变量与函数的概念

函数
对应法则 定义域
值域
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
二次函数
y kx(k 0) R
R
y k (k 0) {x | x 0} {y | y 0}
x
y kxb (k 0)
y ax2 bx c (a 0)
R
R
a
0时{y
|
y
4ac
b2 }
R
4a
a 0时{y | y 4ac b2 }
生长阶段
在玉米生长的32个 时间段内： 给定生长过程中的 某个时间段，就可 以从这张图中查到 与这个时间段相对 应的玉米植株的高 x 度.
(3)下表展示了我国从1998年到2002年，每一年的国内生 产总值.
年份 1998
生产总值（亿元） 78 345
1999
82 067
2000
89 442
2001
技巧点拨：在例3解（2）中，我们用“凑”的方法把等 式右边的式子用变量t=x-1来表示，这样可以帮助你理解 函数符号的意义.事实上，解这一类问题的一般方法叫做 换元法，即在函数表达式中，令t=x-1则x=t-1于是可得
f (t) (t 1)2 t2 2t 1.
1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述函数的概念， 并引入了函数符号y=f(x)； 2.突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确 定的对应关系； 3.明确了函数的三要素：定义域、对应法则和值域； 4.引入了区间，并探讨了几种常见区间的表示方法； 5.学习了具体函数定义域、值域、函数表达式的求法.
f (x 表1)示自变量变换后得到的新函数.
(2)为了找出函数 y f 的(x对) 应法则，我们需要用
x 来1表示 .x 2
解：(1) f (x 1) (x 1)2 x2 2x 1; (2)因为 f (x 1) x2 (x 1)2 2(x 1) 1，
所以 f (t) t2 即2t 1, f (x) x2 2x 1.
第二章 函数
2.1 函数 2.1.1 函数
1 变量与函数的概念
学习目标
1、知识目标： （1）理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义 域、值域.
[-1,3]
(4) - 5 < x ≤1
(-5,1]
(6)x < 3
（- ∞,3）
（8）x ≤2或x > 3
(-∞,2]∪（3，+∞）
例3 求函数 y 1 的定义域. x 1
解：要使已知函数有意义，当且仅当 x 1. 0
所以，这个函数的定义域是满足 x 的1所有实数，
即 (-1,+∞).
技巧点拨：（1）定义域在研究函数问题时，要优先考虑， 也就是要树立“定义域优先”的解题法则; (2)在函数关系的表述中，函数定义域有时可以省略，这 时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有 意义的实数的全体构成的集合.
探究2：以上四个实例有什么共同点？ 解答：(1)都涉及两个非空数集A，B；
(2)两个数集间都有一种确定的对应关系 f；
(3)对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定
的数和它对应.
按照某种 对应关系
探究3：你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概 括出函数的概念吗？
解答：从对应角度给函数下一个新的定义: 设集合 A是一个非空的数集，对A中的任意数 x ，按照 确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种 对应关系叫做集合A上的一个函数， 记作 y f (x), x A.
(2)已知函数 f (x 1) x2, ,求 f (x).
分析：（1）函数 f (x) 即x2 , x,表示自x2变量通过“平
方运算”得到它的函数值，与我们选择什么符号表达自
变量没有关系.函数
y y2,t t2,u u2
… 都表示同一个函数关系.同样自变量换为一个代数式，
如x-1,平方后对应的函数值就是 .这(x里1)2
变式训练：判断下列图象能表示函数图象的是（ D ） y y
0
x
0
x
(A)
(B)
y
y
0
x
(C)
0
x
(D)
例2： 把下列 x 的范围用区间表示出来：
（1） -1< x <2
（2）-1≤x ≤3
(-1,2)
（3）- 2≤x < 4
[-2,4)
(5)x≥4
[4，+∞）
(7)x ≠0且x∈R
(-∞, 0)∪（0，+ ∞）
④ 实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞）， “∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”， “+∞”读作“正无穷大”. 因此，还可以把满足x≥a, x>a, x≤b, x<b的实数x的集 合分别记作: [a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b).
探究5：对于初中我们学过的正比例函 数、反比例函数、一次函数、二次函 数，它们的定义域、值域、对应法则 分别是什么？请填写下表.
例如：函数 y x 3 ， x
没有指出它的定义域，则它的定义域是满足 x 3, 且
x 0 的全体实数，即函数定义域为： {x R | x 3且x 0}.
