四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制, 期待你的好评与关注） 弹力小结 矩形薄板的几种解法
矩形薄板的几种解法 ?:纳维解法 四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为 O 二 0 _a y 厂 O 二 0 -0. 纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数: 为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即 q"4 D 芸M C mn sin ^sin 也。 m ± n a b 血x 现在来求出式（（中的系数C mn 。将式C ）左右两边都乘以n ,其中的 a 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意 =o x _0 n :: A mn m 土 n 三 sin sin a b （a ） 其中m 和n 都是任意正整数。 弹性曲面微分方 显然，上列的边界条件都能满足。将式 代入 程 ::n m 2 n 2 冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。（ b ） a b 到 （C ） A y
a sin .0 sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdx a 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到 b ，注意 b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j 因为i 和j 式任意正整数, 可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin ab C 4 mn 解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U 与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) A mn 4a 4 0 b q sin 4 二 abD sin n Ldxdy a b m 2 . n 2~2 当薄板受均布荷载时， q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为 q 0 sin sin :a =q 0 q 0 sin a m ?:; x dx a dxdy b b . n 二 y sin dy 0 b q 0 ab 2 ------ ■：\ mn 一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 A mn 1 - cos n ■：!； 4 q 0 1 一 cos m 尹 —y —-J 二6 D mn A mn 16 q 0 ? 2 2 I m_ . n J 厂 .2 >,- b 。m = 1 ,3,5, I H ； n =1 ,3,5, I | I
简支梁固有频率及振型函数
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导 一．等截面细直梁的横向振动 取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为 y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为： 22y EI M x ?=? (2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。在这些规定下，有： M Q Q q x x ??==??， (3) 于是，对方程（2）求偏导，可得： 222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ??????====??????， (4) 考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：
3434y y EI Q EI q x x ??==??， (5) 方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。 应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为 22 y q t ρ?=-? (6) 其中ρ代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程： 4242y y EI x t ρ??=--?? (7) 其中2 /a EI ρ=。 为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为： y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得： 22424 1Y a d X Y t X dx ?=-? (9)
四边简支
LB1矩形板计算 项目名称_____________日期_____________ 设计者_____________校对者_____________ 一、构件编号: LB1 二、示意图 三、依据规范 《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001 《混凝土结构设计规范》 GB50010-2002 四、计算信息 1.几何参数 计算跨度: Lx = 8700 mm; Ly = 8400 mm 板厚: h = 290 mm 2.材料信息 混凝土等级: C40 fc=19.1N/mm2 ft=1.71N/mm2 ftk=2.39N/mm2Ec=3.25×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2 最小配筋率: ρ= 0.214% 纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm 保护层厚度: c = 15mm 3.荷载信息(均布荷载) 永久荷载分项系数: γG = 1.200 可变荷载分项系数: γQ = 1.400 准永久值系数: ψq = 0.500 永久荷载标准值: ｑgk = 9.500kN/m2 可变荷载标准值: ｑqk = 3.500kN/m2 4.计算方法:弹性板 5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支 6.设计参数 结构重要性系数: γo = 1.00 泊松比:μ = 0.200 五、计算参数: 1.计算板的跨度: Lo = 8400 mm 2.计算板的有效高度: ho = h-as=290-20=270 mm
