是数,它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系,至于这两个量
是否用x 、y 表示是不一定的。
(2) 自变量x 虽然可以任意取值,但在许多问题中,自变量x 的取值是有范围的;
自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。
对于函数的关系式,即两个变量的对应关系,有三种表示方法:用数学式子来表示、用表格来表示、用图像来表示
(3) 对自变量x 在定义域内的每一个值,变量y 都有唯一确定的值与它对应。
函数的定义域与函数值
定义域:函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
函数值:在定义域内取定x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。
有时把y 用()f x 来代替,所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。
如()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=
- ⎪-⎝⎭求。
2.1.1(一)变量与函数的概念教案学生版
第二章函数§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例,加深对函数概念的理解,学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的三要素.3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填:知识要点、记下疑难点1.函数的概念:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念:设a,b∈R,且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合,叫做闭区间,记作[a,b].(2)满足a<x<b 的全体实数x的集合,叫做开区间,记作(a,b).(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合,叫做半开半闭区间,分别记作[a,b)或(a,b].(4)满足x≥a,x>a,x≤a,x<a的全体实数x的集合分别表示为[a,+∞) ,(a,+∞),(-∞,a] ,(-∞,a) .研一研:问题探究、课堂更高效[问题情境]初中是用运动变化的观点对函数进行定义,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要.探究点一变量与函数的概念问题1阅读教材29-30页中的(1),(2),(3),(4)四个函数关系的例子,指出这四个例子的共同特点是什么?变量之间的对应关系采用什么形式表达的?问题2从上述的四个例子中,你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量?问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点?问题4确定一个函数最少需要几个要素?为什么?问题5若检查给定两个变量之间是否具有函数关系,只须检查什么?例1对于函数y=f(x),以下说法正确的有()①y是x的函数;②对于不同的x,y的值也不同;③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.A.1个B.2个C.3个D.4个跟踪训练1下列函数中哪个与函数y=x相等?(1)y=(x)2;(2)y=3x3;(3)y=x2;(4)y=x2x.探究点二区间的概念问题1阅读教材31页下半段,然后回答区间的概念是如何定义的?问题2实数集R及x≥a,x>a,x≤b,x<b如何用区间表示?问题3在数轴上如何表示区间[a,b]、(a,b)、[a,b)、(a,b]、[a,+∞)、(a,+∞)?探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.问题1对于一个确定的函数关系式,我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域?问题2在初中已学函数的定义域和值域是怎样的?例2求下列函数的定义域:(1)f(x)=1x-2;(2)f(x)=3x+2;(3)f(x)=x+1+12-x.跟踪训练2 求函数f(x)=1x +1的定义域.探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)=1x 2+1(x ∈R),在x =0,1,2处的函数值和值域.跟踪训练3 求下列函数的值域.(1)y =2x +1,x ∈{1,2,3,4}; (2)y =x +1.例4 (1)已知函数f(x)=x 2,求f(x -1); (2)已知函数f(x -1)=x 2,求f(x).跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x 2)的定义域.(2)已知函数f(2x +1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.练一练:当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中,不正确的是 ( )A .函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B .函数的定义域和值域一定是无限集合C .定义域和对应法则确定后,函数值域也就确定D .若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A .函数定义域必不是空集,但值域可以是空集B .函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了C .数集都能用区间表示D .函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应3.已知函数f(1-x 1+x)=x ,求f(2)的值.课堂小结:1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应法则一经确定,值域随之确定,所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号,f 表示对应法则,f(x)表示x 对应的函数值,绝对不能理解为f 与x 的乘积.在不同的函数中f 的具体含义不同,由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外,还可用g(x),F(x)等表示.。
变量与函数大一高数知识点
变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程,其中包括了许多重要的知识点。
其中,变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。
一、变量变量是数学中使用的一种概念,它可以表示不同数值的符号或字母。
在数学中,我们常常用字母来表示变量,如x、y、z等等。
变量可以代表任意数的集合,也可以代表某一个具体的数值。
在数学中,我们通常用变量来表示未知数,通过解方程等方法来求解变量的数值。
变量在实际问题中也很常见,我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况,从而得到数学模型并解决问题。
二、函数函数是数学中另一个重要的概念。
函数是一个特殊的关系,它将一个集合的元素(自变量)映射到另一个集合(因变量)。
函数常用符号表示为y = f(x),其中x为自变量,y为因变量,f为函数关系。
函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。
定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围,对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。
函数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种数学模型,如直线方程、曲线方程等等。
通过函数的性质和图像,我们可以研究函数的增减性、极值、导数等,从而了解函数的行为和特点。
函数可以用来解决各种实际问题,如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。
因此,对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。
三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。
在函数中,自变量常常是一个或多个变量,而函数则是对自变量的一种规定或设定。
变量作为函数中的自变量,它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。
因此,变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。
在实际问题中,我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况,从而建立函数模型。
通过分析自变量的取值范围和变化规律,我们可以研究函数的图像、性质和规律。
例如,我们可以用变量来表示一个物体的位置,然后建立位置和时间的函数关系,通过分析函数曲线的形状和变化趋势,我们可以了解物体的运动规律和特点。
19.1.1 变量与函数(第2课时)课件
(1)汽车以60 km/h 的速度匀速行驶,行驶的时 间为 t(单位:h),行驶的路程为 s(单位:km);
(2)多边形的边数为 n,内角和的度数为 y.
