算法设计与分析实验指导书

实验一——串匹配问题

1．实验题目

给定一个文本，在该文本中查找并定位任意给定字符串。 2．实验目的

⑴ 深刻理解并掌握蛮力法的设计思想； ⑵ 提高应用蛮力法设计算法的技能；

⑶ 理解这样一个观点：用蛮力法设计的算法，一般来说，经过适度的努力后，都可以对算法的第一个版本进行一定程度的改良，改进其时间性能。 3．实验要求

⑴ 实现BF 算法；

⑵ 实现BF 算法的改进算法：KMP 算法和BM 算法；

⑶ 对上述三个算法进行时间复杂性分析，并设计实验程序验证分析结果。 4．实现提示

BF 算法、KMP 算法和BM 算法都是串匹配问题中的经典算法，BF 算法和KMP 算法请参见本章第2节。下面介绍BM 算法。

BM （Boyer -Moore ）算法是Boyer 和Moore 共同设计的快速串匹配算法。BM 算法与KMP 算法的主要区别是匹配操作的方向不同。虽然BM 算法仅把匹配操作的字符比较顺序改为从右向左，但匹配发生失败时，模式T 右移的计算方法却发生了较大的变化。

为了方便讨论，假设字符表∑＝{a , b , …, y , z }，BM 算法的关键是，对给定的模式T ="t 1t 2 … t m "，定义一个从字符到正整数的映射：

dist : c →{1, 2,… , m } （c ∈∑）

函数dist 称为滑动距离函数，它给出了正文中可能出现的任意字符在模式中的位置。函数dist 定义如下：

⎩⎨

⎧=-≤≤==-=c

t c m

m j c t j j j

m c dist m j 不出现在模式中或

若且}11|max{)(

例如，T ＝"pattern "，则dist (p )=6，dist (a )=5，dist (t )=3，dist (e )=2，dist (r )=1，dist (n )=7，字符表∑中的其他字符ch 的dist (ch )=7。

BM 算法的基本思想是：假设将主串中自位置i 起往左的一个子串与模式进行从右到左的匹配过程中，若发现不匹配，则下次应从主串的i +dist (s i )位置开始重新进行新一轮的匹配，其效果相当于把模式和主串均向右滑过一段距离dist (s i )，即跳过dist (s i )个字符而无需进行比较。

例如，给定主串S ="ababcabcacbab "，模式T ="abcac "，则dist (a )=1，dist (b )=3，dist (c )=5，BM 算法的匹配过程如图3.19所示。

因为在实际应用中，字符表中大部分字符不出现在模式串中，所以，应用BM 算法可以大大加快串匹配的速度。

实验项目二——最近对问题

1．实验题目

设p 1=(x 1, y 1), p 2=(x 2, y 2), …, p n =(x n , y n )是平面上n 个点构成的集合S ，设计算法找出集合S 中距离最近的点对。

第1趟匹配，i =4，j=4失败， dist(b)=3，i 滑动到7的位置 第2趟匹配，i =7，j=5失败，

dist(b)=3，i 滑动到10的位置

第

3趟匹配，T 中全部字符 都比较完毕，匹配成功 图3.19 BM 算法的匹配过程示例

（1）进一步掌握递归算法的设计思想以及递归程序的调试技术；

（2）理解这样一个观点：分治与递归经常同时应用在算法设计之中。

3．实验要求

（1）分别用蛮力法和分治法求解最近对问题；

（2）分析算法的时间性能，设计实验程序验证分析结论。

4．实现提示

蛮力法实现最近对问题的算法请参考3.6.1节，下面给出基于4.5.1节讨论的分治法求解最近对问题的算法。

实验项目三——八枚硬币问题

1．实验题目

在八枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，设计一个高效的算法来检测出这枚假币。

2．实验目的

（1）深刻理解并掌握减治法的设计思想；

（2）提高应用减治法设计算法的技能；

（3）理解这样一个观点：建立正确的模型对于问题的求解是非常重要的。

（1）设计减治算法实现八枚硬币问题；

（2）设计实验程序，考察用减治技术设计的算法是否高效； （3）扩展算法，使之能处理n 枚硬币中有1枚假币的问题。 4．实现提示

假设用一个数组B[n]表示硬币，元素B[i]中存放第i 枚硬币的重量，其中n -1个元素的值都是相同的，只有一个元素与其他元素值不同，则当n=8时即代表八枚硬币问题。由于八枚硬币问题限制只允许使用天平比较大小，所以，算法中只能出现元素相加和比较语句。

实验项目四——最大子段和问题

1．实验题目

给定由n 个整数（可能有负整数）组成的序列(a 1, a 2, , a n )，求该序列形如∑=j

i

k k

a 的

子段和的最大值，当所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。 2．实验目的

（1）深刻掌握动态规划法的设计思想并能熟练运用；

（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。 3．实验要求

（1）分别用蛮力法、分治法和动态规划法设计最大子段和问题的算法； （2）比较不同算法的时间性能； （3）给出测试数据，写出程序文档。 4．实现提示

蛮力法求解最大子段和问题的设计思想很简单，依次从第1个数开始计算长度为1、2、…、n 的子段和，将这一阶段的最大子段和保存起来，再从第2个数开始计算长度为1、2、…、n-1的子段和，将这一阶段的最大子段和与前一阶段求得的最大子段和比较，取较大者保存起来，依此类推，最后保存的即是整个序列的最大子段和。

分治法求解最大子段和问题的算法请参见4.4.1节。

动态规划法求解最大子段和问题的关键是要确定动态规划函数。记

)1(}

{max )(1n j a j b j

i

k k j

i ≤≤=∑=≤≤

则

)(max }max

{max max

1111j b a

a

n

j j

i

k k

j

i n

j j

i

k k

n

j i ≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤==∑∑