高中数学空间角的计算

[0,

]
A
2
思考：
B O

设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
A
n
A n，BA
2
B

n，BA
B
2
n
结论：sin | cos n, AB |
7
例二：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，

B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2

2
AB

( AC

CD

DB)2
2
2
2
AC CD BD 2(AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB a2 c2 b2 2CA DB
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。3
一、线线角：
异面直线所成角的范围：


0,

2

思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1

B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)， B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z) A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以
x x

z y
0 ，取x 0
=
1，
x
得y = z = -1，故n = (1，-1，-1)，cos n，B1C1
简解：
z
A(0,0,0), A1(0, 0, 4), D(0,8,0), M (5, 2, 4)
AM (5, 2, 4),
A1 N
B1 M A
D1
C1
Dy
A1D (0,8, 4),
B
C
AM A1D＝0 A1D AM . x
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
6
二、线面角：
直线与平面所成角的范围：

B
CA l
cos cos AB,CD AB CD
D
AB CD
10
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b ,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
01 0
3
1 。
3
3


3 3
9
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l, AB ,CD l,CD
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1

(
1 2
,
0,1),
BD1

(1 2
,

1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
z
简解：
由(1)知A1D AM，又A1D AN
A1 B1 M
D1 N
C1
AM AN A，所以A1D 平面AMN A
Dy
所以A1D是平面AMN的法向量。 A(0,0,0), A1(0, 0, 4), D(0,8,0),
xB
C
AD (0,8, 0),
A1D (0,8, 4), cos
AD, A1D
25 5
AD与平面ANM所成角的正弦值是 2 5 所以~~~~ 8
5
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角. z
设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，

AF1
BD1
x

1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
5
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
1
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
2
空间的角：
空间的角常见的有： 线线角、线面角、面面角。
a

b
a，b
|
a

a，b b
|
Baidu Nhomakorabea
结论：
| cos a,b |
4
例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, ]范围内 的角；
2
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [0, ] 。