问题(1)中,t 取-2 有实际意义吗? 问题(2)中,n 取2 有意义吗?
根据刚才问题的思考,你认为函数的自变量可 以取任意值吗?
在实际问题中,函数的自变量取值范围往往是 有限制的,在限制的范围内,函数才有实际意义; 超出这个范围,函数没有实际意义,我们把这种自 变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
例3:下列函数中自变量x的取值范围是什么?
(1)y 3x 1
(2)y 1 x2
x取全体实数
x 2x0-2
使函数解析式有意 义的自变量的全体.
(3)y x 5
x 5x05
(4) y x 2 x 1
x 2且x 1
x 1 0
x20
即 xx
1 2
... -2 -1 0
自变量的取值范围的求法
3.油箱中有油30L,油从管道中匀速流出,1h流完,则
油箱中剩余油量Q(L)与流出时间t(min)之间的
函数关系式是
Q
30
1 2
t
,自变量t的取值范围
是 0 t 60 .
4.某市乘坐出租车收费标准如下:乘坐里程不超 过3千米,收费8元;超过3千米时,超过3千米的 部分,每千米加收1.8元.设乘坐出租车的里程为x(公 里)(x为整数),相对应的收费为y(元). (1)请分别写出当0<x ≤3和x>3时,表示y与x 的关系式,并直接写出当x=2和x=6时对应的y值;
解:当0<x ≤3时,y=8; 当x>3时,y=8+1.8(x-3)=1.8x+2.6. 当x=2时,y=8;x=6时,y=1.8×6+2.6=13.4.
自变量和函数
自变量和函数自变量和函数自变量和函数是数学中非常重要的概念。
在数学中,我们经常需要对一些特定的变量进行研究和分析,这些变量被称为自变量。
而函数则是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。
在本文中,我们将详细讨论自变量和函数的概念、性质以及如何构建和使用它们。
一、自变量1.1 自变量的定义在数学中,自变量指的是独立于其他因素而可以改变的变量。
通俗地说,就是我们想要探究的事物或者现象中可以改变的因素。
例如,在研究人体健康问题时,我们可能会考虑年龄、性别、饮食习惯等因素。
其中,年龄就是一个自变量,因为它可以被改变,并且可能会对人体健康产生影响。
1.2 自变量的分类根据不同的研究对象和目标,自变量可以被分为多种类型。
下面列举几种常见的分类方式:(1)离散型和连续型:离散型自变量只能取有限个值或者可数个值;而连续型自变量则可以取任意实数值。
(2)定量型和定性型:定量型自变量可以用数字或者数量来描述,例如身高、体重等;而定性型自变量则只能用类别或者标签来描述,例如性别、颜色等。
(3)因果型和相关型:因果型自变量是研究对象的原因或者影响因素,例如药物剂量、教育程度等;而相关型自变量则是与研究对象有关联但不一定具有因果关系的因素,例如气温、天气等。
1.3 自变量的作用自变量在数学中扮演着非常重要的角色。
它们不仅是构建函数的基础,还可以帮助我们理解和解释各种现象和问题。
在函数中,自变量通常被看作是输入值。
通过对输入值进行不同的操作和计算,我们可以得到对应的输出值。
这样一来,我们就可以通过改变自变量来探究函数的性质和特点。
同时,在研究各种现象和问题时,我们也经常需要对自变量进行分析。
通过观察不同自变量之间的关系和作用,我们可以更深入地了解问题本身,并提出更有效的解决方案。
二、函数2.1 函数的定义在数学中,函数指的是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。
通俗地说,就是通过一些数学操作和计算,将输入值转换为输出值的过程。
函数(一)变量与函数的概念
第二章 函 数2.1.1 函数(一)变量与函数的概念 一、学习目标体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,学习用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.二、知识梳理 (一)选择题1.函数32)(-=x x f 的定义域是( )A .[0,+∞)B .[-3,0]C .),23[+∞D .]23,(-∞2.函数f (x )=-4x +2,x ∈[0,3)的值域是( ) A .(-10,2] B .[-10,2] C .[-2,10] D .[-2,10) 3.函数y =f (x )的图象与y 轴的公共点数目是( ) A .1 B .0 C .0或1 D .1或24.下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) (1) ;5)(,3)5)(3()(-=+-+=x x g x x x x f(2) ;)1)(1()(,11)(-+=-+=x x x g x x x f(3) ;)(,)(2x x g x x f ==(4) ;1)(,)(3334-=-=x x x g x x x f(5) 52)(,)52()(2-=-=x x g x x f .A .(1)、(2)B .(2)、(3)C .(4)D .(3)、(5)(二)填空题 5.},4|{-=∈=x y x A R ,B ={y ∈R |y ≤9},则A ∩B =______.6.下列从集合A 到集合B 的对应法则f 中: ①A ={0,2},B ={0,1},f :x →y =2x ②A ={-2,0,2,},B ={4},f :x →y =x 2 ③A =R ,B ={y |y >0},f :x →y =21x④A =R ,B =R ,f :x →y =2x +1 能成为函数的对应是______. 7.函数]4,1[,1)(∈=x xx f 的值域是______ 8.已知f (x )=3x -2,且f (a )=4,则a 的值是______.9.若函数f (x )的定义域是[-2,2],则f (x +1)的定义域是______.