六、配筋计算(lx/ly=8700/8400=1.036<2.000 所以按双向板计算): 1.X向底板钢筋 1) 确定X向板底弯矩 Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2 = (0.0365+0.0397*0.200)*(1.200*9.500+1.400*3.500)*8.42 = 51.139 kN*m 2) 确定计算系数 αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho) = 1.00*51.139×106/(1.00*19.1*1000*270*270) = 0.037 3) 计算相对受压区高度 ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.037) = 0.037 4) 计算受拉钢筋面积 As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*19.1*1000*270*0.037/360 = 536mm2 5) 验算最小配筋率 ρ = As/(b*h) = 536/(1000*290) = 0.185% ρ<ρmin = 0.214% 不满足最小配筋要求 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.214%*1000*290 = 621 mm2采取方案d12@150, 实配面积754 mm2 2.Y向底板钢筋 1) 确定Y向板底弯矩 My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2 = (0.0397+0.0365*0.200)*(1.200*9.500+1.400*3.500)*8.42 = 54.058 kN*m 2) 确定计算系数 αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho) = 1.00*54.058×106/(1.00*19.1*1000*270*270) = 0.039 3) 计算相对受压区高度 ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.039) = 0.040 4) 计算受拉钢筋面积 As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*19.1*1000*270*0.040/360 = 567mm2 5) 验算最小配筋率 ρ = As/(b*h) = 567/(1000*290) = 0.196% ρ<ρmin = 0.214% 不满足最小配筋要求 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.214%*1000*290 = 621 mm2采取方案d20@200, 实配面积1571 mm2 七、跨中挠度计算： Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值 Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值 1.计算荷载效应 Mk = Mgk + Mqk
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
四边简支矩形板计算
四边简支矩形板计算 项目名称_____________日期_____________ 设计者_____________校对者_____________ 一、构件编号: LB-1 二、示意图 三、依据规范 《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001 《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010 四、计算信息 1.几何参数 计算跨度: Lx = 11000 mm; Ly = 7500 mm 板厚: h = 400 mm 2.材料信息 混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2 最小配筋率: ρ= 0.200% 纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm 保护层厚度: c = 40mm 3.荷载信息(均布荷载) 永久荷载分项系数: γG = 1.200 可变荷载分项系数: γQ = 1.400 准永久值系数: ψq = 1.000 永久荷载标准值: ｑgk = 15.000kN/m2 可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m2 4.计算方法:弹性板 5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支 6.设计参数 结构重要性系数: γo = 1.00 泊松比:μ = 0.200 五、计算参数: 1.计算板的跨度: Lo = 7500 mm 2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm
六、配筋计算(lx/ly=11000/7500=1.467<2.000 所以按双向板计算): 1.X向底板钢筋 1) 确定X向板底弯矩 Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2 = (0.0287+0.0707*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 43.374 kN*m 2) 确定计算系数 αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho) = 1.00*43.374×106/(1.00*14.3*1000*345*345) = 0.025 3) 计算相对受压区高度 ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.025) = 0.026 4) 计算受拉钢筋面积 As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.026/360 = 354mm2 5) 验算最小配筋率 ρ = As/(b*h) = 354/(1000*400) = 0.088% ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案?12@140, 实配面积807 mm2 2.Y向底板钢筋 1) 确定Y向板底弯矩 My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2 = (0.0707+0.0287*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 77.430 kN*m 2) 确定计算系数 αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho) = 1.00*77.430×106/(1.00*14.3*1000*345*345) = 0.045 3) 计算相对受压区高度 ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.045) = 0.047 4) 计算受拉钢筋面积 As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.047/360 = 638mm2 5) 验算最小配筋率 ρ = As/(b*h) = 638/(1000*400) = 0.160% ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案?12@100, 实配面积1131 mm2 七、跨中挠度计算： Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值 Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值 1.计算荷载效应 Mk = Mgk + Mqk
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算 1. 基本假定及振动微分方程 弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。板的振动理论是以以下几个假定为基础的： 1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。 2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。 3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。 在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板 的自由振动微分方程[1] ： 022********=??+??+??+??t w m y x w D y w D x w D （1） 等式中) 1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性 模量和泊松比，h 为板的厚度。 微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1 y x W t B t A w m m m m m m ωω+= ∑ ∞ =。被表示 成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消 除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：022224444 4=-??+??+??W m y x W D y W D x W D ω (2) 2. 边界条件 振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例， 其相应的边界条件为： 固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=??=x x W ； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0 ==x W ，0)(022=??=x x W ； 自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=??+??=x y W x W ν，0))2((0 2333=???-+??=x y x W x W ν
计算结构力学习题库2012重点讲义资料
计算结构力学习题库 第1章：绪论 1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何 不同和相同点？试分别举例说明。 1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面 有何异同点？ 1.3与里兹法相比，有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛，你认为主 要的原因在于那些方面？ 第2章：有限单元法 2.1图示为一平面应力状态的三结点直角三角形单元，厚度t，弹性模量E，剪切 模量G=E/[2(1+ν)]，设泊松比ν=0，结点坐标如图。若采用线性位移模式（位移函数），试求出： (1) 形函数矩阵[N]； (2) 应变矩阵[B]； (3) 应力矩阵[S]； (4) 单元刚度矩阵[k]； (5) [k]的每行之和及每列之和，并说明其物理意义。 题2.1图 2.2为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？对于平面四结点 矩形单元，若位移模式取为：u=a1+a2x+a3y+a4x2，v=b1+b2x+b3y+b4y2，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。 2.3为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？四结点矩形薄板 单元具有12个自由度，其位移模式取为：w(x,y)= α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy +α6y2 +α7x3+α8 x2y+α9 xy2+α10y3+α11x3y+α12xy3，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。 2.4形函数有哪些主要性质？试由这些性质直接构造图示六结点矩形单元的形函 数，写出单元中心点P(a/2, b)处的位移用结点位移表示的表达式。
题2.4图 题2.5图 2.5 图示为平面问题的一个三结点三角形单元。 (1) 试问单元刚度矩阵[k ]有哪些主要特性？其依据各是什么？ (2) 附图说明[k ]元素k 52的物理意义。 (3) [k ]的每行之和及每列之和各为何值，其物理意义是什么？ 2.6 图(a)所示的平面连续体结构已划分为两个三角形单元，在图(a)坐标系及图(b)局部编号下，两单元的刚度矩阵左下子块均为： ,0025.00][,75.025.025.075.0][,5.00025.0][,25.0005.0][??? ???=??????=??????=??????=E k E k E k E k ji mm jj ii ?? ????---=??????---=5.025.0025 .0][,25.0025.05.0][E k E k mj mi 。 (1) 附图说明单元(1)的刚度元素k 36的物理意义； (2) 试由上述单元刚度矩阵子块形成结构的总体刚度矩阵； (3) 分别采用手算方法和一种计算机方法引进图中的位移边界条件，写出图示 荷载作用下的最终有限元方程； (4) 假设结点位移v 2、u 3、v 3、u 4均已求得 (作为已知)，试在此基础上求出结 点2和结点4的支座反力。 (a) (b) 题2.6图 2.7 Timoshenko 梁单元与经典梁单元的基本假定、单元挠度及转角的插值方法有何异同点？图示为一个3结点Timoshenko 梁单元（ξ为无量纲坐标，梁长为
