利用柱面坐标计算三重积分

x2 y2
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
y z 2a
2 2
2
r 2a ,
z
x y , 4
2 2
: 0 r 2a ,
0 , 4
0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,

V d d
0
2
4 0
a cos 0
r sin dr
4 3
2
4 0
1 a5 sin 3 ( 5 0)d 5 cos
5 a . 10
解2
采用柱面坐标
D : x2 y2 a2 ,
x2 y2 z2 z r ,
: r z a,
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
2
4 0
4 ( 2a )3 3 sin d ( 2 1)a . 3 3
解1 采用球面坐标
a , cos

(a 0) 所围的立体.
za r
2 2 2
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x 2 y 2 )dxdydz

d d

: 锥面 x y z ,
用哪种坐标？柱面坐标
z 所围 z
1
锥面化为:
r = z
上顶： z = 1
下底：
Dxy:
zr
Dxy
r 1
.. ..
0
1
y
x
1 I rdrdθ 2 dz r r 1 D
1


2π
0
1 r dθ 2 dr dz 0r 1 r 1
D1 2
8
2
0
45 d dr r 2 r r 2dz , 0 3 2
4 8
I 2 rdrd r 2 fdz
D2 2
2
2
0
25 d dr r 2 r r 2dz , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I 336 . 3 6
求 f ( x , y, z )dxdydz

z
r
0
R
任取球体内一点 对r: 从0R积分,得半径
x
y
z
π 对: 从0 2 积分，
M
r
0

R
y
.
x
任取球体内一点
对r: 从0R积分 得半径 对: π 从0 积分， 2 得锥面 对 : 从0 π 积分，
2
z
0 R y
扫遍球体
第五节 利用柱面坐标和球面坐标
计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
规定： 0 r ,
0 2,
M ( x, y, z )
2 2
0 r a,
0 2 ,
2 a a
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz

0
0
r
5 a4 a5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a
例 6 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
o

z .
x
r
P(r , )

y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
z
为常数
z 为常数

M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x r cos , y r sin ,
z z.
o

r
P(r , )
r sin d rd d
r

o
f ( x, y, z )dxdydz


d
y
x
2
f (r sin cos , r sin sin , r cos )r
sin drdd .
例4
: 球面 x 2 y 2 z 2 R 2 及平面 x 0, y 0, z 0在第一卦限 所围成的区域 .
D1
D2
0 2 0 r 2 2 : 2 . r z 2 2
I I1 I 2 ( x y )dxdydz ( x y )dxdydz ,
2 2 2 2 1 2
I1 rdrd r 2 fdz
y
x
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
z
rd
dr
dv rdrddz ,
f ( x , y , z )dxdydz

r
dz
o
d
y
x
f ( r cos , r sin , z )rdrddz .

例1 计算
2
I
2
zdxdydz

: x y z 1,
A
x

r

M ( x, y, z )
z
o

y

y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
如图，
z
d
r sin
球面坐标系中的体积元素为
dv r sin drdd ,
2
dr
1 r 2π ( 1)dr 2 0 1 r
1
(ln 2 2
. . . .

2
)
例 3 计算 I
2
( x 2 y 2 )dxdydz ， 其中

是曲线 y 2 z ， x 0 绕 oz 轴旋转一周而成 的曲面与两平面 z 2, z 8所围的立体.
x
z

0
R
y
.
I d d f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindr
0
2 0
2 0
x
R
.
例 5 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用 三个有次序的数 r，， 来确定，其中 r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，，
y 2 2z 解 由 x0
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2 z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16,
0 2 0 r 4 1 : 2 , r z 8 2
D2 : x 2 y 2 4,
2
z0
z
பைடு நூலகம்
上顶： z
下底： z = 0
Dxy:
1 x2 y2
x y 1
2 2
. .
Dxy
1
x
0
1
y
I
dxdy
D xy
x y

zdz
用哪种坐标？ 柱面坐标
I=
. .

2π
0
dθ rdr
0
1
1 r 2
0
zdz
4
例2
1 I 2 dxdydz 2 y 1 Ω x
就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r ,
0 ,
0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
球 面；
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y , PM z .