(三)解答题 10.求函数12+=x y 的值域.11.已知函数f (x )=6-2x 的值域为[-4,10),求f (x )的定义域.*12.请写出一个函数f (x ),使得f (x )的定义域为(-1,2],且值域为[1,4).三、自我评价2.1.1 函数(二) 映射与函数 一、学习目标了解映射的概念,能写出一些简单的映射,理解映射与函数的关系. 二、知识梳理 (一)选择题 1.在下列所给出的从集合A i 到集合B i 的对应关系f i (i =1,2,3,4,5,6)中(如图所示),不是..映射的是( )A .①,②,④B .③,⑤,⑥C .①,③,⑤D .②,④,⑥2.已知集合P ={x |0≤x ≤4},Q ={y |0≤y ≤2},下列不能表...示从P 到Q 的映射的是( )A .f :x y x 21=→ B .f :x y x 31=→ C .f :x y x 23=→D .f :112+=→x y x3.设f :A →B 是集合A 到集合B 的映射,则下列结论中正确的是( )A .B 必是A 中元素的象集B .A 中的每一个元素在B 中必有象C .B 中的每一个元素在A 中必有原象D .B 中的每一个元素在A 中的原象是唯一的4.设集合S 、T 中都只含有两个元素,则从S 到T 能建立的映射的个数最多有( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 (二)填空题5.如果(x ,y )在映射f 下的象是(x +y ,x -y ),那么(1,2)在f 下的原象是______. 6.如果映射f :A →B 的象的集合是Y ,原象集合是X ,那么X 和A 的关系是______,Y 和B 的关系是______.7.已知f :x →y =|x |+1是从集合R 到R +的一个映射,则元素4在R 中的原象是______.则f [g (1)]的值为______;满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是______.*9.已知集合M ={a ,b ,c },N ={-3,0,3},f 是从集合M 到集合N 的映射,则满足f (a )+f (b )+f (c )=0的映射个数是______个.(三)解答题10.设集合A ={a ,b ,c },B ={1,2},写出从集合A 到集合B 的所有映射.11.若f :y =3x +1是从集合A ={1,2,3,k }到集合B ={4,7,a 4,a 2+3a }的一个映射,求自然数a ,k 的值及集合A ,B .12.已知集合A =N +,集合,(1212:},,3331,1917,97,31{22A x x x y x f B ∈+-=→= y ∈B )是从A 到B 的映射,求在f 作用下,象129127的原象.三、自我评价2.1.2 函数的表示方法(一) 函数的表示方法 一、学习目标会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,根据条件求一些简单函数的解析式.二、知识梳理 (一)选择题 1.设函数f (x )=)0(=/+x m xm,且f (1)=2,则f (2)=( ) A .21 B .1 C .23D .22.下列四个图形中,不是..表示以x 为自变量的函数的图象是( )3.在下列图中,函数y =ax 2+bx 与y =ax +b (ab ≠0)的图象只可能是( )*4.下列函数中,满足关系f (x +y )=f (x )+f (y )的是( ) A .f (x )=x 2 B .41)(+=x x f C .f (x )=2xD .xx f 1)(=(二)填空题5.已知f (x )=2x 2-3,g (x )=3x -2,则f [g (x )]=______。
数学中的变量与函数关系
数学中的变量与函数关系在数学中,变量和函数是两个重要的概念,它们之间存在着密切的关系。
变量是指在数学问题中可以改变的数值,而函数则是将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
本文将探讨变量与函数之间的关系,并介绍在数学中常见的变量与函数的应用。
一、变量的概念与特点变量是数学中常见的概念,它表示可以改变的数值。
在数学问题中,我们经常需要考虑各种不同的情况,而这些情况中的数值就可以用变量来表示。
例如,我们可以用字母x表示一个未知的数值,这样就可以通过改变x的值来研究不同的数学关系。
变量的特点主要有以下几个方面:1. 可变性:变量的值可以根据需要进行改变,从而反映不同的情况或条件。
2. 未知性:变量通常代表一个未知的数值,我们需要通过运算或实验来确定其具体的取值。
3. 表示方式:变量通常用字母表示,如x、y、z等,但也可以使用其他符号或字母组合。
二、函数的定义与表示方式函数是一种将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
它描述了输入和输出之间的关系,并可以用数学方式来表示。
通常,一个函数由以下几个要素组成:1. 自变量:函数的自变量是指输入的变量,也就是函数的参数。
它可以是一个或多个变量。
2. 因变量:函数的因变量是指函数的输出,也就是函数的值。
它通常用f(x)来表示,其中f表示函数的名称,x表示自变量。
3. 函数表达式:函数表达式是用来描述函数的数学式子,它由自变量和因变量之间的关系构成。
例如,f(x) = 2x表示一个线性函数,表示自变量x经过乘以2的运算后得到因变量f(x)。
函数可以用不同的表示方式来进行表达,常见的有以下几种形式:1. 显式表达式:函数表达式中直接给出了因变量与自变量之间的关系,如f(x)= 2x。
2. 隐式表达式:函数表达式中未直接给出因变量与自变量之间的关系,而是通过方程或不等式来描述,如x^2 + y^2 = 1表示一个圆的方程。
