模糊数学方法

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模糊数学方法

模糊数学方法
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) xiai
i 1
n
f 称为几何平均型模糊综合函数.其中 a i是几
何权数.
(3) 单因素决定型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是正规化权向量,
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
Bi Ai T Ri
(i ) r11 (i ) r21 (ai1 , ai 2 ,, aini ) T (i ) rni 1
r r r
(i ) 12 (i ) 22

(i ) ni 2
r r (i ) rni p
这时需采取多层次评判来解决这类问题. 多层次综合评判的步骤: 1. 因素分类
将因素集 U {u1 , u2 ,, un } 按某种属性 分为s类,即 满足条件:
Ui (ui1, ui 2 ,, uini ), i 1,2,, s
(1) n1 n2 ns n ;
(2) U1 U 2 U s U ;
A (a1 , a2 ,, an ) 是给定 是正规化评判矩阵,
的正规化权向量,则综合评判 ( y1 , y2 ,, ym ) 也是正规化的.
(3) 若 f f 是几何平均型
评判
n 元模糊
综合函数,且 R 和 A 是归一化的,而综合
( y1 , y2 ,, ym ) 未必是归一化的. 若 R 和 A 是正规化的,综合评判 ( y1 , y2 ,, ym )
在使用 M (,) 模型和
M (, T ) 模型前将
归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价 正规化,最后将评价结果归一化.

