复习与习题(薄板)

(
)
最大动能
Tmax 1 ∂w ω2 = ∫∫ m dxdy = 2 ∂t 2
2
m W 2 dxdy ∫∫
求解
W = ∑ C mWm
m
满足位移边界条件
∂ (U max − Tmax ) =0 ∂C m
Cm存在非零解
固有频率ω 固有频率ω
二、例题和习题
（一）薄板弯曲问题（a）一般解法 薄板弯曲问题（ ） 1、 均布载荷作用下周边固支椭圆板 （ 或圆板 ） 的弯曲问题 。 、 均布载荷作用下周边固支椭圆板（ 或圆板） 的弯曲问题。 （P8 、习题） 习题） 2、设一矩形薄板四边简支，板的四个角点处的支承构件发生 、设一矩形薄板四边简支， 了不相等的沉陷，研究此时板中的应力。（P9） 了不相等的沉陷，研究此时板中的应力。 ） 3、设有半径为a的简支边圆形薄板，不受横向载荷，在边界上 、设有半径为 的简支边圆形薄板 不受横向载荷， 的简支边圆形薄板， 受有均布力矩荷载M。（习题） 受有均布力矩荷载 。 习题） 4、Navier解法求解四边简支矩形板（均布荷载、集中力）。 、 解法求解四边简支矩形板 解法求解四边简支矩形板（均布荷载、集中力） （P10） ） 5、 Levy解法求解均布荷载下四边简支矩形板或两边简支两 、 解法求解均布荷载下四边简支矩形板或两边简支两 解法 边固支矩形板（例题、习题） 边固支矩形板（例题、习题） 6、周边固支圆板的轴对称弯曲问题（均布荷载、集中力） 。 、周边固支圆板的轴对称弯曲问题（均布荷载、集中力） （P18、习题） 、习题）
(
)
外力功
边界无荷载
∂w ∂M ns W = ∫∫ qwdxdy − ∫ M n ds + ∫ Qn + wds ∂n ∂s Lf Lu Ω
W = ∫∫ qwdxdy
Ω
Ritz法 法
w = ∑ ai wi ( x , y )
i
n
Π = U −W
∂Π = 0
∂Π ∂Π ∂Π = =L= =0 ∂a1 ∂a 2 ∂a n
极坐标
∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 w 1 ∂w 1 ∂ 2 w ∂ 2w 2 + +m 2 = 0 D 2 + + 2 + 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ ∂r r ∂ r r ∂θ ∂t
求解步骤
（1）薄板自由振动微分方程 ） （2）边界条件、初始条件 ）边界条件、 （3）设位移函数 w = ∑∑[Amn cosωmnt + Bmn sinωmnt ]Wmn( x, y) ） （4）代入微分方程，得到振型方程 ）代入微分方程， （5）取满足边界条件振型函数 ） （6）代入振型方程，得到振型、固有频率 ）代入振型方程，得到振型、 （7）利用初始条件，确定位移函数 ）利用初始条件，
(
)
等厚度
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 D 2 dxdy ∆U = ∫∫ ∇ 2 w − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂ x∂ y 2 Ω ∂x ∂ y
(
)
板周边固支 简支或固支矩形板
2 D 2 ∆U = ∫∫ ∇ w dxdy 2 Ω
(
)
外力功
2 ∂w 2 ∂w 1 ∂ w ∂w ∆W = − ∫∫ N x + N y ∂y + 2 N xy ∂x ∂y dxdy 2 Ω ∂x
求解
w = ∑ ai wi ( x , y )
i n
满足位移边界条件
D∇ 4W ω = mW
2
∞
∞
m=1 n=1
9、薄板弯曲问题的能量法 、
变形能
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 1 2 2 dxdy U = ∫∫ D ∇ w − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x ∂y 2 Ω ∂x ∂y
(
)
等厚度
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 D 2 dxdy U = ∫∫ ∇ 2 w − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x∂y 2 Ω ∂x ∂y
(
)
板周边固支 简源自文库或固支矩形板
2 D 2 U = ∫∫ ∇ w dxdy 2 Ω
ai
Galerkin法 法
∫∫ (D∇ w − q )δwdxdy = 0
i
w = ∑ ai wi ( x , y )
4
n
∫∫ (D∇ w − q )w dxdy = 0 (i = 1, 2 ,L, n)
4 i Ω
Ω
ai
10、薄板屈曲问题的能量法 、
变形能
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 1 2 2 dxdy ∆U = ∫∫ D ∇ w − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x ∂y 2 Ω ∂ x ∂y
6、薄板弯曲问题基本微分方程 、 三种形式：直角坐标、极坐标、轴对称） （三种形式：直角坐标、极坐标、轴对称）
∂4w ∂4w ∂4w D∇2∇2w ≡ D 4 + 2 2 2 + 4 = q ∂x ∂y ∂y ∂x
∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 w 1 ∂w 1 ∂ 2 w 2 + =q D 2 + + 2 + 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂ θ ∂r r ∂r r ∂θ
E 2 h2 ∂ 2 z − ∇ w τ zx = τ xz = 2 2(1−ν ) 4 ∂x E 2 h2 ∂ 2 z − ∇ w τ zy = τ yz = 2 2(1−ν ) 4 ∂y
E 3 3zh2 h3 2 2 ∂2 w z − + ∇ ∇ w Mxy = Myx = −D(1−ν ) σz = 2 6(1−ν ) 4 4 ∂x∂y
4
求解步骤