矩形板计算
矩形板计算 项目名称_____________日期_____________ 设计者_____________校对者_____________ 一、构件编号: 二、示意图 三、依据规范 《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001 《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010 四、计算信息 1.几何参数 计算跨度: Lx = 3300 mm; Ly = 3300 mm 板厚: h = 150 mm 2.材料信息 混凝土等级: C20 fc=9.6N/mm2 ft=1.10N/mm2 ftk=1.54N/mm2 Ec=2.55×104N/mm2 钢筋种类: HPB300 fy = 270 N/mm2Es = 2.1×105 N/mm2 最小配筋率: ρ= 0.200% 纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 20mm 保护层厚度: c = 10mm 3.荷载信息(均布荷载) 永久荷载分项系数: γG = 1.200 可变荷载分项系数: γQ = 1.400 准永久值系数: ψq = 0.500 永久荷载标准值: ｑgk = 8.750kN/m2 可变荷载标准值: ｑqk = 2.000kN/m2 4.计算方法:弹性板 5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/简支/固定
6.设计参数 结构重要性系数: γo = 1.00 泊松比:μ = 0.200 五、计算参数: 1.计算板的跨度: Lo = 3300 mm 2.计算板的有效高度: ho = h-as=150-20=130 mm 六、荷载组合 可变荷载控制组合: q = γG*ｑgk+γQ*ｑqk = 1.200*8.750+1.400*2.000 = 13.300 KN/m2 永久荷载控制组合: q = γG*ｑgk+γQ*ｑqk = 1.35*ｑgk+0.7*γQ*ｑqk = 1.35*8.750+0.7*1.400*2.000 = 13.772 KN/m2 取较大值荷载控制组合为:q = 13.772 KN/m2 七、配筋计算(lx/ly=3300/3300=1.000<2.000 所以按双向板计算): 1.X向底板钢筋 1) 确定X向板底弯矩 Mx = 表中系数q*Lo2 = (0.0180+0.0231*0.200)*13.772*3.32 = 3.393 kN*m 2) 确定计算系数 αs = γo*M/(α1*fc*b*ho*ho) = 1.00*3.393×106/(1.00*9.6*1000*130*130) = 0.021 3) 计算相对受压区高度 ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.021) = 0.021 4) 计算受拉钢筋面积 As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*9.6*1000*130*0.021/270 = 98mm2 5) 验算最小配筋率 ρ = As/(b*h) = 98/(1000*150) = 0.065% ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求 所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*150 = 300 mm2 用户选择了底板放大系数,系数值为:1.00 所以最后面积As = 300*1.00 = 300 mm2 采取方案8@160, 实配面积314 mm2 2.Y向底板钢筋 1) 确定Y向板底弯矩 My = 表中系数q*Lo2 = (0.0231+0.0180*0.200)*13.772*3.32
矩形薄板地几种解法
弹力小结 矩形薄板的几种解法
矩形薄板的几种解法 一：纳维解法 四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为 ()0 0x ω==, 220 0x x ω=?? ?= ? ???。 ()0x a ω==， 220x a x ω=?? ?= ? ???。 ()0 0y ω==， 220 0y y ω=?? ?= ? ???。 纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级 数： 11sin sin n mn m n m x n y A a b ππω∞ ===∑∑， （a ） 其中m 和n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a ）代入弹 性曲面微分方程D?4w =q ，得到 系数mn A ， 为了求出 须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即 4 11sin sin n mn m n m x n y q D C a b πππ∞ ===∑∑。 （c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。将式（c ）左右两边都乘以sin i x a π，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意 sin sin a m x i y dx a a ππ=? {0 ， (m ≠ i) a/2 ， ( m = i) 就得到 1 sin sin 2 a in n i y a n y q dx C a b ππ∞ ==∑? 。 ()0 y b ω==220y b y ω=?? ?= ? ???22242211 sin sin b n m n m n m x n y D q a b a b πππ∞==??+= ??? ∑∑。（） y
南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第2章