3. 参数方程:函数表达式中通过参数来描述因变量与自变量之间的关系,如x= cos(t), y = sin(t)表示一个单位圆的参数方程。
变量与函数的概念
变量与函数的概念知识点一函数的概念1.函数的定义设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域与值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.知识点二函数相等一般地,函数有三个要素:定义域,对应法则与值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,我们就称这两个函数相等.特别提醒:两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同.知识点三区间1.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表:2.无穷大区间的表示:取遍数轴上所有的值3.注意:①“∞”读作无穷大,是一个符号,不是数,以-∞或+∞作为区间一端时,这一端必须是小括号. ②区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点必须保证左小、右大.1.集合A ={}正方形可以作为某个函数的定义域.( ) 2.若1∈A ,则对于f :A →B ,f (1)可能不存在.( )3.对于函数f :A →B ,当x 1,x 2∈A 且x 1>x 2时,可能有f (x 1)=f (x 2).( ) 4.区间不可能是空集.( )类型一 函数关系的判断 例1 (1)给出下列四个图形:其中,能表示函数关系的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数?为什么? ①f :把x 对应到3x +1; ②g :把x 对应到|x |+1; ③h :把x 对应到1x; ④r :把x 对应到x .跟踪训练1 (1)下列四个图象中,表示函数图象的序号是________.(2)下列给出的对应关系是不是函数关系?若是函数关系,其定义域是什么? ①f :把x 对应到x +1;②g :把x 对应到1x 2+1;③h :把x 对应到常数1. 类型二 已知函数的解析式,求其定义域 例2 求下列函数的定义域. (1)y =3-12x ;(2)y =2x -1-7x ; (3)y =2x +3-12-x+1x.跟踪训练2 函数f (x )=xx -1的定义域为________.类型三 求函数的值域例3 求下列函数的值域.(1)y =x +1;(2)y =x 2-2x +3,x ∈[0,3); (3)y =3x -1x +1;(4)y =2x -x -1.跟踪训练3 求下列函数的值域. (1)y =2x +1+1;(2)y =1-x21+x 2.类型四 对于f (x ),f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )=x +2,若f (a )=4,则实数a =________. (2)已知f (x )=11+x(x ∈R 且x ≠-1),g (x )=x 2+2(x ∈R). ①求f (2),g (2)的值; ②求f (g (2))的值; ③求f (a +1),g (a -1).跟踪训练4 已知f (x )=1-x1+x(x ≠-1).(1)求f (0)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值; (2)求f (1-x )及f (f (x )).1.对于函数y =f (x ),以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数;②对于不同的x ,y 的值也不同;③f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量; ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来. A .1个 B .2个 C .3个D .4个2.区间(0,1)等于( ) A .{0,1} B .{(0,1)} C .{x |0<x <1} D .{x |0≤x ≤1}3.函数y =1x +1的定义域是( )A .[-1,+∞)B .[-1,0)C .(-1,+∞)D .(-1,0)4.设f (x )=x 2-1x 2+1,则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A .1B .-1 C.35D .-355.下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )=-2x 3与g (x )=x -2x ;②f (x )=x 与g (x )=x 2;③f (x )=x 2-2x -1与g (t )=t 2-2t -1. A .①② B .①③ C .③D .②③课时对点练一、选择题1.下列各式中是函数的个数为( )①y =1;②y =x 2;③y =1-x ;④y =x -2+1-x . A .4 B .3 C .2 D .12.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x(x )23.已知f (x )=π(x ∈R),则f (π2)的值是( ) A .π2B .π C.π D .不确定4.已知函数f (x )的定义域为[-3,4],在同一坐标系下,函数f (x )的图象与直线x =3的交点个数是( ) A .0 B .1 C .2D .0或15.已知函数f (x )的定义域A ={x |0≤x ≤2},值域B ={y |1≤y ≤2},下列选项中,能表示f (x )的图象的只可能是( )6.