安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题
安徽师大附中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
＝－
１２ａ２
＋ｂ２
＋ａｂ＝１００
……………………… ８分
又由（１）知 ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ＝ａｂ即 ａ２ ＋ｂ２ －４８＝ａｂ
所以 ａｂ＝２６，
所以
Ｓ＝
１ ２ａｂｓｉｎＣ＝Βιβλιοθήκη １ ２×２６×槡２３
＝１３２槡３
……………………………………
１０分
２０．（本小题满分 １０分）
（１）由已知可得２ａｎｎ＋＋１１
×０．１＋２９０×０．０５ ………………………………………………………………… ９分 —ｘ＝２２５．６ ………………………………………………………………………… １０分
１９（本小题满分 １０分）
（１）由正弦定理得ａｂ－ｃ＝ａａ－＋ｂｃ，化简得 ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ＝ａｂ．………………………… ２分
在
△ＰＭＮ中，由正弦定理得，ｓｉｎ∠ＭＮＭＰＮ
＝
ＰＭ
ｓｉｎ（１２０°－α）
＝ ＰＮ ｓｉｎα
＝４
所以 ＰＭ ＝４ｓｉｎ（１２０°－α），ＰＮ ＝４ｓｉｎα ………………………………………… ５分
所以 ＰＭ ＋ＰＮ ＝４ｓｉｎ（１２０°－α）＋４ｓｉｎα ＝４（槡２３ｃｏｓα＋１ ２ｓｉｎα）＋４ｓｉｎα
２１．（本小题满分 １０分）
（１）在 △ＡＭＮ中，由余弦定理得，
ＭＮ２ ＝ＡＭ２ ＋ＡＮ２ －２ＡＭ·ＡＮｃｏｓ１２０°＝２２ ＋２２ －２×２×２×（－１） ＝１２， ２
所以 ＭＮ ＝２槡３千米 ……………………………………………………………… ３分
（２）设 ∠ＰＭＮ ＝α，因为 ∠ＭＰＮ ＝６０°，所以 ∠ＰＮＭ ＝１２０°－α，
ｆ（ｘ） ＜０即（ｘ－２ａ）［ｘ－（ａ＋１）］ ＜０ ………………………………………… ５分
2019届安徽师范大学附属中学高三下学期高考前适应性检测数学(文)试题(解析版)
2019届安徽师范大学附属中学高三下学期高考前适应性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合A {x |y ==，集合B {x |x 2}=≥，A B (⋂= ) A ．[]0,3 B ．[]2,3C ．[)2,∞+D ．[)3,∞+ 【答案】B【解析】化简集合A ，根据交集的定义写出A B ⋂即可． 【详解】集合A {x |y {x |3x 0}{x |x 3}===-≥=≤， 集合B {x |x 2}=≥，则[]A B {x |2x 3}2,3⋂=≤≤=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．2．已知i 为虚数单位，复数()3z i ai =-，且5z =，则实数a =（ ） A ．-4 B ．4C ．4±D ．2【答案】C【解析】先利用复数乘法的运算法则化简复数z ，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】复数()33z i ai a i =-=+，且5z =，5=，解得4a =±，故选C. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．．已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（ ） A ．（5，30） B ．（4，30）C ．（5，35）D ．（5，36）【答案】D【解析】试题分析：345672*********5,3655x y ++++++++====Q v v ，所以中心点为（5，36），回归方程过中心点 【考点】回归方程4．已知l 、m 、n 表示直线，α、β表示平面，下列四个命题中正确的为( ) A ．//l α，//m α，则//l m B ．m α⊂，//n α，则//n m C ．l α⊂，//m l ，则//m αD ．若m ，n 为异面直线，则过空间任意点一定可以作一条直线l ，使得l 和m ，n 都垂直 【答案】D【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】对于A ，由//l α，//m α，得//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，故A 错误； 对于B ，由m α⊂，//n α，得//n m 或n 与m 异面，故B 错误； 对于C ，由l α⊂，//m l ，得//m α或m α⊂，故C 错误； 对于D ，若m ，n 为异面直线，则m ，n 必存在一条公垂线， 过任意一点P 作公垂线的平行线l ，则l m ⊥，l n ⊥，故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了直线与平面平行的性质、直线与直线的位置关系，属于基础题.5．将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到关于y 轴对称的图象，则ϕ的最小值为( )A ．12πB ．6π C ．4π D ．512π 【答案】A【解析】利用辅助角公式将函数化为2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通过平移求出平移后的函数解析式，利用函数关于y 轴对称即可求出ϕ的值. 【详解】Q 函数sin 23cos 2y x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数sin 23cos 2y x x =+的图象沿x 轴向左平移(0)ϕϕ>个单位后， 得到函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，函数关于y 轴对称， ()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，()212k k Z ππϕ∴=+∈， 当0k =时，12πϕ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了辅助角公式、三角函数的平移变换、以及三角函数的对称性，属于基础题.6．函数()()2xf x x tx e =+（实数t 为常数，且0t <）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项. 【详解】由f （x ）=0得x 2+tx=0，得x=0或x=-t ，即函数f （x ）有两个零点，排除A ，C ， 函数的导数f′（x ）=（2x+t ）e x +（x 2+tx ）e x =[x 2+（t+2）x+t]e x ，当x→-∞时，f′（x ）＞0，即在x 轴最左侧，函数f （x ）为增函数，排除D ， 故选B ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率等于（ ）A ．B 1C ．D 2+【答案】B【解析】由已知可得22222220202101b c b ac c a ac e e e a=⇒-=⇒--=⇒--=⇒= ，故选B.8．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则11x y+的最小值是( )A ．8B ．C ．4+D ．2+【答案】C【解析】由已知化简可得：31x y +=，从而()1111334y y y x x y x x x y⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求解. 【详解】Q 0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，∴31x y +=，则()1113344231y xx y x x x yy y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3y xx y =且31x y +=，即3133,x y --==时取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，同时考查了对数的运算性质，属于基础题. 9．条件:2p x ≠或3y ≠，条件:5q x y +≠，p 是q （ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】通过举反例，判断出p 成立推不出q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】若p 成立，例如当4x =，1y =时，q 不成立，即p q ⇒不成立， 反之，若2x =且3y =，则5x y +=是真命题，所以若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠是真命题，即q p ⇒成立， 所以p 是q 的必要而不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立，属于中档题． 10．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．3210D ．4010【答案】C【解析】将三视图还原，即可求组合体体积 【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为2211132π24π24π2323⨯⨯+⨯⨯⨯=，利用张衡的结论可得2π53210π10V 168，，=∴==故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题 11．已知点,曲线恒过定点曲线上的动点且的最小值为,则实数（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：曲线C ：恒过点B ，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a ＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D ．【考点】平面向量数量积的运算．12．设向量a r ，b r ，c r 满足2a b ==r r ，2,,60a b a c b c ⋅=-〈--〉=︒r r r r r r ，则c r 的最大值等于( ) A ．