南京航空航天大学结构力学课后 习题答案第2章 第二章薄板的弯曲2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA为简支边，并作用有分布的弯矩M。BC边为固支边，OC边为简支边。AB边为自边。解：OA边：wx?0?0；Mx MyOC边：wy?0?0；x?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2??M ?x?yx?0?xx?0?0 y?0y?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2?y?xy? 0?y ?wBC边：wx?a?0；?0 ?xx?aAB边：My?2w?2w??D(2?u2)?0 ?y?xy?b?M yx?x)y?by?b (Qy??3w?3w??D[3?(2?u)2]?0 ?y?x? yy?b 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自边，在点B受向下的横向集中力P。试证w?mxy可作为该薄板的解答，
并确定常数m、内力及边界处反力。解：w?mxy满足平衡微分方程?4w?q/D?0 OC边上：wy?0?2w?2w?0；?D(2?u2)＝0 ?y?xy?0OA边上：wx?0?2w?2w?0；?D(2?u2)＝0 ?x?yx?0?2w?2w?3w?3w?0；?D[3?(2?u)2]?0 AB边上：?D(2?u2)?y?xy?b?y?x?yy?b?2w?2w? 3w?3wBC边上：?D(2?u2)?0；?D[3?(2?u)]?0 ?x?yx?a?x?x?y2x?a?2w)??2D(1?u)m?? P 在B点上：?2D(1?u)(?x?yx?a,y?b ?m?P 2D(1?u)所以w?Pxy 2D(1?u)?2w?2w?2w?2wMx??D(2?u2)?0；My??D(2?u2)?0；?y?x?x?yMxy??? 2wPQx??D?2w?0；Qy??D?2w?0 ??D(1?u)?? ；?x?y?x? y2?2wRA??2D(1?u)()??P?RC；RO?P ?x?yA 2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为ACB 为xx2y2固支边，承受横向载荷
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型 1、 问题 矩形薄板的参数如下 33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======? 求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型 2、薄板振动微分方程 薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。 为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。 图 1 薄板模型 根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为
() a a a w u z x w v z y w w ?=-??=-?=+ 高阶小量 (1.1) 根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为 22 22 22a x a y a a xy u w z x x v w z y y u v w z y x x y εεγ??==-????==-?????=+=-???? (1.2) 胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为： 2222 222222222()()11()()111x x y y y x xy xy E Ez w w x y E Ez w w y x Ez w G x y σεμεμμμσεμεμμμτγμ??=+=-+--????=+=-+--???==- +?? (1.3) 现画薄板微元的受力图如图 2所示。 图 2所示中x xy x y yx y M M Q M M Q 、和、、和分别为OB 面、OC 面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。M x 、M y 是由正应力σx 、 σx 引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy 引起的合力矩。 图 2 薄板应力示意图 p (x ,y ,t )=P (x ,y )f (t )为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z 轴方向。应用动静法计算时， 沿z 轴负方向有一虚加惯性力22w h dxdy t ρ??，根据0z F =∑，0y M =∑，0y M =∑则 有
单块矩形板计算典型例题
单块矩形板计算典型例题 图1 计算简图 已知条件： 板长： 5.00m，板宽： 5.00m，板厚：200mm 板自重荷载： 4.80kN/m2 均布荷载：20.00kN/m2 三角荷载值(下边最大)：30.00kN/m2 跨中局部均载：100.00kN/m2 分布宽度：a x = 1.00m，b y = 2.00m 砼强度等级：C55 纵筋级别：HRB335 混凝土保护层：20mm 泊松比：0.20 支撑条件： 四边上：简支下：简支左：简支右：简支 角柱左下：无右下：无右上：无左上：无 计算要求： 1. 内力计算 2. 配筋计算 计算过程： 1. 内力计算 板自重荷载： q1= γGγM h = 1.2×20×0.2 = 4.8kN/m2 均布荷载q2＝20kN/m2 ∴总的均布荷载q＝q1 + q2 = 4.8 + 20 = 24.8 kN/m2 均布荷载作用下： a/b=1，查表得：m ac = 0.0368，m bc = 0.0368 ∴M ac1 = m ac×ql2 = 0.0368×24.8×52 = 22.816kN.m/m ∴M bc1 = m bc×ql2 = 0.0368×24.8×52 = 22.816kN.m/m
三角形荷载作用下： a/b=1，查表得：m amax = 0.0184，m bmax = 0.0216 ∴M ac2 = m amax×ql2 = 0.0184×30×52 = 13.8kN.m/m ∴M bc2 = m bmax×ql2 = 0.0216×30×52 = 16.2kN.m/m 跨中局部均载作用下： a x / a = 1 / 5 = 0.2， b y / b = 2 / 5 = 0.4，b / a = 1 查表得：m ac = 0.143，m bc = 0.117 ∴M ac3 = m ac×qa x b y = 0.143×100×1×2 = 28.6kN.m/m ∴M bc3 = m bc×qa x b y = 0.117×100×1×2 = 23.4kN.m/m 根据叠加原理，得 M ac=M ac1+M ac2+M ac3 = 22.816+13.8+28.6 = 65.216kN.m/m M bc=M bc1+M bc2+M bc3 = 22.816+16.2+23.4 = 62.416kN.m/m ∵泊松比＝0.2≠0，且板边无自由边，∴必须对跨中弯矩进行调整。 跨中水平方向弯矩： 跨中竖直方向弯矩： ∵四边简支，∴板边弯矩均为0。 2. 配筋选筋计算 按板构件配筋计算（单筋计算），得 跨中水平方向：计算配筋面积＝1564mm2/m 实际选筋结果：D16@120 跨中竖直方向：计算配筋面积＝1516mm2/m 实际选筋结果：D16@130 板边：计算配筋面积＝588mm2/m 实际选筋结果：D12@190 结论： 和程序结果一致！