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c x ,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( ) A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16二、填空题7.函数y =x -2+x +1的定义域为________.8.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N|1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为________. 9.若函数f (x )=ax 2-1,a 为一个正数,且f (f (-1))=-1,那么a 的值是________. 10.已知f (2x +1)=4x 2+4x +3,则f (1)=________. 三、解答题11.已知函数f (x )=x 2+x -1. (1)求f (2),f (a ); (2)若f (a )=11,求a 的值.12.已知函数f (x )=6x -1-x +4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示); (2)求f (-1),f (12)的值.13.已知A ={x |y =x +1},B ={y |y =x 2+1},求A ∩B .四、探究与拓展14.已知f 满足f (ab )=f (a )+f (b ),且f (2)=p ,f (3)=q ,那么f (72)等于( ) A .p +q B .3p +2q C .2p +3qD .p 3+q 215.已知函数f (x )=x 21+x2.(1)求f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值; (2)求证:f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值;(3)求2f (1)+f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+…+f (2 017)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017+f (2 018)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值.。
变量与函数的概念
变量与函数的概念这节课,我们学习变量与函数的概念。
在初中我们学习过函数的一些知识,请同学们回忆一下什么是函数。
(学生回答:在一个变化过程中,有两个变量x、y,如果给定一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量)初中的时候学习了函数的概念,而生活中我们会经常遇到一些函数问题。
比如:问题一:在加油站为汽车加油,油价为每升4.16元,启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停下,若加油量是x升、金额为y元。
那么:1)在加油过程中过,有两个变量x、y,若给定一个x 值,相应地就确定唯一的一个y 值,则称y是x的函数。
2)金额y元与加油量x升之间的关系式是什么?y=4.16x,0≤x≤12。
用变量的观点来描述函数,虽然生动形象,但有一定的局限性。
我们在现实生活中遇到的函数问题是不是能用更准确的语言来描述它呢?现在我们看课本的第31-32页的实例(1)-(3),回答下列问题:1)你从例题中了解到哪些信息?2)自变量的取值范围是什么?3)自变量与因变量之间有何关系?4)因变量的取值范围是什么?好了,我们一起来看这几个例题。
例(1):从例题中了解到好奇心指标随年龄的变化而变化,自变量的取值范围为10、11、12、13、14、15组成的集合,自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量,因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例(2):从例2里了解到植株高度随着增长时间的增加而增加,自变量的取值范围为1-32整数所组成的集合,自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量,因变量的取值范围为图中各点纵坐标所组成的集合。
例(3):从例3里了解到国内生产总值随年份的变化而变化,自变量的取值范围为1998-2002所组成的集合,自变量与因变量的关系是自变量通过一个对应法则确定因变量,因变量的取值范围为五个生产总值构成的集合。
变量与函数
变量与函数
1 变量
变量是指存储和描述数据的一个名字或标志,是一种程序设计语言中的重要概念。
变量是用来占位符,用来储存和表示特定的值或者数据。
它们的值可以在程序的执行过程中发生变化,可以存储不同类型的值,比如数字、字符串、对象等。
变量名由数字和字母组成,以字母开头,不能有特殊符号,以防止编程出错。
2 函数
函数是程序中的一个关键概念,它可以简化程序的编写,使代码更加模块化、可复用,提高程序的可读性。
函数一般由参数、函数体和返回值组成。
参数是用来让函数进行不同的计算和操作;函数体是函数的主体语句,定义函数的执行流程及操作的语句;返回值则定义函数的执行结果,用来返回执行结果给调用者。
函数包含一个或多个函数体,这些函数可以多次被调用,以提高程序的可重用性。
数学中的变量与函数
数学中的变量与函数数学是一门抽象而且严谨的学科,其中最核心的概念之一就是变量与函数。
变量和函数在数学中扮演着重要的角色,它们帮助我们描述和理解世界中的各种数值关系和现象。
本文将探讨数学中的变量与函数的概念、特点以及它们在实际应用中的重要性。
一、变量:在数学中,变量是指可以取不同数值的量。
变量通常用字母来表示,例如x、y、a、b等。
它们的值可以根据具体的情况而变化,因此被称为变量。
变量可以代表不同的物理量,比如时间、距离、温度等。