4 B ．2C ．2D ．1【答案】A【解析】首先利用向量的数量积可得向量a r 与b r 的夹角为120o，令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，利用向量的减法可得120AOB ∠=o ，60ACB ∠=o ，从而可得四边形OACB有外接圆，c r的最大值为四边形OACB 的外接圆直径，再利用正弦定理即可求解. 【详解】因为2a b ==r r ，2a b ⋅=-r r ，所以向量a r与b r的夹角为120o ，如图，令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r， 则CA a c =-u u u r r r ，CB b c =-u u u r r r，120AOB ∠=o ,由,60a c b c 〈--〉=︒rrr r，得60ACB ∠=o ,所以180∠+∠=o AOB ACB ，所以四边形OACB 有外接圆，c OC =r u u u r，所以OC u u u r 的最大值即为四边形OACB 的外接圆直径，因为2OA OB ==，120AOB ∠=o ， 所以由余弦定理得23AB =，设四边形OACB 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得24sin ABr AOB==∠，所以c r的最大值为4. 故选：A 【点睛】本题考查了向量的数量积求夹角、向量的减法、正弦定理求外接圆半径，属于中档题.二、填空题13．已知函数f （x-2）=x 6x,x 22,x 2->⎧⎨≤⎩，则f （2）=______．【答案】2【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】由分段函数得f （2）=f （4-2）=6-4=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.14．设变量x ，y 满足约束条件53151530x y y x x y x +≤⎧⎪≤+⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩，则目标函数35z x y =+的最大值为________. 【答案】17【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最大值. 【详解】由35z x y =+得355z y x =-+，平移直线355z y x =-+， 由图像可知当直线355zy x =-+经过点A 时，直线355zy x =-+的截距最大，此时z 最大，由15315y x x y =+⎧⎨+=⎩，解得3252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即35,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 35351722z =⨯+⨯=. 故答案为：17 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.15．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC V 的形状是_______．【答案】等边三角形【解析】由222b c a bc +=+和余弦定理可得3A π=，由2sin sin sin B C A ⋅=得2bc a =，然后将222b c a bc +=+化为()20b c -=即可. 【详解】因为222b c a bc +=+所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈ 所以3A π=因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2bc a = 所以222b c bc +=，即()20b c -=，所以b c = 所以B C =，因为3A π=，A B C π++=所以3B C π==所以ABC V 是等边三角形 故答案为：等边三角形 【点睛】本题考查的是用正余弦定理判断三角形的形状，较为典型. 16．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=，且当[]1?0x ，∈-时，()2f x x =，若在区间[]1?3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】()3?5， 【解析】试题分析：∵偶函数()f x 满足1(1)()f x f x -=且当2[1,0]f ()x x x ∈-=时，，1(2)(11)()(1)f x f x f x f x ∴-=--==-，∴函数()f x 周期为2，在区间[1,3]-内函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点等价于()f x 图象与()log 2a y x =+在区间[1,3]-内有3个交点，当01a <<时，函数图象无交点，数形结合可得1a >且()log 21a x +≤，解得()3? 5，，故答案为()3? 5.，【考点】函数的零点.【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0g x =，变为两个函数()y f x =图象与()log 2a y x =+的图像的交点个数问题，先画出()y f x =的图象，然后再画出()log 2a y x =+交点个数即为()g x 的零点个数.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，11a =-，前12项和12186S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对所有*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）34n a n =-；（2）167m ≥【解析】（1）根据等差数列{}n a 中，11a =-，前12项和12186S =，求出公差，可求数列{}n a 的通项公式.（2）把数列{}n a 的通项公式代入12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明数列{}n b 是等比数列，根据等比数列求和公式求得n T ，求n T 的最大值，从而可求出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1121,186a S =-=Q ，1211211122dS a ⨯∴=+， 即1861266d =-+，3d ∴=，所以数列{}n a 的通项公式()11334n a n n =-+-⨯=-.（2）12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，34n a n =-， 3412n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，Q 当2n ≥时，311128n n b b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 是等比数列，11122b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比18q =，1218161161178718n nn T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==⨯-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-()n N *∈， 又不等式n T m <，对所有*N n ∈恒成立， 所以167m ≥. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 和项公式、等比数列的前n 和项公式、数列极限，不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.18．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2）105【解析】（1）由AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得AF ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =，证明//GE BF 且GE BF =，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ，则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，求解三角形即可得出答案. 【详解】（1）证明：Q 四边形ADEF 为正方形，∴AF AD ⊥，Q 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =，∴AF ⊥平面ABCD ，则AF CD ⊥.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =， 则//BG AD 且BG AD =，∴//BG EF 且BG EF =，则四边形BGEF 为平行四边形， 则//GE BF 且GE BF =， 由1AB AF ==，90BAF ∠=︒， 可得2GE BF ==，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ， 则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，在Rt DGC △中，求得5GH =， 105sin 2GH GEH GE ∴∠===∴直线BF 与平面CDE 10.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表. 质量指标Y [)9.4,9.8[]9.8,10.2(]10.2,10.6频数82416一年内所需维护次数 2 01（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8?10.2，内的概率； （3）已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 【答案】（1）1007．