魔方全解(比较简单的几种解法)
三阶魔方 一、魔方构造 1．魔方共六个面，每个面有一种颜色，若以红面为正面，绿面为底面，则橙面为背面，蓝面为顶面，白面为左面，黄面为右面。2．三阶魔方由3×3×3=27块小正方体构成，其中一块在内部，没有颜色；6块只有一种颜色，叫做中心块；12块有两种颜色，叫做边块；8块有三种颜色，叫做角块。 3．只要魔方任意三块小正方体连成一线，就能旋转。 4．三阶魔方中心块的位置不会改变。 5．魔方还原的前提是有一个被转乱的魔方。 二、转向表示 为了方便表示魔方的转向，使用以下字母。（箭头所指为前面）1．一层旋转 F（Front） F 将魔方前面一层顺时针旋转90度。 Fi将魔方前面一层逆时针旋转90度。 B（Back） B 将魔方后面一层顺时针旋转90度。 Bi将魔方后面一层逆时针旋转90度。 L（Left） L 将魔方左面一层顺时针旋转90度。 Li将魔方左面一层逆时针旋转90度。 R（Right） R 将魔方右面一层顺时针旋转90度。 Ri将魔方右面一层逆时针旋转90度。 U（Up） U 将魔方上面一层顺时针旋转90度。 Ui将魔方上面一层逆时针旋转90度。 D（Down） D 将魔方下面一层顺时针旋转90度。 Di将魔方下面一层逆时针旋转90度。2．中间层旋转 M（riR） M 将魔方左面第二层顺时针旋转90度。Mi将魔方左面第二层逆时针旋转90度。E（diD） E 将魔方上面第二层顺时针旋转90度。Ei将魔方上面第二层逆时针旋转90度。S（fiF） S 将魔方后面第二层顺时针旋转90度。Si将魔方后面第二层逆时针旋转90度。3．两层旋转F Fi B Bi L Li R Ri U Ui D Di M Mi S Si E Ei 边块
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得
第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有
板壳理论试题及答案4
2015-2016学年度第一学期板壳理论期末考试 使用班级：、2 一、选择填空题。（10分） 1、薄板弯曲问题的应力σx 、σy 、τxy 沿厚度方向分布是（ B ） A 、均布分布 B 、三角分布 C 、梯形分布 D 、双曲线分布 2、边长为a 和b 的矩形薄板在x=a ，y=b 角点处反力正方向是（ B ） A 、与载荷同向 B 、与载荷反向 C 、沿X 方向 D 、沿Y 方向 3、薄板弯曲问题的物理方程有几个（ A ） A 、3 B 、6 C 、2 D 、4 4、薄板问题中Mx 、My 、Mxy 的量纲是（ A ），Fsx 、Fsy 的量纲是（ B ）。 A 、N B 、N/M C 、N/m 2 D 、N M g 二、简答题。（50分） 1、在壳体理论中采用的计算假定： 答：（1）垂直于中面方向的线应变可以不计。（2）中面的法线保持为直线，而且中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变，也就是二方向的切应变为零。(3)与中面平行的截面上的正应力远小于起垂直面上的正应力，因而它对形变的影响可以不计。（4）体力及面力均可化为作用于中面的荷载。 2、用能量法求解临界载荷的步骤方法。 答：（1）计算中面的内力：Tx F 、Ty F 、Txy F （2）设置挠度函数w （x,y ） （3）求压曲微分方程的非零解 （4）求出最大临界载荷 3、简述里茨法求固有频率的方法。 答：(1)设振型函数W(x,y) (2)将W 的表达式代入最大形变势能的表达式()2,max 2 D V w dxdy ε=??? (3)将W 的表达式代入最大动能的表达式2 2 2 ,max 122 w w E m dxdy m W dxdy t ε???== ????????
南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第2章
第二章 薄板的弯曲 （习题解答） 2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA 为简支边，并作用有分布的弯矩M 。BC 边为固支边，OC 边为简支边。AB 边为自由边。 解：OA 边：M x w D y w u x w D M w x x x x x -=??-=??+??-======0 22022220 0)(0； OC 边：0)(00 2 2022220 0=??-=??+??-======y y y y y y w D x w u y w D M w ； BC 边：00=??===a x a x x w w ； AB 边：0)(2222=??+??-===b y b y y x w u y w D M 0])2([) (2333=???-+??-=??+ ==b y b y yx y y x w u y w D x M Q 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA 边和OC 边为简支边，AB 和BC 为自由边，在点B 受向下的横向集中力P 。试证w mxy =可作为该薄板的解答，并确定常数m 、内力及边界处反力。 解：mxy w =满足平衡微分方程0/4==?D q w OC 边上：0)(00 22220 ＝；==??+??-=y y x w u y w D w
OA 边上：0)(00 22220 ＝；==??+??-=x x y w u x w D w AB 边上：0])2([0) (23332222=???-+??-=??+??-==b y b y y x w u y w D x w u y w D ； BC 边上：0])2([0)(23332222=???-+??-=??+??-==a x a x y x w u x w D y w u x w D ； 在B 点上：P m u D y x w u D b y a x -=--=???--==)1(2)( )1(2,2 ) 1(2u D P m -= ? 所以) 1(2u D Pxy w -= 0)(2222=??+??-=y w u x w D M x ；0)(2222=??+??-=x w u y w D M y ； 2 )1(2P y x w u D M xy -=???--= ； 02=???-=w x D Q x ； 02=???-=w y D Q y P R R P y x w u D R O C A A ==-=???--=；)()1(22 2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为 ACB 为 固支边，承受横向载荷0q=q x a 。试证22 222(1)x y w mx a b =+-可作为解答，求出常数 m ，最大挠度和点的弯矩。