模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量

模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量

模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学方法。

在现实世界中,许多问题往往不能用精确的数值进行描述,而是存在模糊性。

模糊拓扑和模糊度量是模糊数学中重要的两个概念,它们在解决模糊性问题和形式化模糊集合论中起着重要的作用。

一、模糊拓扑模糊拓扑是研究模糊空间和模糊集合之间关系的数学分支。

它将传统拓扑学中的集合、映射和连续性等概念推广到模糊集合上,以适应处理模糊性问题的需求。

模糊拓扑中的基本概念包括模糊邻域、模糊开集、模糊闭集等。

模糊邻域是模糊拓扑研究的核心概念之一。

传统拓扑学中的邻域是用确定的集合表示的,而模糊邻域则是用隶属函数表示的。

隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度,它可以是一个取值在[0,1]上的实函数。

模糊邻域的定义使得我们能够在不确定的情况下,通过隶属函数的取值确定元素在模糊集合中的位置关系。

模糊拓扑中的模糊开集和模糊闭集分别对应了传统拓扑学中的开集和闭集。

模糊开集是一个隶属函数,它描述了一个模糊集合中的元素在该开集中的隶属程度。

模糊闭集则是相对于模糊开集的补集,描述了元素不属于该闭集的程度。

通过模糊拓扑可以定义模糊收敛和模糊连通性等概念。

模糊收敛描述了模糊空间中一列模糊集合的极限行为,模糊连通性则描述了模糊拓扑空间中的连接性。

二、模糊度量模糊度量是模糊数学中描述模糊集合之间相似性和距离的度量方法。

传统度量空间中的距离公式无法直接用于模糊集合,因为模糊集合的元素隶属于集合的程度不是确定的,而是模糊的。

模糊度量的目标是通过定义一种适用于模糊集合的距离函数,来衡量模糊集合之间的相似性或距离。

模糊度量的定义通常基于模糊集合之间的集合运算和隶属函数的运算。

其中,模糊相似度度量是一种常见的度量方法,它可以通过计算模糊集合的交集和并集来衡量模糊集合之间的相似性。

除了模糊相似度度量外,还存在其他一些度量方法,如模糊欧氏距离、模糊马氏距离等。

这些度量方法通过将模糊集合的隶属函数映射到实数域上,从而实现模糊集合之间的距离计算。

模糊数学方法在数学建模中的应用

模糊数学方法在数学建模中的应用
鲁棒控制
鲁棒控制是控制理论的一个重要分支,它主要研究如程中具有广泛的应用价值。
03
模糊数学方法在数学建模中的具体应用案例
基于模糊逻辑的决策支持系统设计
总结词
模糊逻辑是一种处理不确定性、不完全性信息的数学工具,通过引入模糊集合 和模糊逻辑运算,能够更好地描述现实世界中的复杂现象和决策问题。
模糊逻辑在决策分析中的应用
01
模糊逻辑用于处理不确定性
模糊逻辑通过引入模糊集合的概念,能够处理不确定性和不精确性,使
得决策分析更加合理和可靠。
02
模糊推理系统
模糊推理系统是模糊逻辑的重要应用之一,它基于模糊逻辑的原理,通
过模糊集合和模糊规则进行推理,适用于复杂的决策问题。
03
模糊决策分析
模糊决策分析方法能够综合考虑多种因素,包括模糊因素,从而做出更
模糊数学方法的优势
处理不确定性和模糊性
模糊数学方法能够处理不确定性和模糊性,这在许多实际问题中是常见且必要的。
提高建模精度
通过引入模糊集合和隶属函数,模糊数学方法能够更准确地描述事物的模糊性和不确定性 ,从而提高建模精度。
增强模型适应性
模糊数学方法允许模型参数具有一定的模糊范围,增强了模型的适应性和鲁棒性,能够更 好地应对实际问题的复杂性和不确定性。
模糊数学方法在数学建模中的 应用

CONTENCT

• 模糊数学方法简介 • 模糊数学方法在数学建模中的应用
领域 • 模糊数学方法在数学建模中的具体
应用案例 • 模糊数学方法在数学建模中的优势
和局限性 • 结论
01
模糊数学方法简介
模糊数学方法的起源和发展
起源
模糊数学方法起源于20世纪60年代,由L.A.Zadeh教授提出,旨 在解决传统数学方法无法处理的模糊性问题。

模糊数学方法

模糊数学方法

模糊数学方法在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。

这里所谓的模糊性,主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性,如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”;灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”,等等。

这些通常是本来就属于模糊的概念,为处理分析这些“模糊”概念的数据,便产生了模糊集合论。

根据集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,且仅居其一。

这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。

为处理这些模糊概念而进行的种种努力,催生了模糊数学。

模糊数学的理论基础是模糊集。

模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的,近10多年来发展很快。

模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。

实践证明,模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。

从该学科的发展趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。

在侧重于应用的模糊数学分析中,经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。

在DPS系统中,我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来,列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领,供用户参考和使用。

第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A,空间中任一元素x,要么x A,要么x — A,二者必居其一。