；（2）15；（3）该服务值得购买 【解析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y 的平均值指标．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y 在[9.8，10.2]内的有3件，记为A 1，A 2，A 3，指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为B 1，B 2，指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，由此能求出指标Y 都在[9.8，10.2]内的概率．（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，由此能求出结果． 【详解】（1）指标Y 的平均值＝13296101041007666．．．⨯+⨯+⨯≈ （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[9.4，9.8）内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为12B B 、：指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ．从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个()12,A A 、()13,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()1,A C 、()23,A A 、()21,A B 、()22,A B 、()2,A C 、()31,A B 、()32,A B 、()3,A C 、()12,B B 、()1,B C 、()2,B C .其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()12,A A 、()13,A A 、()23,A A 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==. （3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元／件，有8件产品一年内的维护费用为600元／件，此时平均每件产品的消费费用为()14816300860020048x x η=⨯+⨯+⨯=+元； 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出83002400⨯=元，平均每件产品的消费费用()148100830015048x x ξ⎡⎤=⨯++⨯=+⎣⎦元. 所以该服务值得消费者购买. 【点睛】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20．抛物线()220y px p =>上的点p 到点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线0x =的距离之差为1，过点(),0M p 的直线l 交抛物线于A B ，两点. （1）求抛物线的方程；（2）若ABO n 的面积为l 的方程.【答案】⑴24y x =；⑵2y x =-或2y x =--； 【解析】（1）根据题中的条件，列出相应的式子，求得对应的参数，求得抛物线的方程； （2）先分类讨论，分直线的斜率不存在与存在两种情况，设出直线的方程，利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设()00,P x y ，由定义知02p PF x =+，0012p x x ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，2p ∴=，故抛物线方程为24y x =；（2）设()()1122,,A x y B x y ，，由（1）知()20M ，若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =，所以ABO n 的面积为l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=()222161160k k =+->n所以12244x x k +=+，124x x =，所以AB =，点O 到直线l的距离为d ==1k =± 直线l 的方程为2y x =-或2y x =--. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，三角形的面积，正确应用公式是解题的关键.21．已知()1x f x e ax a =-+-，a R ∈.（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 的切线方程；（2）若对任意[,)x a ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()e 1y x =-；（2）0a ≥【解析】（1）当1a =时，利用()f x 的导数与直线的点斜式可求出()f x 在(1,(1))f 的切线方程.（2）若对任意[,)x a ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，转换成()xf x e a '=-，x a ≥；分类讨论a 和函数的最值，可求出a 的取值范围. 【详解】已知()1xf x e ax a =-+-，a R ∈.（1）当1a =时，()x f x e x =-，()1xf x e '=-所以()11f e k '=-=，()11f e =-， 所以()f x 在(1,(1))f 的切线方程：()()()111y e e x --=--，即()e 1y x =-.（2）若对任意[,)x a ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则：()xf x e a '=-，x a ≥；当0a <时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，()()22min 10a f x f a e a a a a ==-+-<-+<，（舍去）当0a =时，()0f x '>，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增；()()()min 00f x f a f ===，所以()0f x ≥恒成立，所以0a =；当0a >时，()0f x '=，解得：ln x a =， 所以函数()f x 在(],ln a -∞上单调递减， 函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增； 令()ln a a a ϕ=-，()0a >，()111a a a aϕ-'=-=， 所以()a ϕ在()0,1上单调递减，函数()a ϕ在()1,+∞上单调递增；()()min 110a ϕϕ==>；所以()ln ,0a a a >>；所以函数()f x 在[),a +∞上单调递增；()()()2min 1;0a f x f a e a a a ==-+->， ()()21;0a f a e a a '=-+>， ()20a f a e ''=->时，ln 2a >； ()20a f a e ''=-<时，0ln 2a <<，所以()f a '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln2min ln 22ln 2132ln 2f a f e ''==-+=-，因为34e >，所以()0f a '>对于0a >恒成立， 所以函数()f a 在()0,∞+上单调递增；()()00f a f >=；所以()0f x ≥恒成立； 综上可得：0a ≥ 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分类与整合的思想，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x xy y=''⎧⎨=⎩后得到曲线2C ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=.（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程； （2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）曲线2C 以原点为圆心，半径为2的圆；2ρ= （2）min 2d =【解析】（1）曲线2C 的参数方程2cos 2sin x y αα='='⎧⎨⎩，2C 的参数方程消去参数α，能求出2C 的普通方程，2C 以原点为圆心，半径为2的圆，由此能求出2C 的极坐标方程. （2）解法一：直线l 的普通方程为100x y --=，由圆2C 的半径为2，且圆心到直线的距离d ==2C 与直线l 相离，由此能求出点M 到直线l 的距离的最小值；解法二：由直线的极坐标方程求出直线l 的普通方程为100x y --=，曲线2C 上的点M 到直线l的距离d ==，由此能求出点M 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）Q 曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x xy y =''⎧⎨=⎩后得到曲线2C ，∴曲线2C 的参数方程2cos 2sin x y αα='='⎧⎨⎩，∴2C 的参数方程消去参数α，所以2C 的普通方程为224x y ''+=，∴曲线2C 以原点为圆心，半径为2的圆， ∴2C 的极坐标为24ρ=，即2ρ=.（2）解法一：Q 直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=，∴直线l 的普通方程为100x y --=，因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l的距离d ==因为2>，所以圆2C 与直线l 相离，所以圆2C 上的点M 到直线l的距离的最小值2d r -=-. 解法二：由直线的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--= 则直线l 的普通方程为100x y --=， 曲线2C 上的点M 到直线l 的距离d ==， 当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，即()24k k Z παπ=-∈时， d取得最小值为min 2d ==.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程的应用、点到直线的距离公式，属于基础题.。
