任务一绘制切割体的三视图(精)

任务一绘制切割体的三视图
学习目标
巩固三视图相关知识；知道截断体，掌握截交线。

能熟练运用表面取点法求解截交线。

任务分析
图1—1 顶尖立体图
如图1—1所示的顶尖，基本形状由大圆柱、小圆柱和圆锥三部分叠加，经切割而成，其轮廓线既包括基本体形状图线，也包括截交线。

这样的立体在现实生活中很多，要绘制这类立体的三视图，除了必备前面所学的三视图知识，还得学会截交线求作方法，综合运用才能绘制这类立体的三视图。

知识拓展
一、截交线
被截断后的基本几何体称为截断体，用来截断几何体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线是封闭的曲线，由截交线围成的平面图形称为截面。

（一）平面体的截交线
平面与平面体相交（平面体被截断），所得的交线是由直线组成的封闭多边形，该多边形的边就是平面体表面与截平面的交线，其顶点是棱线与截平面的交点。

求平面体的截交线，关键是找到截平面与立体棱线的共有点（截平面与立体各棱线的交点），然后将各点连接即为所求。

[例1—1] 如图1—2所示为一四棱柱被一正垂面截切，求截交线。

图1—2 四棱柱的截交线
分析：四棱柱被截切，上底有两条边被截切，侧面有三条棱被截切，共有5条棱被截切，产生五个交点，截面为五边形。

此题的关键就是求作A、B、C、D、E五个顶点的投影。

先在主视图中标注出这些点，按投影关系在俯视图中找到对应的点，再按投影规律作出这些点的左视图投影，然后连接即为所求。

注意：
1．要判别图线的可见性。

2．若立体被两相交平面截断，两截平面相交处有交线（交点在立体表面上），切不可漏画。

如图1—3所示。

图1—3 截切后的三棱柱
（二）回转体的截交线
1．圆柱的截断
圆柱被截切后产生的截交线，因平面与圆柱轴线的相对位置不同而不同，可以分为三种情况，见表1—1所示。

表1—1 平面截切圆柱的截交线
截平面位置平行于轴线垂直于轴线倾斜于轴线
截交线矩形圆椭圆
轴测图
投影图
[例1—2] 求圆柱被一正垂面截切后的截交线。

如图1—4。

①分析：圆柱被正垂面斜切，截交线为椭圆，因截平面为正垂面，所以截交线的正面投影具有积聚性，水平投影与圆柱面的水平投影积聚重合为一个圆，侧面投影为一个椭圆。

图1—4 圆柱被斜截后的截交线
②作图：利用表面取点的方法，作出一系列的点（特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ）的投影，再将这些点的同面投影连接起来就是所求的截交线，如图1—4所示，图中只画出了一般点的投影，特殊点的投影由读者自己作。

以上方法，对圆柱体上挖孔、开槽也适用。

例如在圆柱（圆筒）上挖方孔，其作图方法就是求出方孔的四个特殊点的投影，见图1—5中的A、B、C、D四个点，其作图过程请读者自行分析。

图1—5 圆柱挖孔圆柱、圆筒常见的截断情况见表1—2，1—3。

表1—2 常见圆柱的截断及其三面投影
类别三视图及其立体图
表1—3 常见圆筒的
截断及其三面投影
类别三视图及其立体图
圆柱两边
切割
圆柱中间
切槽
圆柱中部
挖方孔
圆柱两边
斜切
2．圆锥的截断 平面与圆锥相交的截交线，根据截
平面与圆锥轴线的相对位置不同，有五种情况，见表1—4所示。

表1—4 圆锥截交线
截平面位置
垂直于轴线
与轴线倾斜
(不平行任一素线)
平行于一条素线
平行于轴线
过锥顶
截交线
圆
椭圆
抛物线
双曲线
两相交直线
立体图
圆筒两边切割
圆筒中间开槽
圆筒中间挖方孔
圆筒两边斜切
投影图
[例1—3] 求作正平面截切圆锥的截交线，图1—6(a)。

(a) (b) (c)
图1—6 平面截切圆锥
①分析：用正平面截切，截交线是双曲线。

特殊点为Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ，其中Ⅰ、Ⅴ在底面上，Ⅲ在最前的极限轮廓素线上。

②作图：
（a）用高平齐得出最高点Ⅲ的主视图，用长对正得出最低点Ⅰ、Ⅴ的主视图，再用投影规律完成其他投影；
（b）利用素线法（或纬圆法）求一般点Ⅱ、Ⅳ；
（c）在正面投影上光滑连接各点。

如图1—6（c）。

以上方法对圆锥（圆锥台）的挖孔、开槽等截交线的作法
一样适用。

如图1—7所示，该圆锥台被截割了一个通槽，槽底图1—7 圆锥台的截割
为水平圆弧CD，槽侧面为双曲线ABC、DEF，作图过程由读者自已分析。

3．圆球的截断
从任意位置截断圆球，其截面均是圆形。

常见的截切方式见图1—8所示。

图1—8 常见圆球的截断
任务评价
采用教师批改、讲评与学生互评相结合。

评价内容有：活动是否积极，基本体投影否正确，特殊点、一般点投影是否正确，截交线的可见性判断是否正确。

辅助线及图线运用是否合理，图面是否整洁。

实作练习
1、平面体的截断。

2、曲面体的截断。

3、平面体的相贯与挖孔、槽。

4、曲面体的相贯与挖孔、槽。

5、复合体的截切与相贯综合练习。