这一特征可用一个函数表示为:1 0x三A x三AA(x)即为集合A的特征函数。

将特征函数推广到模糊集,在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。

定义1设X为全域,若A为X上取值[0, 1]的一个函数,则称A为模糊集。

如给5个同学的性格稳重程度打分,按百分制给分,再除以100,这样给定了一个从域X= { X1 , x2 , X3 , X4, X5}到[0, 1]闭区间的映射。

三角模糊数的运算

三角模糊数的运算

三角模糊数的运算三角模糊数是一种常用的模糊数学方法,它在实际问题中起到了重要的作用。

本文将介绍三角模糊数的运算方法及其应用。

一、三角模糊数的定义三角模糊数是指一个三角形的模糊数,它由三个参数组成:模糊数的中心值、左侧模糊值和右侧模糊值。

中心值表示模糊数的期望值,左侧模糊值和右侧模糊值分别表示模糊数的可信度。

1. 加法运算对于两个三角模糊数A和B,它们的加法运算可以通过对应位置的参数进行相加得到。

即A和B的中心值相加,左侧模糊值相加,右侧模糊值相加。

这样得到的结果就是两个模糊数的和。

2. 减法运算对于两个三角模糊数A和B,它们的减法运算可以通过对应位置的参数进行相减得到。

即A和B的中心值相减,左侧模糊值相减,右侧模糊值相减。

这样得到的结果就是两个模糊数的差。

3. 乘法运算对于两个三角模糊数A和B,它们的乘法运算可以通过对应位置的参数进行相乘得到。

即A和B的中心值相乘,左侧模糊值相乘,右侧模糊值相乘。

这样得到的结果就是两个模糊数的乘积。

4. 除法运算对于两个三角模糊数A和B,它们的除法运算可以通过对应位置的参数进行相除得到。

即A和B的中心值相除,左侧模糊值相除,右侧模糊值相除。

这样得到的结果就是两个模糊数的商。

三、三角模糊数的应用三角模糊数在实际问题中有广泛的应用,如决策分析、控制系统、风险评估等领域。

下面以决策分析为例,介绍三角模糊数的应用。

在决策分析中,我们常常需要对不确定的因素进行评估。

三角模糊数可以用来描述这些不确定因素的模糊程度。

通过对模糊数的运算,我们可以得到更准确的评估结果。

例如,假设我们要评估某个产品的市场需求量。

由于市场需求量受到多个因素的影响,我们无法确定一个确切的数值。

这时,我们可以使用三角模糊数来描述市场需求量的不确定性。

我们可以通过调查和分析市场数据,得到市场需求量的模糊数。

假设市场需求量的中心值为1000,左侧模糊值为800,右侧模糊值为1200。

这表示我们对市场需求量的期望值是1000,同时我们相信市场需求量在800到1200之间。

模糊数学方法

模糊数学方法

例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位:cm)表示人的身高, 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为
A(x) x 140 190 140
A(x) x 100 200 100
也可用Zadeh表示法:
A 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法:
A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外,还可以在U上建立一个“矮个子”、 “中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊 子集.
定义模糊线性规划(2)中目标函数的隶属函数

Gi (x)
f0 t0(x) , d0
f0 d0 t0(x) f0.
由Gi (x)定义可知,∈[0, 1],
Gi (x)≥ t0 (x) + d0≤ f0,
要求模糊线性规划(2)的模糊最优解x*,则要 求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能 达到最大,即求x* 满足
Ai (x)≥及G(x)≥, 且使达到最大值,相当于求解普通线性规划问题
max
(4)
s.t.tdx0i(x)0did0ti
f0 (x)
i
bi
=
1, 2, …, m.
di di
设普通线性规划(4)的最优解为x*, , 则
模糊线性规划(2)的模糊最优解为x*, 最优值 为t0 (x*).
所以,求解模糊线性规划(2)相当于求 解普通线性规划(1), (3), (4).

模糊数学感官评价法

模糊数学感官评价法

模糊数学感官评价法
"模糊数学感官评价法"通常指的是在模糊数学(Fuzzy Mathematics)框架下进行感官评价的方法。

模糊数学是一种处理不确定性和模糊性问题的数学工具,常用于处理那些难以精确定义的概念和变量。

感官评价是一种主观性的评估方法,常用于处理语言中的模糊性。

在模糊数学感官评价法中,人们利用模糊集合、模糊逻辑等概念,将主观感受和评价转化为数学表达,以更好地处理不确定性。

具体而言,这种方法可能包括以下步骤:
1.建立模糊集合:将主观感受或评价转化为模糊集合,例如“非常满意”、“满意”、“一般”、“不满意”、“非常不满意”等。

2.模糊逻辑运算:利用模糊逻辑运算规则,对模糊集合进行交、并、补等运算,以获得更准确的模糊评价结果。

3.模糊推理:基于已有的模糊规则,进行模糊推理,得出系统的模糊输出。

4.解模糊:将模糊输出转化为具体的数值或决策,以便做出相应的行动或决策。

这种方法常用于处理模糊的、主观性强的信息,例如产品质量的评价、服务满意度的评估等。

通过模糊数学感官评价法,可以更好地处理人类感知和认知中的模糊性,使得数学模型更贴近实际情况。

模糊数学方法

模糊数学方法
数为 R:U V 0,1 , ( x, y ) R ( x, y )
~
,则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~

( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注:由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集,因此,模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵:设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地,当R为模糊相似矩阵时,必存在一个最小的自然数
k (k
,使得 t ( R) R k ,对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验,可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率= n
事实上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定, 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度,即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法,它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上,则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ,则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换,即令
xij xij min {xij }
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16 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
2.模糊等价与模糊相似
定义 6
若模糊关系 R F (U V ) ,且满足:
~
~ (1) 自反性: R ( x, x ) 1;
(3) 传递性: R R R
~ ~
(2) 对称性: R ( x, y ) R ( y, x) ;
特别地,如果 rij {0,1}(i 1,2,, m; j 1,2,, n) ,则称 R 为 布尔(Bool)矩阵.
当 m 1 , 或 n 1 时 , 则 相 应 的 R (r1 , r2 ,, rn ) 和
R (r1 , r2 ,, rm )T ,则分别称为模糊行向量和模糊列向量.
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
假设做 n 次模糊统计试验,则:
x0 A*的次数 x0 对 A 的隶属频率= n
事实上,当 n 不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频 率的稳定值称为 x0 对 A 的隶属度,即
x0 A 的次数 A ( x0 ) lim n n
c
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
它们的隶属函数分别为
AB ( x) A ( x) B ( x) max( A ( x), B ( x))
AB ( x) A ( x) B ( x) min( A ( x), B ( x))
则称 R 是 U 上的一个模糊等价关系,其隶属度函数 R ( x, y )
~ ~
~
~ 表示 ( x, y ) 的相关程度.
~
当论域为 U {x1 , x2 ,, xn } 时, U 上的模糊等价关系可表 示为 n n 阶模糊等价矩阵 R (rij ) nn .
17 2014年10月23日
1, rij i 1,2, , m (1) 如果令 rij ( ) 0 , r j 1 , 2 , , n ij 则称 R rij ( ) 为 R 的 -截矩阵. mn




