模糊数学方法

重、高与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美与丑、
黑与白、早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与 密等等． 如何对与这些概念有关问题给出定量分析呢？
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模
糊性的量变化规律的一种数学方法．
2 2014年10月23日
14.1模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
~
~
设 U {x1 , x2 ,, xm },V { y1 , y2 ,, yn } ，R 是由 U 到V 的
R ( xi , y j ) rij [0,1](i 1,2,, m; j 1,2,, n) ，记 R (rij ) mn ，
则 R 称为模糊矩阵．
序偶表示法：
A ( x1 , A ( x1 )),( x2 , A ( x2 )),, ( xn , A ( xn ))
A A ( x1 ), A ( x2 ),, A ( xn )
向量表示法：
对论域 U 为无限集的，则 U 上的模糊集 A 可以表示为
A
*
12 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---指派方法 如果模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属 函数称为模糊分布．
指派方法:根据问题的性质主观地选用某些形式的 模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的 参数．
常用的模糊分布：矩形分布、梯形分布、正态 分布、k次抛物线型分布、Γ型分布、柯西型分布等.
A ( x) 1 A ( x)
c
其中“ ”和“ ”分别表示取大算子和取小算子．并和交 运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的 交换律、结合律、分配律等运算。
10 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
模糊统计方法：一种客观方法.在模糊统计试验的基础上根据隶属 度的客观存在性来确定的．模糊统计试验必须包含下面的四个要素：
A ( x)
x
U
，这里“

”不是积分号， “
A ( x)
x
”也不是
分数．
8 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 （３）模糊集的运算
定义 2 设模糊集 A, B F (U ) ，其隶属函数为 A ( x), B ( x) , (1) 若 x U ， 有 B ( x) A ( x) ， 则称 A 包含 B ， 记 B A；
x A ( x) [0源自文库1]
则就确定了一个模糊集 A ，其映射 A 称为模糊集 A 的隶属函 数， A ( x) 称为 x 对 A 的隶属度． 使 A ( x) 0.5 的点 x0 称为 A 的过渡点，即是模糊性最大的点．
5 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法
假设做 n 次模糊统计试验，则：
x0 A*的次数 x0 对 A 的隶属频率＝ n
事实上，当 n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频 率的稳定值称为 x0 对 A 的隶属度，即
x0 A 的次数 A ( x0 ) lim n n
(1) 论域 U ； (2) U 中的一个固定元素 x0 ；
* (3) U 中的一个随机变动的集合 A （普通集） ；
* * (4) U 中的一个以 A 作为弹性边界的模糊集 A ，对 A 的
变动起着制约作用．其中 x0 A* ，或 x0 A* ，致使 x0 对 A 的隶 属关系是不确定的．
11 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
1.模糊关系与模糊矩阵的概念
定义 4 设论域 U ,V ， 则称乘积空间U V 上的一个模糊子集 R F (U V ) 为从 U 到 V 的模糊关系．如果 R 的隶属函数为 ~ ~ R : U V [0,1]
~
( x, y ) R ( x, y )
3 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
一般地，对于论域 U 的每一个元素 x U 和某一 个子集（普通集） A U ，有 x A ，或 x A ，二 者有且仅有一个成立．
对于子集 A 定义映射
1, x A A : U 0,1 ， 即 A ( x) 0, x A
19 2014年10月23日
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 9 设 R 是 n n 阶的模糊矩阵，如果满足 R R R2 R 则称 R 为模糊传递矩阵．
将包含 R 的最小的模糊传递矩阵称为 R 的传递包，记为 t ( R) ．
n (k ) 对任意 R (rij ) nn ，则 t ( R) R rij 。 k 1 nn k 1 特别地，当 R 为模糊相似矩阵时，则存在一个最小的自然数 k (k n) ，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 R l R k ， 即 t ( R) 为模糊等价矩阵．
xi x1 x2
A ( xn ) xn
这里“
A ( xi )
xi
”不是分数， “＋”也不表示求和，只是
符号，它表示点 x i 对模糊集 A 的隶属度是 A ( xi ) ．
7 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2.基本概念---模糊集与隶属函数 （2）模糊集的表示法
则称 R 是 U 上的一个模糊等价关系，其隶属度函数 R ( x, y )
~ ~
~
~ 表示 ( x, y ) 的相关程度．
~
当论域为 U {x1 , x2 ,, xn } 时， U 上的模糊等价关系可表 示为 n n 阶模糊等价矩阵 R (rij ) nn ．
17 2014年10月23日
c
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
它们的隶属函数分别为
AB ( x) A ( x) B ( x) max( A ( x), B ( x))
AB ( x) A ( x) B ( x) min( A ( x), B ( x))
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域 U 可以有多个不同的模糊集，记
U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F (U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域 U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且 U F (U ) ．
具体见书上表19-1（第325页）
13 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
3.隶属函数的确定方法 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少 ”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等 偏向小的程度的模糊现象． 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多 ”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等 偏向大的程度的模糊现象． 中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适 中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不 太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊 现象． 14 2014年10月23日
1, rij i 1,2, , m (1) 如果令 rij ( ) 0 , r j 1 , 2 , , n ij 则称 R rij ( ) 为 R 的 －截矩阵． mn