【2020-2021自招】安徽师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年安徽师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中考查数学试题
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月期中考查数学试题一、单选题1．已知集合{4}A xx =<∣，集合{}2560B x x x =-->∣，则A B = （）A ．()4,6B ．()4,2-C ．()1,4-D ．()4,1--2．“1x =”是“42540x x -+=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()y f x =的定义域是[]22-,，函数()()1f x g x x+=，则函数()y g x =的定义域是（）A ．[)(]3,00,1-⋃B ．[]3,1-C ．[]1,3D ．(]0,34．函数()222155y x x x =+>-的最小值为（）A ．2B ．5C ．6D ．75．若幂函数()f x的图象经过点12⎫⎪⎭，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．方程()4f x =的实根为2±C ．()f x 的值域为()0,1D ．()f x 为偶函数6．已知定义域为[4,22]a a --的奇函数3()202352f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定7．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．0a <C ．32a -<≤-D ．32a --≤≤8．已知函数op ，对于任意实数[],x ab ∈，当0a x b ≤≤时，记()()0f x f x -的最大值为[]()0,a b D x .若()22,021,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，则[](),21a a D +-的取值范围是（）A ．[]1,4B ．[]2,4C ．()2,4D ．91,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数相等的是（）A ．()(),f x x g x =B ．()()f x g x ==C ．()()32,x f x x g x x==D ．()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩10．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合12,0,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，()(){}10B x ax x a =-+=，若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则实数a 的取值可以是（）A ．-2B ．12-C ．0D ．111．关于x 的不等式22210x x a -+-≤的解集，下列说法正确的是（）A ．0a =时，解集为∅B ．0a >时，解集为{}11x a x a -≤≤+C ．0a ≠时，解集为{}11x a x a -≤≤+D ．1a <-时，原不等式在02x ≤≤时恒成立12．若a ，b 均为正数，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为19B ．12a b+的最小值为9C ．224a b +的最小值为12D ．()()221a b ++的最大值为4三、填空题13．命题：“2R,210x x x ∃∈++≤”的否定是．14．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x =.15．若不等式2210x ax -+≥对[]2,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为.16．函数())1||xf x x x =∈+R ，给出下列四个结论：①()f x 的值域是(1,1)-；②12,x x ∃∈R 且12x x <，使得()()12f x f x >；③任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭；④规定()11()(),()()n n f x f x f x f f x +==，其中n *∈N ，则1011212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中，所有正确结论的序号是．四、解答题17．计算．(1)1630.2517886-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；．18．设集合{}34A x x =-≤≤，{}132B x m x m =-≤≤-.(1)当3m =时，求A B ⋂；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.19．（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()2x bf x x a +=+（,a b 为常数）是定义在[]1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)若存在[]1,1x ∈-，使()2522f x k k <--成立，求实数k 的取值范围．21．已知()f x 定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()2f x y f x f y +=+-．当0x <时，()2f x >，且()23f -=．(1)求()2f 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明；(3)若对][3,3,5,7x m ∀∈-∀∈⎡⎤⎣⎦，都有()()22121f x f t t m t t --⎡⎤-+-+≤⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知集合A 为非空数集，定义：{}{},,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈，(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S T 、（无需写计算过程）；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+(3)若集合{}02023,N ,A x x x S T φ⊆≤≤∈⋂=，记A 为集合A 中的元素个数，求A 的最大值．。
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023年自主招生考试数学试题
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023年自主招生考试数学试题一、单选题1．己知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ） A ．0，4 B ．1，5C ．1，5-D ．1-，5 2．如图，在双曲线3y x =有点M ，它的横坐标是1，过M 分别作坐标轴的平行线交双曲线(0)k y k x=<于点A ，B ，连接AB ，则AMB V 的面积为（ ）A ．256B ．21(3)6k -C ．16D ．21(3)6k + 3．如图一个扇形纸片的圆心角为90︒，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．163π-B ．43πC ．163π-D ．3π 4．若12123y z x +--==，则222x y z ++可取得的最小值为（ ） A ．3 B ．5914 C ．92 D ．65．如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y x =-+与坐标轴交于点A ，B ，点C 为OA 上一动点，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点D 作DE x P 轴，交y 轴于点E ，在直线DE 上找一点F ，使得90DCF ∠=︒，连接OF ，当OF CF +的值最小时，求点F 的坐标为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,2)D ．(3,1)6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+;③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（其中1m ≠）其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a b +的值为8．因式分解：326114x x x -++=．9．如图，矩形ABCD 中，E 是AB 上的一点，且:3:2,AE BE DA =边上有一点,18F EF =，将矩形沿着EF 翻折，使A 落在BC 上的G 处，则AB =．10．如图，已知P e 的半径是1，圆心P 在抛物线21122y x x =--上运动，当P e 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为.11．若方程2(2)(4)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m 的取值范围是.12．