使用变量可以简化问题的描述和解决过程,使得数学模型更加灵活且易于理解。
变量有两种类型:自变量和因变量。
自变量是指在函数中独立变化的量,它的取值不依赖于其他变量。
而因变量则是根据自变量的取值而确定的量,取值依赖于自变量。
自变量和因变量之间通常存在某种关系,这种关系可以用函数来表示。
二、函数:函数是数学中最重要的概念之一,它描述了自变量和因变量之间的关系。
函数可以理解为一种映射关系,它将每个自变量的取值映射到一个确定的因变量的取值上。
函数通常用f(x)或者y来表示,其中x为自变量,f(x)或y为因变量。
一个函数可以表示为y = f(x),其中x为输入,y为输出。
函数具有以下特点:1. 唯一性:对于同一个自变量,函数有且只有一个对应的因变量值。
2. 定义域和值域:函数的定义域是指自变量的取值范围,值域是指因变量的取值范围。
3. 图像:函数可以用图像来表示,图像上的每个点(x, y)表示函数在自变量为x时,因变量为y的取值。
函数在数学中扮演着重要的角色,它们用来描述和解决各种实际问题。
比如,利用函数可以描述物体的运动规律、描述市场需求与价格之间的关系等。
函数还可以通过一些基本的运算进行组合,形成更复杂的函数,进而拓展数学模型的应用范围。
三、变量与函数的关系:变量和函数之间存在密切的关系。
函数可以包含一个或多个变量,而变量的值可以通过函数来确定。
变量可以作为函数的自变量,用来描述函数的输入;而函数的结果则可以用变量来表示,用来描述函数的输出。
函数与变量的概念
随机变量:表 示随机现象的 结果,可以取
任何值
变量的取值范围
变量的定义: 一个或多个符 号,表示未知 数或未确定的
数
变量的取值: 可以是任何实 数、整数、有
理数等
变量的作用: 表示某个量或 未知数,在数 学模型和方程 中起到关键作
用
变量的取值范 围:根据问题 的实际情况和 数学模型来确
定
变量的作用域
变量的作用范围:在程序中,变量只能在声明它的代码块或函数内部 访问
变量的生命周期:变量在声明后存在,直到程序结束或超出其作用 范围
变量的可见性:变量只能在声明它的代码块或函数内部可见,不能在 其他地方直接访问
变量的初始化:变量在使用前必须进行初始化,否则会出现编译错 误
03
函数与变量的关系
函数中变量的作用
函数与变量的 应用有助于解 决实际问题, 提高数学建模 的准确性和可
靠性。
掌握函数与变 量的应用对于 数学建模和科 学研究具有重
要的意义。
函数与变量在数据分析中的应用
函数在数据分析中的应用:函数可以用于数据清洗、数据转换和数据聚合等操作,提高数 据分析的准确性和效率。
变量在数据分析中的应用:变量是数据分析中的重要元素,通过选择合适的变量,可以更 好地揭示数据背后的规律和趋势。
函数中变量的取值范围
函数的定义域:函数中变量的取 值范围
单调性:函数在某个区间内的增 减性
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
函数的值域:函数因变量取值的 范围
奇偶性:函数关于原点对称的性 质
函数中变量的实际意义
函数中变量代 表一个可变的 数值,用于描 述数学关系或
规律。
变量的取值范 围受到函数的 定义域和值域
变量与函数的概念以及函数的三种表示方法
变量与函数的概念
变量和常量:
世界是变化的,客观事物中存在大量的变量。
一般地,在一个变化过程中,我们称数值始终不变的量为常量,称数值变化的量为变量。
函数:
在同一个变化过程中,变量之间不是孤立的,而是相互联系的,某些变量的变化会引起其他变量的变化。
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说,x是自变量,y是x的函数。
如果当x=a 时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
函数的三种表示方法
(1)列表法
①若自变量的取值范围为有限的几个数值,则将自变量的所有取值和对应的函数值填写在表格中;
②若自变量的取值范围为含无限数值的一个区间,则从自变量的取值范围中选取(有代
(2)解析式法
y=… (x的取值范围,若没有则默认x的取值范围为全体实数)
(3)图像法
函数的图像:
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图像。
描点法绘制函数图像:
①从x的取值范围中取出一些数值,并计算出y的对应值;
②在平面直角坐标系中描出点(x,y);
③用平滑曲线连接这些点。
表示函数时,要根据情况选择适当的方法,有时为全面地认识问题,需要几种方法同时使用。
2.1.1.1变量与函数的概念
一次函数y=3x-2
x
-1 0 2 10
f
y
-5 -2 4 28
观察上述过程,你 认为函数的本质是 什么?
对应关系, 将x对应到y.
通过f,将x对应到y,因此也把 函数记为f(x)或y=f(x).
二次函数y=x2-2
x
-1 0 2 10
f(x)=x2-2
y
-1 -2 2 98
1 反比例函数y= x 1 f(x)= x
1≤x≤3 2≤x+1≤4 范围 替换 2≤2x+1≤4 0.5≤x≤1.5
2x+1替换x+1 的取值范围
f(2x+1)
例5 已知函数f(x+1)的定义域为[1,3],求f(2x+1) 的定义域. 解: ∵ f(x+1)的定义域为[1,3] ∴在f(x+1)中1≤x≤3,故2≤x+1≤4
从而在f(2x+1)中,2≤2x+1≤4
x
-1
y
-1
1 2 10
1 1/2 1/10
自变量的取值组成的 集合成为定义域.
函数的取值组成的集 合成为值域.
对于1≤x≤2,在数轴上表示如下:
1
2
x
图形是封闭的,因此称之为闭区间.记作[1,2] 对于1<x<2,在数轴上表示如下:
1
2
x
图形是开口的,因此称之为开区间.记作(1,2)
类似的,图形一边封闭而另一边开口,称 之为半开半闭区间. 对于1<x≤2,读作“左开右闭”,记作(1,2].