对任意的 [0,1] , -截矩阵是布尔矩阵.
19 2014年10月23日
3. λ-截矩阵与传递矩阵
定义 9 设 R 是 n n 阶的模糊矩阵,如果满足 R R R2 R 则称 R 为模糊传递矩阵.
将包含 R 的最小的模糊传递矩阵称为 R 的传递包,记为 t ( R) .
n (k ) 对任意 R (rij ) nn ,则 t ( R) R rij 。 k 1 nn k 1 特别地,当 R 为模糊相似矩阵时,则存在一个最小的自然数 k (k n) ,使得 t ( R) R k ,对任意自然数 l k 都有 R l R k , 即 t ( R) 为模糊等价矩阵.
3 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
一般地,对于论域 U 的每一个元素 x U 和某一 个子集(普通集) A U ,有 x A ,或 x A ,二 者有且仅有一个成立.
对于子集 A 定义映射
1, x A A : U 0,1 , 即 A ( x) 0, x A
对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵 R ,
~
则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵.
18 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
3. λ-截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij ) mn 为模糊矩阵,对任意的 [0,1] .
1, rij i 1,2, , m (2) 如果令 rij ( ) 0 , r j 1 , 2 , , n ij 则称 R rij ( ) 为 R 的 -强截矩阵. mn
第14章 模糊数学方法
模糊数学的基本概念;
模糊关系与模糊矩阵; 模糊聚类分析法;
模糊模式识别法;
模糊综合评判法; 案例分析:中介服务机构信誉评估。
1 2014年10月23日
14.1模糊数学的基本概念
1.问题的引入 在社会实践中,模糊概念或现象无处不在 . 如 好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与
(1) 论域 U ; (2) U 中的一个固定元素 x0 ;
* (3) U 中的一个随机变动的集合 A (普通集) ;
* * (4) U 中的一个以 A 作为弹性边界的模糊集 A ,对 A 的
变动起着制约作用.其中 x0 A* ,或 x0 A* ,致使 x0 对 A 的隶 属关系是不确定的.
11 2014年10月23日
则称之为 A 的特征函数,集合 A 可由特征函数唯一确定.
4 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
论域 U 上的模糊集 A 是指:对任意 x U 总以某个程度 A ( [0,1]) 属于 A ,而非 x A 或 x A .
定义 1 设 U 是一个论域,如果给定了一个映射 A :
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (2)模糊集的表示法
A 是 U 上的任一个模糊集, 对论域 U {x1 , x2 ,, xn } ,
其隶属度为 A ( xi ) Zadeh 表示法: A
i 1 n
(i 1,2,, n) ,则有 A ( xi ) A ( x1 ) A ( x2 )
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域 U 可以有多个不同的模糊集,记
U 上的模糊集的全体为 F (U ) ,即
F (U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域 U 上的模糊幂集,显然 F (U ) 是一个 普通集合,且 U F (U ) .
2.模糊等价与模糊相似
定义 7 设论域为 U {x1 , x2 ,, xn } , I 为单位矩阵,如果模糊
矩阵 R (rij ) nn 满足:
(1) 自反性: I R( rii 1, i 1,2,, n) ; (2) 对称性: RT R( rij rji ; i, j 1,2,, n) ; (3)传递性: R R R . 则称 R 为模糊等价矩阵.
通常将所讨论的对象限制在一定的范围内,称所讨 论的对象全体构成的集合为问题的论域,记为 U 。并总 假设问题的论域是非空的.
设 U 是论域,则 U 的所有子集组成的集合称为论域 U 的 幂集,记作 F (U ) .
例如: U {a, b, c} ,则
F (U ) ,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c}{a, b, c}.
xi x1 x2
A ( xn ) xn
这里“
A ( xi )
xi
”不是分数, “+”也不表示求和,只是
符号,它表示点 x i 对模糊集 A 的隶属度是 A ( xi ) .
7 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2.基本概念---模糊集与隶属函数 (2)模糊集的表示法
A ( x) 1 A ( x)
c
其中“ ”和“ ”分别表示取大算子和取小算子.并和交 运算可以直接推广到任意有限的情况,同时也满足普通集的 交换律、结合律、分配律等运算。
10 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
模糊统计方法:一种客观方法.在模糊统计试验的基础上根据隶属 度的客观存在性来确定的.模糊统计试验必须包含下面的四个要素:
序偶表示法:
A ( x1 , A ( x1 )),( x2 , A ( x2 )),, ( xn , A ( xn ))
A A ( x1 ), A ( x2 ),, A ( xn )
向量表示法:
对论域 U 为无限集的,则 U 上的模糊集 A 可以表示为
A
A ( x)
x
U
,这里“

”不是积分号, “
A ( x)
x
”也不是
分数.
8 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (3)模糊集的运算
定义 2 设模糊集 A, B F (U ) ,其隶属函数为 A ( x), B ( x) , (1) 若 x U , 有 B ( x) A ( x) , 则称 A 包含 B , 记 B A;
~
~
设 U {x1 , x2 ,, xm },V { y1 , y2 ,, yn } ,R 是由 U 到V 的
R ( xi , y j ) rij [0,1](i 1,2,, m; j 1,2,, n) ,记 R (rij ) mn ,
则 R 称为模糊矩阵.
具体见书上表19-1(第325页)
13 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少 ”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等 偏向小的程度的模糊现象. 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多 ”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等 偏向大的程度的模糊现象. 中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适 中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不 太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊 现象. 14 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
1.模糊关系与模糊矩阵的概念
定义 4 设论域 U ,V , 则称乘积空间U V 上的一个模糊子集 R F (U V ) 为从 U 到 V 的模糊关系.如果 R 的隶属函数为 ~ ~ R : U V [0,1]
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