如图，在菱形ABCD 中，边AB=5，E ，F 分别在BC 和AD 上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE ，则BF 的长为．13．若二次函数2y x mx =-+在21x -≤≤时的最大值为3，那么m 的值是．14．如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，S △P AB =．15．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为．三、解答题16．随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； （2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．17．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且124x x -=，求m 的值．18．解关于x 的不等式(1)(1)0x ax a --+>．19．如图，已知AB 为半圆O 的直径，P 为半圆上的一个动点（不含端点），以OP OB 、为一组邻边作POBQ Y ，连接OQ AP 、，设OQ AP 、的中点分别为M 、N ，连接PM ON 、．(1)试判断四边形OMPN 的形状，并说明理由．(2)若点P 从点B 出发，以每秒15︒的速度，绕点O 在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为s t ．①是否存在这样的t ，使得点Q 落在半圆O 内？若存在，请求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．②试求：当t 为何值时，四边形OMPN 的面积取得最大值？并判断此时直线PQ 与半圆O 的位置关系（需说明理由）．20．（1）【问题发现】如图1，在Rt ABC △中，,AB AC D =为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是___________，位置关系是___________；（2）【探究证明】如图2，在Rt ABC △和Rt ADE △中，,AB AC AD AE ==，将ADE V 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在Rt BCD V 中，90BCD ∠=︒，24BC CD ==，将ACD V 绕顺时针旋转，点C 对应点E ，设旋转角CAE ∠为()0360αα︒<<︒，当点C ，D ，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段BE 的长度．21．如图，等腰ABC V 两腰,AB AC 分别交O e 于点D ，E ，点A 在O e 外，点B ，C 在O e 上（不与D ，E 重合），连结,BE DE ．已知A EBC ∠=∠，设(01)BC k k AB=<<．(1)若50A ∠=︒，求»DE的度数； (2)若23k =，求BDE ABC S S V V 的值；(3)设,,ABC ADE BEC △△△的周长分别为12,,c c c ，求证：12514c c c +<≤． 22．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点A 的坐标为（1，0），OB=OC ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB=∠ACB ，求点P 的坐标；(3)Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若QA QB -=Q 的坐标和此时△QAA '的面积．。
2018年安徽师范大学附属中学高中自主招生考试五科(语文、数学、英语、物理、化学)试题及参考答案汇总
注意事项：安徽师范大学附属中学2018年高中自主招生考试语文试卷1．本试卷试卷总分100分，考试时间80分钟。
2．答案一律用黑色钢笔或墨水笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、语言运用(共24分每题3分)1．下列词语中加点的字，每对的读音完全相同的一组是【▲】A．刹．那／古刹．累．赘／果实累累．强．弩之末／强．词夺理B．落．笔／落．寞剥削．／瘦削．不堪靡．靡之音／风靡．一时C．佣．工／佣．金攒．射／万头攒．动解．甲归田／解．囊相助D．殷．红／殷．切绰．约／绰．绰有余擢发难数．／数．典忘祖2．下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是【▲】A．这种文风承继自周作人、董桥以来中国文人隐忍的传统，抒情而不煽情，简洁凝练的句子体现的是大．方．之．家．的功底与素养。
B．七．月．流．火．，但充满热情的岂止是天气，今天我们全体住校生以火一般的热情在电视机前集体收看奥运会开幕式节目。
C．杭州第八届全国残运会的志愿者和工作人员待人和蔼亲切，不论你是健全人还是残疾人，本地人还是外地人，都等．闲．视．之．。
D．云峰社区餐厅明天将开始营业，消息传出，社区居民口．耳．相．传．。
以前他们到最近的餐厅都要步行半个多小时，现在出门走几步就能吃上饭了。
3．在下面一段话空缺处依次填入词语，最恰当的一组是【▲】读书原为自己受用，多读不能算是荣誉，少读也不能算是羞耻。
少读如果彻底，必能养成的习惯，涵泳优游，以至于变化气质；多读而不求甚解，譬如驰聘十里洋场，虽然奇珍满目，徒惹得，空手而归。
世间许多人读书只为装点门面，如暴发户炫耀家私，以多为贵。
这在治学方面是，在做人方面是趣味低劣。
A．深思熟虑心猿意马自欺欺人B．深文周纳心花意乱弄巧成拙C．深思熟虑心花意乱自欺欺人D．深文周纳心猿意马弄巧成拙4.下列语句表达没有歧义的一句是【▲】A．他身为副总经理，经常在董事长面前说总经理搞行贿，是为了能向上爬，这完全是一派胡言。
B．近来有些学生出现呕吐、腹泻的症状，有些学生又出现头昏、失眠的症状，究其原因是多方面的，而主要的是不注意饮食卫生。
2020年安徽省师范大学附属中学高中自主招生考试数学、物理、化学、语文、英语五科试题及参考答案汇总
18.（12 分）已知关于 x 的二次方程 ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0 （1）若方程有两个实数根，求满足条件 a 的最小整数值； （2）若方程至少有一整数根，求正整数 a 的值.
19.（12 分）如图，点 E、F 是正方形 ABCD 边上的点，且∠EAF=45°，若△AEF 的外接圆的圆心
一、填空题（每题 4 分）
1. 4x2x 12x 1 2. 38
22
7.
7
8.8
9. y 1 x 1
2
二、选择题（每题 4 分）
3. 25 2 9
10. 0
4. 4 5. 29
6. 1 ≤ a ≤ 3 9
11. 2 3
12.（32，49）
13. C
14. B
15. C
三、解答题
16.（本题满分 12 分，每小题 6 分）
等边三角形，∠A=22°，则∠1= ▲ °．
A
B'
a 1
b
D
C
A' A
B
B
C
（第 2 题）
（第 3 题）
（第 4 题）
3.如图，△ABC 中，∠BAC >90°，BC=5，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的
对应点 B′ 落在 BA 的延长线上，若 sin ∠B′AC = 9 ，则 AC = ▲ ． 10 k
将 DE 绕点 D 逆时针旋转 60°得 DF，连接 CF，则 CF 的最小值为（ ▲）
A.2
B. 3
C. 2 3 − 2
D. 6 − 3 3
B
E F
A O
D
C
（第 14 题）
安徽师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考查数学(文)试题Word版含答案
安徽师范大学附属中学2019-2020学年上学期期末考查高二数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.圆的半径为A. 1B.C. 2D. 42.已知椭圆C：，则下列结论正确的是A. 长轴长为B. 焦距为C. 短轴长为D. 离心率为3.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线4.双曲线的虚轴长为A. 2B. 3C. 4D. 55.命题“若是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是A. 若不是偶数，则a，b都不是偶数B. 若不是偶数，则a，b不都是偶数C. 若是偶数，则a，b不都是偶数D. 若是偶数，则a，b都不是偶数6.下列命题中，是真命题的是A. ，有B.C. 函数有两个零点D. ，是的充分不必要条件7.抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.8.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是A. B. C. D.9.已知双曲线E：的渐近线方程是，则E的离心率为A. 5B.C.D.10.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是A. 或B.C. D. 或11.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限，过点A作准线l的垂线，垂足为M，则的面积为A. B. C. D.12.已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且，则椭圆C的离心率e的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.若点P到点的距离比它到直线的距离少1，则动点P的轨迹方程是______．14.双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．15.直线与圆相交于M，N两点，若，则k的取值范围是______．16.设，是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，则的最小值是______三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．