第二讲二次函数中有关三角形存在性问题

+第二讲 二次函数中有关三角形存在性问题

一、课题说明：

二、知识梳理：

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等。 1.基本步骤：

（1）分类讨论 （2）尺规作图 （3）计算 2.常用公式：（1）如果A(x 1,y 1)B(x 2,y 2),那么

则它们的中点P 的坐标为（(x 1+x 2)/2, (y 1+y 2)/2）;(2)直线11b x k y +=（01≠k ）与

22b x k y +=（02≠k ）的位置关系:①两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ ②两直线垂

直⇔121-=k k po

三、典例精讲： 1.等腰三角形问题

例1.【A 类】（2015师大4模）uprt 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为(1,2

9

)． (1)求抛物线的函数表达式；

教学目标

1、使学生掌握二次函数中特殊三角形存在性问题的解题思路及解题方

法；2提高学生的综合分析与解决问题的能力。

教学重点 二次函数图像在等腰三角形、直角三角形、相似三角形存在性问题中的综合应用。

教学难点 让学生学会归纳并熟练掌握类型题的作图方法与解答技巧。 教学方法 分类讨论法、尺规作图、归纳法。

常见考法

此类型通常会出现在陕西省中考数学第24题，分值为10分；其他省市中考题与也均以解答题形式出现。 选材程度及数量

课堂精讲例题

课堂训练题

课后作业

A 类 1 2

B 类 1 1 2

C 类

2

1

1

(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标；

【教法参考】

（1）.分类讨论：分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置

例如：本题第二问：在抛物线上找一点p ，使得P D C 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况：

（1）当C ∠为顶角时，CP CD = （2）当D ∠为顶角时，DP DC = （3）当P ∠为顶角时，PD PC =

(2).尺规作图：两圆一线（①当C ∠为顶角时，以C 为圆心CD 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，②当D ∠为顶角时，以D 为圆心DC 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，③当P ∠为顶角时，线段DC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。）

(3)计算：)8

17

,

1(),8,1(),17,1(),17,1(4321p p p p -

2.直角三角形问题

例2.【B 类】（2009眉山）如图，已知直线1

12

y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2

12

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

【教法参考】

（1）.分类讨论：分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置

例如本题第二问：动点P 在x 轴上移动，使得P E A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况:

（1）当A ∠为直角时，AP AE ⊥ （2）当E ∠为直角时，EP EA ⊥ （3）当P ∠为直角时，PE PA ⊥

(2).尺规作图：两线一圆(①A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，②E 为直角顶点时，作法同①，③P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，)

(3)计算：满足条件的点P 的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（

，0）；

3.相似三角形问题

例3.【C 类】（2015西工大3模）如图，抛物线经过A (4，0)、B(1，0)、C （O ，-2）三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)P 是第一象限内抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【教法参考】：寻找比例关系以及特殊角：按对应角不同分类讨论，通过相似三角形转化相似比得出方程，即：

∵∠COA=∠PMA=90°，∴① ②

代入数值求解即

可。

【解析】利用两点式求得：22

5

212-+-

=x x y ；设出点P 坐标，分两种情况计算，进行取舍，解得符合题意的P （2,1）。

4.等腰直角三角形问题

例4.【C 类】（2015交大4模）如图，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示；抛物线y=ax 2

+ax-2经过点B 。 （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[教法参考]：先把△ACP 当作以AC 为直角边的直角三角形来作，即A ∠为直角和C

∠为直角，求出符合题意得点P 坐标，再验证PA 与PC 是否等于AC ，如果等于，则点P 为所求点，反之舍去。

【解析】即可求得点P 1（1，-1）；P 2（2，1）

四．课堂练习：

1.【A 类】如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.

O x

y

1

-1

B

A

【简析】直接带点，求得：452

-+-=x x y ；当PA=AB 时；以及当PB=AB 时，求得：

)4,0(),417,0(21P P -