第二章 变分法求解薄板的强度问题
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板平衡系统，在单位面积上，力为 ，而虚位
移
，
11
选取一个既能满足板的几何边界条件，又能满足内 力边界条件的挠度函数
对w的变分可由系数Cm的变分来实现
将其带入
得
由于
是任意的
12
五. 伽辽金法求解步骤
1.写出边界条件 (同逆法、半逆法、瑞次法) 2.选取挠度表达式 —互不依赖的待定系数 —满足全部边条的函数 同逆法、半逆法、瑞次法 不同的是满足全部边条
如能预先满足力的边条，可能得到更精确的解 最好不要预先满足实际上不存在的边界条件
8
例：矩形板，边界如图所示，受均布荷载 用瑞次法求挠度 设
9
求形变势能U 因为薄板具有自由边，所以用下式求U
应用瑞次法
解出百度文库
代入,求出w
10
四. 伽辽金法
伽辽金法的基本原理是虚位移原理，即一个平衡
系统的力对于在虚位移上所做的功应等于零，对于薄
13
3. 确定
4. 求内力及应力
14
伽辽金法算例
四边固支矩形薄板 边界条件：
15
选取挠度函数：
只取其中一个系数：
将其代入式
16
17
讨论
1.对于同一个固支边矩形板，承受 公式？ 2.对于四边简支矩形板，承受q=q(x,y)，用伽辽 金法求w，试选w=? 3. 瑞次法和伽辽金法的异同。
18
，分别用
瑞次法和伽辽金法求w，可否选取相同的挠度
分析边条（标出位移边条，同逆法半逆法） 选取ｗ函数，满足位移边条，待定系数 计算板形变势能
建立平衡关系，使形变势能一阶变分
——是由形变势能对系数 求偏导来实现的
6
回代ｗ定挠度 求内力
7
三. 瑞次法算例
1. 注意事项
瑞次法选取的挠度函数必须满足所有的位移边 条，不必须满足力的边条
第二部分 变分法求解薄板强度问题
1
回顾
逆法——Navier法 半逆法——Levy法 迭加法 正规解法
（双三角级数法） （单三角级数法）
2
一.薄板形变势能的计算
基于弹性体形变势能计算公式
简化为
3
用挠度w函数表示
对于没有自由边板，简化为
4
外力功 外力势能
薄板总势能
5
二.瑞次法求解步骤
移
，
11
选取一个既能满足板的几何边界条件，又能满足内 力边界条件的挠度函数
对w的变分可由系数Cm的变分来实现
将其带入
得
由于
是任意的
12
五. 伽辽金法求解步骤
1.写出边界条件 (同逆法、半逆法、瑞次法) 2.选取挠度表达式 —互不依赖的待定系数 —满足全部边条的函数 同逆法、半逆法、瑞次法 不同的是满足全部边条
如能预先满足力的边条，可能得到更精确的解 最好不要预先满足实际上不存在的边界条件
8
例：矩形板，边界如图所示，受均布荷载 用瑞次法求挠度 设
9
求形变势能U 因为薄板具有自由边，所以用下式求U
应用瑞次法
解出百度文库
代入,求出w
10
四. 伽辽金法
伽辽金法的基本原理是虚位移原理，即一个平衡
系统的力对于在虚位移上所做的功应等于零，对于薄
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3. 确定
4. 求内力及应力
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伽辽金法算例
四边固支矩形薄板 边界条件：
15
选取挠度函数：
只取其中一个系数：
将其代入式
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讨论
1.对于同一个固支边矩形板，承受 公式？ 2.对于四边简支矩形板，承受q=q(x,y)，用伽辽 金法求w，试选w=? 3. 瑞次法和伽辽金法的异同。
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，分别用
瑞次法和伽辽金法求w，可否选取相同的挠度
分析边条（标出位移边条，同逆法半逆法） 选取ｗ函数，满足位移边条，待定系数 计算板形变势能
建立平衡关系，使形变势能一阶变分
——是由形变势能对系数 求偏导来实现的
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回代ｗ定挠度 求内力
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三. 瑞次法算例
1. 注意事项
瑞次法选取的挠度函数必须满足所有的位移边 条，不必须满足力的边条
第二部分 变分法求解薄板强度问题
1
回顾
逆法——Navier法 半逆法——Levy法 迭加法 正规解法
（双三角级数法） （单三角级数法）
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一.薄板形变势能的计算
基于弹性体形变势能计算公式
简化为
3
用挠度w函数表示
对于没有自由边板，简化为
4
外力功 外力势能
薄板总势能
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二.瑞次法求解步骤