2
解:设 t
x,t 0
∴ f(x)=t2+2t
∴ f(x)=(x+1)2-1
变量与函数的定义及应用
变量与函数的定义及应用变量和函数是编程语言中最基本的概念之一,在编写代码时经常需要使用它们。
本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。
1. 变量的定义和应用变量是用来存储数据的容器,编写程序时必须首先定义变量,然后才能在程序中使用它们。
通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。
(1)变量的定义在大多数编程语言中,变量的定义语句通常包含变量类型和名称。
例如,要定义一个整数类型的变量,可以使用如下语句:int num;这条语句定义了一个名为num的变量,它的数据类型是整数类型。
如果需要定义多个变量,可以使用逗号隔开,例如:int num1, num2;这条语句定义了两个整型变量num1和num2。
在有些编程语言中,定义变量时需要指定初始值。
例如,要定义一个初始值为10的整型变量,可以使用如下语句:int num = 10;(2)变量的应用定义变量后,可以在程序的任何地方使用它们。
例如,在使用C++编写的程序中,可以在函数中使用定义的变量,例如:int main(){int num = 10;cout << "num的值为:" << num << endl;return 0;在这个例子中,声明了一个名为num的变量,它的数据类型是int,值为10。
在main函数的第二行,输出了num的值。
2. 函数的定义和应用函数是一组预定义好的指令,用于执行特定的操作。
在编写程序时,通常需要多次调用函数,以实现不同的任务。
函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。
(1)函数的定义函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。
例如,要定义一个名为add的函数,用于计算两个数值的和,可以使用如下语句:int add(int num1, int num2){return num1 + num2;在这个例子中,定义了一个名为add的函数,它接受两个整数类型的输入参数num1和num2,并返回它们的和。
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函数
对应法则 定义域
值域
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
二次函数
y kx(k 0) R
R
y k (k 0) {x | x 0} {y | y 0}
x
y kxb (k 0)
y ax2 bx c (a 0)
R
R
a
0时{y
|
y
4ac
b2 }
R
4a
a 0时{y | y 4ac b2 }
生长阶段
在玉米生长的32个 时间段内: 给定生长过程中的 某个时间段,就可 以从这张图中查到 与这个时间段相对 应的玉米植株的高 x 度.
(3)下表展示了我国从1998年到2002年,每一年的国内生 产总值.
年份 1998
生产总值(亿元) 78 345
1999
82 067
2000
89 442
2001
技巧点拨:在例3解(2)中,我们用“凑”的方法把等 式右边的式子用变量t=x-1来表示,这样可以帮助你理解 函数符号的意义.事实上,解这一类问题的一般方法叫做 换元法,即在函数表达式中,令t=x-1则x=t-1于是可得
f (t) (t 1)2 t2 2t 1.
1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述函数的概念, 并引入了函数符号y=f(x); 2.突出了函数概念的本质:两个非空数集间的一种确 定的对应关系; 3.明确了函数的三要素:定义域、对应法则和值域; 4.引入了区间,并探讨了几种常见区间的表示方法; 5.学习了具体函数定义域、值域、函数表达式的求法.
f (x 表1)示自变量变换后得到的新函数.
(2)为了找出函数 y f 的(x对) 应法则,我们需要用
x 来1表示 .x 2
解:(1) f (x 1) (x 1)2 x2 2x 1; (2)因为 f (x 1) x2 (x 1)2 2(x 1) 1,
所以 f (t) t2 即2t 1, f (x) x2 2x 1.
第二章 函数
2.1 函数 2.1.1 函数
1 变量与函数的概念
学习目标
1、知识目标: (1)理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关 系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的三要素:定义域、对应法则、值域; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义 域、值域.
[-1,3]
(4) - 5 < x ≤1
(-5,1]
(6)x < 3
(- ∞,3)
(8)x ≤2或x > 3
(-∞,2]∪(3,+∞)
例3 求函数 y 1 的定义域. x 1
解:要使已知函数有意义,当且仅当 x 1. 0
所以,这个函数的定义域是满足 x 的1所有实数,
即 (-1,+∞).
技巧点拨:(1)定义域在研究函数问题时,要优先考虑, 也就是要树立“定义域优先”的解题法则; (2)在函数关系的表述中,函数定义域有时可以省略,这 时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有 意义的实数的全体构成的集合.
探究2:以上四个实例有什么共同点? 解答:(1)都涉及两个非空数集A,B;
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系 f;
(3)对于数集A中的任意一个数,数集B中都有唯一确定
的数和它对应.
按照某种 对应关系
探究3:你能用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概 括出函数的概念吗?
解答:从对应角度给函数下一个新的定义: 设集合 A是一个非空的数集,对A中的任意数 x ,按照 确定的法则f,都有唯一确定的数y 与它对应,则这种 对应关系叫做集合A上的一个函数, 记作 y f (x), x A.
(2)已知函数 f (x 1) x2, ,求 f (x).