设命题p：；命题q：，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.求两圆和的公共弦所在直线的方程及公共弦长．19.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点．求该椭圆的标准方程；设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．20.在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点．Ⅰ如果直线l过抛物线的焦点，求的值；Ⅱ如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点．21.过抛物线的焦点F，引两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值．22.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线l 相切的圆的方程．安徽师范大学附属中学2019-2020学年上学期期末考查高二数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）23.圆的半径为A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】解：圆化为标准方程为，故半径等于，故选：B．把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．24.已知椭圆C：，则下列结论正确的是A. 长轴长为B. 焦距为C. 短轴长为D. 离心率为【答案】D【解析】解：椭圆C：，可得，可得，，可得，可得离心率为：．故选：D．化简椭圆的方程为标准方程，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．25.到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案】D【解析】解：、故到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以、为端点的两条射线故选：D．由已知中、，我们易得，根据到两定点、的距离之差的绝对值，大于时，轨迹为双曲线，等于时，轨迹两条射线，小于时，轨迹不存在，即可得到答案．本题考查的知识点是轨迹方程，熟练掌握到两定点、的距离之差为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C．26.双曲线的虚轴长为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：双曲线的焦点在y轴上，且，，则虚轴长，故选：A．由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得，虚轴长可求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．27.命题“若是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是A. 若不是偶数，则a，b都不是偶数B. 若不是偶数，则a，b不都是偶数C. 若是偶数，则a，b不都是偶数D. 若是偶数，则a，b都不是偶数【答案】B【解析】解：根据四种命题之间的关系可知：命题“若是偶数，则a，b都是偶数”的否命题为：“若不是偶数，则a，b不都是偶数”，故选：B．弄清楚原命题的条件和结论，将原命题的条件和结论都否定可得到其否命题．本题考查四种命题，关键在于明确四种命题之间的相互转化，属于简单题．28.下列命题中，是真命题的是A. ，有B.C. 函数有两个零点D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】解：当时，有；当时，；当时，，故A错误；当时，，故B错误；由，即，可得，当时，，，可得在存在一个零点，故C错误；由，可得，但，可能，，可得，是的充分不必要条件．故D正确．故选：D．讨论，，，即可判断A；由计算可判断B；由可得存在一个零点，以及两个正根，可判断C；由充分必要条件的定义可判断D．本题考查对数函数的性质和函数的零点个数，注意运用分类讨论思想方法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．29.抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线，即，，，焦点坐标是故选：D．根据抛物线的标准方程，再利用抛物线的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线的焦点坐标为，属基础题．30.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离，即，得，得，则的一个必要不充分条件是，故选：C．求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．31.已知双曲线E：的渐近线方程是，则E的离心率为A. 5B.C.D.【答案】D【解析】解：双曲线的渐近线方程为，，即，，离心率．故选：D．根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．32.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】解：椭圆的焦点在x轴上，即解得或又的取值范围：或故选：D．先根据椭圆的焦点在x轴上，同时根据，两个范围取交集即可得出答案．本题主要考查椭圆的标准方程的问题即对于椭圆标准方程，当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，．33.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限，过点A作准线l的垂线，垂足为M，则的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：解：由已知条件的，抛物线准线为，焦点，直线倾斜角为，得斜率，设过点F作倾斜角为的直线方程为，代入抛物线方程可得，，，或，在第一象限，点坐标，，，故选：C．确定过点F作倾斜角为的直线方程为，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，再求的面积．本题考查抛物线的性质，考查三角形的面积，确定直线方程与抛物线方程联立是解题的关键．34.已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且，则椭圆C的离心率e的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：直线AB的方程为，将代入得点，则直线OD的斜率为，可得，则，，，则故选：B．求得AB所在直线方程，得到D的坐标，由斜率关系即可求得椭圆离心率，再由k的范围得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）35.若点P到点的距离比它到直线的距离少1，则动点P的轨迹方程是______．【答案】【解析】解：设，点P到点的距离比它到直线的距离少1，，整理，得：，当时，，当时，．动点P的轨迹方程是．故答案为：．设，由点P到点的距离比它到直线的距离少1，列方程能求出动点P的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，考查两点间距离公式、点到直线的距离公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．36.双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．【答案】【解析】解：由题得：其焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以焦点到其渐近线的距离．故答案为：．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．37.直线与圆相交于M，N两点，若，则k的取值范围是______．【答案】【解析】解：由圆的方程得：圆心，半径，圆心到直线的距离，，，变形得：，即，解得：，则k的取值范围是．故答案为：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．38.设，是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，则的最小值是______【答案】16【解析】解：由椭圆E：，得，，则，，是椭圆E上的点，，且，，当或8时，的最小值是16．故答案为：16．由已知椭圆方程求得a，c的值，可得的取值范围，结合椭圆定义把转化为关于的二次函数求最值．本题考查椭圆的简单性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）39.已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．设命题p：；命题q：，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：命题p：，即；命题，即；由于“”为真命题，则p真q假，从而由q假得，，所以x的取值范围是．命题p：，即命题q：，即由于是的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．即有，【解析】根据复合命题的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．本题考查了复合命题及其真假属基础题．40.求两圆和的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【答案】解：两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；由，得，其圆心坐标为，半径为，圆心到公共弦所在直线的距离，公共弦的长．【解析】两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用勾股定理求公共弦的长．本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．41.