（1）薄板屈曲控制方程 ） （2）边界条件 ） （3）取满足边界条件挠度函数 ） （4）代入控制方程，挠度函数存在非零解，得到临 ）代入控制方程，挠度函数存在非零解， 界屈曲条件 （5）求解临界屈曲荷载 ）
8、薄板自由振动基本微分方程 、 直角坐标
∂4w ∂ 2w ∂4w ∂4w ∂ 2w D∇2∇2w + m 2 = D 4 + 2 2 2 + 4 + m 2 = 0 ∂t ∂x ∂y ∂y ∂t ∂x
d 2 1 d d 2 w 1 dw 2 + =q D 2 + dr dr r dr r dr
求解步骤
（1）薄板的微分方程 ） （2）边界条件 ） （3）取满足边界条件挠度函数 ）
• 试取挠度函数 • 验证满足边界条件
（4）代入微分方程，确定挠度函数 ）代入微分方程， （5）求解内力及应力分量 ） • Navier解法 、Levy解法 解法 解法
2 2
3、矩形薄板，边长2a、2b，四边固 、矩形薄板，边长 、 ， 承受均布载荷q 。（习题 习题） 支，承受均布载荷 0 。（习题）
w = C 1 x －a
2
(
2 2
) ( y －b )
2
2 2
2 4、矩形薄板，边长a、b，上下两边简支， 、矩形薄板，边长 、 ，上下两边简支， πy x 左边固支，右边自由，受均布载荷q 左边固支，右边自由，受均布载荷 0。求w = C 1 sin b a 挠度曲线方程和板内最大位移。（习题） 。（习题 挠度曲线方程和板内最大位移。（习题）
5、边界条件的位移表示（固支、简支、自由） 、边界条件的位移表示（固支、简支、自由） 固支边界
∂w w= = 0 ( y = 0) ∂y
简支边界
∂ 2w w = 2 = 0 ( x = 0) ∂x
自由边界
∂2 w ∂ 2w ∂3 w ∂3 w +ν 2 = 0, + (2 −ν ) 2 = 0 ( y = b) 2 3 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y
4
纵向载荷作用下小挠度屈曲问题的基本方程
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w D∇ w = N x + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂ x∂ y ∂ y2
4
1 ∂w 1 ∂ 2 w ∂ 2w ∂ 1 ∂w D∇ w = N r + 2 N rθ 2 r ∂ θ + N θ r ∂r + r 2 ∂ θ 2 极坐标 ∂r ∂r
(
)
2
等厚度
U max
板周边固支
D 2 = ∫∫ ∇ W 2 Ω
(
)
∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W 2 2 dxdy − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x∂y ∂x ∂y
U max
简支或固支矩形板
2 D 2 = ∫∫ ∇ W dxdy 2 Ω
∂ ( ∆U − ∆ W ) = 0 ( i = 1 , 2 ,L) ∂a i
ai存在非零解 临界屈曲载荷
11、薄板自由振动问题的能量法 、
最大应变能
U max 1 = ∫∫ D ∇ 2W 2 Ω ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W 2 dxdy − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x ∂y ∂x ∂ y
εz =γxz= γyz=0
4、应变、应力、内力用位移表示 、应变、应力、
Ez ∂2w ∂2w σx = − +ν 2 2 2 1−ν ∂x ∂y Ez ∂2w ∂2w σy = − +ν 2 2 2 1−ν ∂y ∂x
∂2w ∂ 2w ε x = −z 2 ,ε y = −z 2 ∂x ∂y ∂2w γ xy = γ yx = −2z ∂x∂y
法和Galerkin法） （一）薄板弯曲问题（b）近似解法（ Ritz法和 薄板弯曲问题（ ）近似解法（ 法和 法 1、周边固支承受均布载荷的矩形板。P25、27 、周边固支承受均布载荷的矩形板。 、
r 2、固支圆板，半径为a，在半径为 的中心圆 、固支圆板，半径为 ，在半径为b的中心圆 w = C1 1 2 －a 面积上受均布载荷q 。（习题 习题） 面积上受均布载荷 0。（习题）
7、薄板屈曲问题基本微分方程 、
横向载荷和纵向载荷共同作用下小挠度问题的基本方程
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w D∇ w = N x + 2 N xy + Ny +q ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2
4
横向载荷作用下大挠度问题的基本方程
∂ 2ϕ ∂ 2 w ∂ 2ϕ ∂ 2 w ∂ 2ϕ ∂ 2 w D∇ w = h 2 + −2 +q 2 2 2 ∂y ∂x ∂ x∂ y ∂ x∂ y ∂ x ∂ y ∂ 2 w 2 ∂ 2 w ∂ 2 w ∇ 4ϕ = E ∂ x∂ y − ∂ x 2 ∂ y 2
∂ 2 ∇w ∂x ∂ 2 Qy = −D ∇ w ∂y Qx = −D ∂ 2w ∂2 w Mx = −D 2 +ν 2 ∂x ∂y ∂ 2w ∂2 w My = −D 2 +ν 2 ∂y ∂x
τ xy = τ yx
Ez ∂2w =− 1+ν ∂x∂y
薄板理论复习
一、薄板理论概念、方法 薄板理论概念、 h<=b/5 1、薄板 、 2、小挠度 wmax≤h/5 、 3、薄板的三个基本假设（表达式表示） 、薄板的三个基本假设（表达式表示）
1) Kirchhoff直法线假设 直法线假设 变形前垂直于中面的直线, 变形前垂直于中面的直线 在板 变形后仍然垂直于变形后的中面，且其长度保持不变。 变形后仍然垂直于变形后的中面，且其长度保持不变。 2) 薄板中面内各点都没有平行于中面的位移。即 u0=v0=0。 薄板中面内各点都没有平行于中面的位移。 。 3) 应力分量σz与应力σx、σy 和 τxy相比属于小量。在应力应 应力分量σ 与应力σ 相比属于小量。 变的物理关系中，将正应力σ 作为次要因素予以忽略。 变的物理关系中，将正应力σz作为次要因素予以忽略。