分析:(1)函数 f (x) 即x2 , x,表示自x2变量通过“平
方运算”得到它的函数值,与我们选择什么符号表达自
变量没有关系.函数
y y2,t t2,u u2
… 都表示同一个函数关系.同样自变量换为一个代数式,
如x-1,平方后对应的函数值就是 .这(x里1)2
变式训练:判断下列图象能表示函数图象的是( D ) y y
0
x
0
x
(A)
(B)
y
y
0
x
(C)
0
x
(D)
例2: 把下列 x 的范围用区间表示出来:
(1) -1< x <2
(2)-1≤x ≤3
(-1,2)
(3)- 2≤x < 4
[-2,4)
(5)x≥4
[4,+∞)
(7)x ≠0且x∈R
(-∞, 0)∪(0,+ ∞)
④ 实数集R也可以用区间表示为(-∞,+∞), “∞”读作“无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”, “+∞”读作“正无穷大”. 因此,还可以把满足x≥a, x>a, x≤b, x<b的实数x的集 合分别记作: [a,+∞)、(a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
探究5:对于初中我们学过的正比例函 数、反比例函数、一次函数、二次函 数,它们的定义域、值域、对应法则 分别是什么?请填写下表.
例如:函数 y x 3 , x
没有指出它的定义域,则它的定义域是满足 x 3, 且
x 0 的全体实数,即函数定义域为: {x R | x 3且x 0}.
(3)在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际
意义的制约.
例4
求函数
f
(x)
x
1 2
1
,
x R,
在x
0,1,2 处的
函数值和值域.
95 933
2002
102 398
这张表显示了国内生产总值是年份的函数.给定1998到2002 年中的任一年,可在表中查到当年的国内生产总值.
(4)电路中的电压U=220 V,电流I与电阻R之间的变化规
律,用欧姆定律表示,即
I 220 (R 0) R
A V
这个公式表明,在电路中,电压(U)不变,电流(I) 与电阻(R)的变化成反比例关系,只要测出电路中的电 阻值,就可由上述公式计算出唯一的电流值.
3.因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定,所以 确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则. 根据以上定义,我们得出检验给定两个变量之间是否具 有函数关系的方法:
(1)定义域和对应法则是否给出; (2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的 每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.
探究4:函数的定义域和值域都是“数集”,在以后研究 函数问题时,需要经常表示这些“数集”,那么除了集 合,是否还有更为简单的表示它们的方法呢?
2、能力目标:按照从特殊到一般的认识规律,从背景实 例入手,在体会两个变量之间的依赖关系的基础上,能 够运用集合与对应的语言刻画函数概念. 3、情感目标:理解静与动的辩证关系,激发学生学习数 学的兴趣和积极性 .
引入新课
北京时间2010年10月1日18时59分57秒,万众瞩目的“嫦 娥二号”探月卫星在西昌卫星发射中心成功发射升空, 开始了月球之旅,在嫦娥二号飞行期间,我们时刻关注 着它离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课我们 就是从函数的角度来研究这种对应关系的.
B {28,31,40,35,32,30}
(2)农业科学家研究玉米的生长过程,把生产过程分为
32个时间段,通过实验得到了各时间段与植株高度之间的
相关数据,如图所示. y
200 180
株 160 高 140 cm 120
100 80 60 40 20
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
4a
例1、与函数 y= x 相同的函数是( )C
A.y x2
x2 B.y
x
C.y 3 x3
D.y ( x )2
分析:先看定义域是否相同,再看化简后的解析式是 否相同,两者都相同时就为相同的函数.
解:A中化简之后变为y=|x|,B中定义域为x≠0,D中定 义域为x≥0,只有C化简之后为y=x,且x∈R,故选C.
说明: ① 对于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]都称数a和数b为区 间的端点,其中a为左端点,b为右端点;
② 引入区间概念后,以实数为元素的集合就有以下表示 方法: 集合表示法:{x|3<x<7}; 区间表示法:(3,7); Venn图法.
③ 在数轴上,这些区间都可以用一条以a和b为 端点的线段来表示,在图中,用实心点表示包括 在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内 的端点 .
追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时 间的人,生活就会冷落他。
探究1.初中是怎样对变量和函数进行定义的?
解答:初中函数和变量的概念: 在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一 个x值,相应地就确定唯一的一个 y值,那么我们称y 是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
说明:用变量的观点来描述函数,可以形象生动地描述事 物的变化规律,但有一定的局限性. 下面我们通过几个例子对函数关系作进一步的分析,以 便引入更为确切的语言来表达函数概念:
其中 x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫 做这个函数的定义域.
如果自变量取值a ,则由法则 f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值,记作 y f (a)或 y xa .
所有函数值构成的集合 y y f (x)叫, x做 这A个,函数的值域.
特别提示:1.集合A中元素x有任意性,
数y具有唯一确定性. 2.函数的三要素:定义域、对应法则和值域. 定义域在研究函数问题时要优先考虑,而对应法则是函 数的核心,值域是由定义域与对应法则共同决定的.