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点．求该椭圆的标准方程；设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【答案】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是椭圆经过点，左焦点为，，，可得因此，椭圆的标准方程为．设点P的坐标是，线段PA的中点为，由根据中点坐标公式，可得，整理得，点在椭圆上，可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．【解析】设椭圆方程为，根据题意可得且，从而，得到椭圆的标准方程；设点，线段PA的中点为，根据中点坐标公式将、表示成关于x、y的式子，将关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．42.在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点．Ⅰ如果直线l过抛物线的焦点，求的值；Ⅱ如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【答案】解：Ⅰ由题意：抛物线焦点为设l：代入抛物线消去x得，，设，则，．Ⅱ设l：代入抛物线，消去x得设，则，令，．直线l过定点．【解析】Ⅰ根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．Ⅱ设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．43.过抛物线的焦点F，引两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】解：设直线AC的斜率为，则直线BD的斜率为．则直线AC的方程为，联立，消去y得，设，，则，，，以替换k得，故所求面积为当时取等号，四边形ABCD面积的最小值为．【解析】设直线AC的方程为，联立方程组，得，由弦长公式得，，由此能求出四边形ACBD的面积的最小值．本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．44.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【答案】解：Ⅰ椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，，，，，点在该椭圆上．，，，椭圆C的方程：，Ⅱ设直线l的方程为：，由消去x得：，恒成立，设，，，，，圆的半径为，的周长为：，，，，，，故：为圆心的圆的方程：．【解析】Ⅰ根据题意求出，，即可得出方程．Ⅱ由消去x得：，运用韦达定理得出，，求解即可．本题考查了直线与圆锥曲线的方程，运算量较大，属于难题．。
安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题
注意事项：安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试卷1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2．答案一律用黑色钢笔或墨水笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项．题．卷．相．应．位．置．上）1.16的平方根是( ▲ )A. 4 .2 D. ± 22.若1x-=x -1成立，则x 满足( ▲ )A. x ≥≥1 C. x ≤1 D. x <13.已知m 5-1，则m2 + 2m 的值是( ▲ )A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b 与水平线平行，以其中一条为x 轴，取向右为正方向；直线c、d 与水平线垂直，以其中一条为y 轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y =m x2 + 2mx +12 (m ≠ 0)的图像如图，则下面结论正确的是( ▲ )A.a 为x 轴，c 为y 轴B. a 为x 轴，d 为y 轴C.b 为x 轴，c 为y 轴D.b 为x 轴，d 为y 轴5.如图，已知AB 为圆的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM 平分∠AHC，HM 交AB 于M．若AC=3，BC=1，则MH 长为( ▲ )A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 边上一点，∠ADC=3∠BAD，BD=8，CD=7，则AB 的值是( ▲A.16B.20C. 217D. 2+7二、填空题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卷．相．应．位．置．上）7.已知实数x、y 满足2542x yx y+=⎧⎨-=⎩则x -y =▲．8.分解因式：x2 + 4xy +4y2 +x +2y- 2 = ▲．9．在平面直角坐标系中，点A、B 的坐标分别是（m，3）、（3m-1，3）．若线段AB 与直线y = 2x +1相交，则m 的取值范围是▲．10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径是▲cm.11.如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C、D 分别落在M、N 处，且点M、N、B 在同一直线上，折痕与边AD 交于点F，NF 与BE 交于点G.设AB3EFG 的周长为▲．．（第 11 题）(第 12 题)12.如图，点 A 1，A 2，…，A n 均在直线 y = x -1 上，点 B 1，B 2，…，B n 均在双曲线 y = -1x上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴， B n A n +1⊥y 轴，…，记点 A n 的横坐标为 a n （n 为正整数）．若 a 1 =-1，则 a 2016 = ▲ . 13.如图，已知△ABC 中， ∠C = 90 °， ∠A = 30 °，AC =3．动点 D 在边 AC 上，以 BD 为边作等边△BDE (点 E 、D 、B 逆时针排列). 在点 D 从点 A 移动至点C 的过程中，点 E移动的路线长为 ▲(第 13 题)（第 14 题）（第 16 题）14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3，点 M 是直线 BC 上一动点，且∠CAM +∠CBA =45°，则 BM = ▲ .15.在平面直角坐标系中，有三条直线，它们的函数表达式分别是y = x ， y = x + 1 ， y = x + 2 ．在这三条直线上各有一个动点，依次为 A 、B 、C ，它们的横坐标分别为 a 、b 、 c ，则当 a 、b 、c 满足 ▲ 时，A 、B 、C 三点不能构成三角形． 16.如图，已知点 P （2，0），Q （8 ，0），A 是 x 轴正半轴上一动点，以 OA 为一边在第一象限内作正方形 OABC ，当 PB + BQ 取最小值时，点 B 的坐标是 ▲ . 三、解答题（本大题共 8 题，共 86 分．请在答．题．卷．指．定．区．域．作答，解答题时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤）17.（10 分）若关于 x 的分式方程223242m x x x +=--+无解，求m 的值． 18.（10 分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发 0.2 小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为 x (h)，甲、乙两人行驶的路程分别为 y 1 (km)与 y 2 (km)．图①是 y 1 与 y 2 关于 x 的函数图像． （1）分别求线段 OA 与线段 BC 所表示的 y 1 与 y 2 关于 x 的函数表达式； （2）当 x 为 ▲ 时，两人相距 6 km ； （3）设两人相距 S 千米，在图②所给的直角坐标系中画出 S 关于 x 的函数图像．19.（10 分）如图，在□ABCD 中， AB = 5 ， BC = 10，F 为 AD 的中 点，CE ⊥AB 于 E ，设 ∠ABC = α （60°≤ α < 90 °）. （1）当α = 60 °时，求 CE 的长； （2）当 60°< α < 90 °时，是否存在正整数 k ，使得 ∠EFD = k ∠AEF ？ 若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.20.（10 分） 如图，直线 y = k 1x 和 y = k 2x 与反比例函数 y =1x图像分别交于两点 A 、C 和 B 、D ，连接 AB ,BC ,CD ,DA . （1）四边形 ABCD 一定是 ▲ 四边形； （2）四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，求 k 1 ， k 2 满足 的关系式；若不能，说明理由；（3）设 P （ x 1 ，y 1 ），Q （ x 2 ，y 2)( x 2 > x 1 > 0 ）是函数 y =1x图像上的任意两点， a =122y y +, b =122x x +，试判断 a ， b 的大小关系，并说明理由.21.（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0，4）， 点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接 AB ，过点 A 作 AC ⊥AB ，交 x 轴于点 C ，点 D 是点 C 关于点 A 的对称点，连接 BD ，以 AD 为直径作⊙Q 交 BD 于点 E ，连接并延长 AE 交 x 轴于点 F ，连接 DF . （1）求线段 AE 的长；（2）若 AB - BO = 2 ，求AF CF的值；（3）若△DEF 与△AEB 相似，求BE DE的值.22.（10 分）问题：如图 1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离 为 1）．