（3）在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际
意义的制约.
例4
求函数
f
(x)
x
1 2
1
,
x R,
在x
0,1,2 处的
函数值和值域.
95 933
2002
102 398
这张表显示了国内生产总值是年份的函数.给定1998到2002 年中的任一年，可在表中查到当年的国内生产总值.
(4)电路中的电压U=220 V，电流I与电阻R之间的变化规
律，用欧姆定律表示，即
I 220 (R 0) R
A V
这个公式表明，在电路中，电压（U）不变，电流（I） 与电阻（R）的变化成反比例关系，只要测出电路中的电 阻值，就可由上述公式计算出唯一的电流值.
3.因为函数的值域被定义域和对应法则完全确定，所以 确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则. 根据以上定义，我们得出检验给定两个变量之间是否具 有函数关系的方法：
(1)定义域和对应法则是否给出； (2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的 每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
探究4：函数的定义域和值域都是“数集”，在以后研究 函数问题时，需要经常表示这些“数集”，那么除了集 合，是否还有更为简单的表示它们的方法呢？
2、能力目标：按照从特殊到一般的认识规律,从背景实 例入手，在体会两个变量之间的依赖关系的基础上，能 够运用集合与对应的语言刻画函数概念. 3、情感目标：理解静与动的辩证关系，激发学生学习数 学的兴趣和积极性 .
引入新课
北京时间2010年10月1日18时59分57秒，万众瞩目的“嫦 娥二号”探月卫星在西昌卫星发射中心成功发射升空， 开始了月球之旅，在嫦娥二号飞行期间，我们时刻关注 着它离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课我们 就是从函数的角度来研究这种对应关系的.
B {28，31，40，35，32，30}
（2）农业科学家研究玉米的生长过程，把生产过程分为
32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的
相关数据，如图所示. y
200 180
株 160 高 140 cm 120
100 80 60 40 20
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
4a
例1、与函数 y= x 相同的函数是（ ）C
A.y x2
x2 B.y
x
C.y 3 x3
D.y ( x )2
分析：先看定义域是否相同，再看化简后的解析式是 否相同，两者都相同时就为相同的函数.
解：A中化简之后变为y=|x|,B中定义域为x≠0,D中定 义域为x≥0,只有Ｃ化简之后为y=x,且x∈R,故选Ｃ.
说明： ① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和数b为区 间的端点，其中a为左端点，b为右端点；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有以下表示 方法： 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)； Venn图法.
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为 端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括 在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内 的端点 .
追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时 间的人，生活就会冷落他。
探究1.初中是怎样对变量和函数进行定义的?
解答:初中函数和变量的概念： 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一 个x值，相应地就确定唯一的一个 y值，那么我们称y 是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
说明:用变量的观点来描述函数，可以形象生动地描述事 物的变化规律，但有一定的局限性. 下面我们通过几个例子对函数关系作进一步的分析，以 便引入更为确切的语言来表达函数概念：
其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫 做这个函数的定义域.
如果自变量取值a ，则由法则 f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作 y f (a)或 y xa .
所有函数值构成的集合 y y f (x)叫, x做 这A个，函数的值域.
特别提示：1.集合A中元素x有任意性，
数y具有唯一确定性. 2.函数的三要素：定义域、对应法则和值域. 定义域在研究函数问题时要优先考虑，而对应法则是函 数的核心，值域是由定义域与对应法则共同决定的.
解：
(0）
1 02 1
1,f
(1)
1 12 1
1 2
,
f
(2)
1 22 1
1 5
.
容易看出，这个函数当 x 时0 ，函数取得最大值1,当自变
量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，
但永远不会等于0.于是可知这个函数的值域为集合
{y
|
y
x
1 2
1
,
x
R}
0,1.
例5 （1）已知函数 f (x) x2, 求f (x 1);
实例探究
（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时， 通过某次实验得到的数据如图所示.
y（指标）
在这个图象中，给定10～
40
15岁的每一个年龄（以岁
30
20 10 11 12 13 14 15 x(年龄：岁)
A {10，11，12，13，14，15}
为单位），就对应一个好 奇心指标.你能从这个图 象中了解到哪些信息？
解答：函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区 间的概念：
设a，b ∈R，且a<b,我们规定： 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 记作为[a，b];
满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 记作为(a，b); 满足不等式 a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，记作为[a，b）或（a，b].