对任意的 [0,1] ， －截矩阵是布尔矩阵．
16 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
2.模糊等价与模糊相似
定义 6
若模糊关系 R F (U V ) ，且满足：
~
~ (1) 自反性： R ( x, x ) 1；
(3) 传递性： R R R
~ ~
(2) 对称性： R ( x, y ) R ( y, x) ；
6
2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 （2）模糊集的表示法
A 是 U 上的任一个模糊集， 对论域 U {x1 , x2 ,, xn } ，
其隶属度为 A ( xi ) Zadeh 表示法： A
i 1 n
(i 1,2,, n) ，则有 A ( xi ) A ( x1 ) A ( x2 )
(2) 若 A B 且 B A ，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F (U ) ，其隶属函数为 A ( x), B ( x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 A 为 A 的补集 或余集。
9 2014年10月23日
第14章 模糊数学方法
模糊数学的基本概念；
模糊关系与模糊矩阵； 模糊聚类分析法；
模糊模式识别法；
模糊综合评判法； 案例分析：中介服务机构信誉评估。
1 2014年10月23日
14.1模糊数学的基本概念
1.问题的引入 在社会实践中，模糊概念或现象无处不在 . 如 好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与
~
则称隶属度 R ( x, y ) 为 ( x, y ) 关于模糊关系 R 的相关程度．
~
~
由于模糊关系是 U V 上的一个模糊子集，因此，同样具有模 糊集的运算及性质．
15 2014年10月23日
1.模糊关系与模糊矩阵的概念
~ 模糊关系，其隶属函数为 R ( x, y ) ，对任意的 ( xi , y j ) U V 有
特别地，如果 rij {0,1}(i 1,2,, m; j 1,2,, n) ，则称 R 为 布尔(Bool)矩阵．
当 m 1 ， 或 n 1 时 ， 则 相 应 的 R (r1 , r2 ,, rn ) 和
R (r1 , r2 ,, rm )T ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量．
则称之为 A 的特征函数，集合 A 可由特征函数唯一确定．
4 2014年10月23日
14.1 模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数
论域 U 上的模糊集 A 是指：对任意 x U 总以某个程度 A ( [0,1]) 属于 A ，而非 x A 或 x A ．
定义 1 设 U 是一个论域，如果给定了一个映射 A : U [0,1]
对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵 R ，
~
则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵．
18 2014年10月23日
14.2 模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij ) mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
1, rij i 1,2, , m (2) 如果令 rij ( ) 0 , r j 1 , 2 , , n ij 则称 R rij ( ) 为 R 的 －强截矩阵． mn
2.模糊等价与模糊相似
定义 7 设论域为 U {x1 , x2 ,, xn } ， I 为单位矩阵，如果模糊
矩阵 R (rij ) nn 满足：
(1) 自反性： I R( rii 1, i 1,2,, n) ； (2) 对称性： RT R( rij rji ; i, j 1,2,, n) ； (3)传递性： R R R ． 则称 R 为模糊等价矩阵．
通常将所讨论的对象限制在一定的范围内，称所讨 论的对象全体构成的集合为问题的论域，记为 U 。并总 假设问题的论域是非空的．
设 U 是论域，则 U 的所有子集组成的集合称为论域 U 的 幂集，记作 F (U ) ．
例如： U {a, b, c} ，则
F (U ) ,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c}{a, b, c}．