画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、B 、C 、D 分别在直线 a 、b 、d 、c 上，并计 算它的边长．小明的思考过程：（图 1）（图 2）他利用图 1 中的等距平行线构造了 3⨯ 3 的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如图 2 所示，再分别找到它的四条边的三等分点 A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形． 请回答：图 2 中正方形 ABCD 的边长为 ▲ ． 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图 3 的菱形网格（最小的菱形有一个内角为 60°，边长为 1）中，画出一个等边△ ABC ， 使它的顶点 A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线 a 、b 、c 上，并直接写出等边△ ABC 的边长（只 需要画出一种即可）．（图 3）（图 4）（2）如图 4，a 、b 、c 是同一平面内的三条平行线，a 、b 之间的距离是1 ，b 、c 之间的距离是 12，等边△ ABC 的三个顶点分别在 a 、b 、c 上，直接写出△ ABC 的边长．23.（14 分）已知二次函数 y = ax 2 + 4x + c (a ≠ 0) 的图像是经过 y 轴上点C （0，2）的一条抛物 线，顶点为 A ，对称轴是经过点 H （2，0）且平行于 y 轴的一条直线．点 P 是对称轴上位于点 A 下方的一点，连接 CP 并延长交抛物线于点 B ，连接 CA 、AB ．（1）求这个二次函数的表达式及顶点 A 的坐标； （2）当∠ACB =45°时，求点 P 的坐标； （3）将△ CAB 沿 CB 翻折后得到△ CDB ，问点 D 能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．24. （12 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形W 1 ，W 2 给出如下定义：点 P 为图形W 1 上一点，点 Q 为图形W 2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形W 1 ，W 2 的“中立点”．如 果点 P ( x ， y )，Q ( x ， y )，那么“中立点”M 的坐标为12(,2x x +12)2y y + 已知，点 A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接 BC ，在点 D (12 ，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 ▲ ；（2）已知点 G (3，0)，⊙G 的半径为 2．如果直线 y = -x +1上 存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的“中立点”，求点 K 的坐标； （3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N ，使得 y 轴上的一点可以成为 点 N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标 x N 的 取值范围．。
安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试语文试题参考答案
2019年高中自主招生考试语文学科参考答案一、语言文字运用（15分）1．C2．B3．D4．B5．A二、古诗词鉴赏（5分）6.（2分）“行”与“独”作对比．．．，表现诗人同情．．之心。
．．，突现孤雁之“孤”7.（3分）诗人同情．．失群的孤雁，其实是融入了自己的思想感情。
诗人飘泊异乡，世路峻险，此诗以孤雁自喻．．．．．．．之情。
．．，表现了他孤凄忧虑的羁旅三、文言文阅读（12分）8．C9．D10．（1）贺知章为此曾解下身边所系的金龟作抵押来换酒，与李白尽情畅饮并一同醉倒，会面不隔天（即天天见面）。
（2）沈休文又只崇尚声律。
能够光复古人诗道的，不是我李白还能有谁呢!附译文：李白初次从巴蜀到京都长安，住在旅店里。
秘书监贺知章听闻他的大名，首先拜访了他，惊奇于李白不凡的相貌，并请李白拿出诗作拜读。
李白取出《蜀道难》给贺知章。
贺还没有读完，就赞叹了几次，送李白一个雅号为“谪仙人”。
李白酷爱喝酒，贺知章为此曾解下身边所系的金龟作抵押换酒与李白对饮，两人常常喝得一同醉倒，每天如此，几乎没有间断过。
由此，他们豪饮的声誉日益显赫。
贺知章又拜读了李白的《乌栖曲》，边吟咏品味边赞叹说：“这首《乌栖曲》可以让鬼神哭泣啊!”《乌栖曲》诗如下：“姑苏台上乌栖时，吴王宫里醉西施。
吴歌楚舞欢未毕，西山犹衔半边日。
金壶丁丁漏水多，起看秋月坠江波，东方渐高奈乐何。
”有人说这首诗又叫《乌夜啼》，世上有李白两首这样的诗流传，不知哪篇是真的。
另一篇《乌夜啼》是这样写的：“黄云城边乌欲栖，归飞哑哑枝上啼。
机中织锦秦川女，碧纱如烟隔窗语。
停梭向人问故夫，欲说辽西泪如雨。
”李白才华飘逸、性情高傲，与任右拾遗的陈子昂齐名，一先一后志向相同。
李白论及诗歌的发展时说：“梁陈以来，诗风绮丽艳薄已达极点。
初唐诗人沈佺期又只崇尚声律。
能够光复古人诗道的，不是我李白还能有谁!”唐玄宗听说李白的名声，召他入翰林院，并因李白才华横溢超绝人上，仪表非凡，才识过人，而给他以优厚的待遇，没有敕封他具体的官职。
2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)
2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。
安徽省合肥市安徽师范大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题理含解析
三、解答题(本大题共5小题）
17。已知两直线 ： ， ： 求分别满足下列条件的a，b的值．
直线 过点 ,并且直线 与 垂直；
直线 与直线 平行，并且坐标原点到 ， 的距离相等．
【答案】（1) ， ;（2） ， 或 ， .
A。 ②③B。 ①②C. ①②③D. ②
【答案】D
【解析】
【分析】
通过举反例可判断出命题① 正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.
【详解】对于命题①,如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；
对于命题②，如下图所示，平面 平面 , ， , ， ,且 、 分别为 、 的中点,过点 作 交平面 于点 ，连接 、 。
【解析】
【详解】设球的半径为r，
则 ,
,
,
所以 ，
故答案为 。
考点：圆柱，圆锥，球的体积公式。
点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为 .
16。表面积为 的球面上有四点S、A、B、C,且 是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为1,若平面 平面ABC，则三棱锥 体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由球的表面积求出半径OB，再计算 的面积为定值，由此得出S在AB的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥 体积的最大，结合图形求出点S到平面ABC的距离,由此求得棱锥体积的最大值．
【详解】过球心O作平面ABC的垂线段OD，垂足为D，过D作 ,垂足为E,
连接BD，则 , ，如图所示；
则球的表面积为 ，解得半径 ;
安徽省合肥市安徽师范大学附属中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）
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安师大附中2019年高中自主招生考试数学试题
注意事项：
1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2．答案一律用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、选择题（每题4分，共16分）
1
A. 234△A. 56789101111
2222
30a x b y a b ⎧⎨
+=-+⎩的解为 ▲ . 11、已知：方程2310x x --=的两根分别为α、β，则31010αβαβ+-= ▲ . 12、由一次函数2y x =-+的图象与坐标轴围成的三角形未被圆心在（1，1）半径为1的圆覆盖的面积等于 ▲ .
13、若关于x的不等式组
410
1
x m x
x m
-+<+
⎧
⎨
+>
⎩
的解集是4
x>，则m的值为▲ .
14、在△ABD中，AC是BD边上的高，且BC=9，DC=5，若AB+AD=28，则△ABD的面积为
▲.
15、如图，一束光线从点O射出照在经过A（1,0），B（0,1）的镜面上的点D，经过AB反射后，
的
，(第20题图)
21、（本题满分14分）阅读理解：我们知道变量y 是变量x 的函数的解析法表示就是用x 的代数式来表示y ，如23y x =-、4
y x
=
、23y x =-等，数学家欧拉是这样来表示函数的，如函数23y x =-，表示为()23f x x =-；函数4y x =表示为()4
f x x
=.在函数23y x =-中，当x =0
时，y =-3，可表示为()02033f =⨯-=-.
（（1.
22)
，（（（求
23D 、C
24、（本题满分10分）射影几何的奠基人之一、法国数学家庞斯莱（1788--1867）发明过一种玩
具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动，AF与AD等长，CD、DE、EF、FC等长，并且BC<AD－DC，使用时，将A,B钉牢在平板上，并使A，B间的距离等于木棍BC 的长，绕点B转动C点，则点C在一个圆上运动，E点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏.
问题探究
爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点C在⊙B上运动时，点E在一条直线动，而且。