弯矩曲率关系

ct
ct
xn=n
c
h0
A
h0 h
M
s
s
t0
cb= tu
b
C xn=xc
r
T
c
sAs
为了计算方便用矩形应力 分布代替原来的应力分布
ft
tu ct s
hxcr xcr h0xcr
t c
E c c
s E s s
t ft
t o t0 2t0
ft 0.5Ectu
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析 ct
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
混凝土受拉时的应力-应变关系
t ft
t=Ect
t
o t0
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
钢筋的应力-应变关系
s
fy
s=Ess
y
s su
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct
c
h0 h
M
s b c
As b
xn sAs
采用线形的物理关系 c c Ec
拉区混凝土开裂后的处理
P
P
曲率
平均应变分布
即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂 缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
?
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理--Considère(1899)试验
N (kN)
200
混凝土：fc=30.8MPa; ft=1.97MPa;
第二章 钢筋混凝土梁柱截面的 弯矩-曲率关系
同济大学土木工程学院建筑工程系 顾祥林
一、概述
试验梁
荷载分配梁 P
外加荷载 应变计
数据采集系统
M
As
位移计
L/3
L/3
L
带定向滑 轮的千斤 顶
P
外加荷载
N
柱的竖向荷载
位移计
数据采集系统
h
As b
II I
O
As
试验柱
H
h
台座
b
超筋 平衡
III
适筋
最小配筋率
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
as b
s
b c
(1-n)h0
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的相容关系
as h/2as h h/2as
xb 矩形应力图形的 压界 区限 高受 度
b 矩形应力图形的 压界 区限 相受 对高度
bh x0 bh 10 xbc 1 ucu y1 1cyu1 E1 sfycu
六、受弯构件正截面简化分析
2. 界限受压区高度
fcu50Mp时 a ：
b
1
0.8 fy
0.0033Es
b即 nnb
b即 nnb
b即 nnb
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
ct
xn=n
c
h0
A
h0 h
y
M
s
s
ct yc
C xn
sAs
xn=nh
0
M
ct= c0
ct
yc
c
C
0
sAs（fyAs）
cb
b
ct c0。当 fcu50Mp时 a ， n2,c0 0.00,2cu0.0033
应用积分
C
c 0 b n h0 (1
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
c0=1fc
1c0
由C的大小不变
xn=nh
0
yc C
xn=nh
0
yc C
x=1xn
Mu
Mu
C1fcbnh0(113cc0u)11fc1nbh0
sAs
sAs
1
1
1
(11c0) 3cu
由C的位 置不变
ycnh0(11 2 11 11 32c cc c00uu2)0.51nh0,113 21c c 0u1 3 1 6c c0uc c0u2
平衡破坏 适筋破坏
cu xn
b
h0
y
超筋破坏
分布钢筋
h0
h
d8~1m 2 m
h0 h20
板厚的模数为10mm
四、受弯构件的试验研究
1. 试验装置
试验 梁
荷载分 配梁 P
外加荷 载
应变 计
位移
L/3
计
L/3
L
s
As bh 0
数据采集 系统
As
h
A bs
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
适筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
1 3
c0 t
c
)
yc
n h0 (1
1 2
1 12
c0
t c
1
1 3
c0
t c
2 )
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
对适筋梁，达极限状态时，
xn=nh
0
c t cu0.00,3s 3fy
M
X 0
n
1.253s
fy
c0
ct= c0
ct
yc
c
C
0
sAs（fyAs）
M0
MfyAsh0(10.412 n) c0b0h2n(0.7980.32n 9)
由大量试验结果，
xn=nh
0
Mu
yc C
x=1xn
sAs
根据统计分析
1
1.0 0.94
fcu50Mpa fcu80Mpa
中间线性插值
六、受弯构件正截面简化分析
2. 界限受压区高度
cu
xnb 界限受压区高度
平衡破坏
xn
b
nb 界限受压区相对高度 适筋破坏
h0
nb
xn b h0
cu cuy
y
超筋破坏
E1nnctAs
n 22En2E0
五、受弯构件正截面受力分析
3. 开裂阶段的受力分析
ct
ct
xn=n
c
h0
A
h0 h
y
M
s
s
yc C xn
sAs
cb
b
M较大时， c按曲 线性分布，需要进 行积分计算（略）
M0
M 0 .5c tbn h 0 2 (1 1 3n )sA sh 0 (1 1 3n )
xcr 0.5h
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct
ct
M0
xn=n
c
h0
A
h0 h
M
s
s
t0
cb= tu
b
C xn=xc
r
T
c
sAs
Mcr ftb(hxcr)(h2xcr
2E
ft
As(h0
xcr 3
)
2xcr ) 3 设 h00.9h 2,令 A2Eb Ash
M cr0.29 (1 2 2.5A )ftb2h
(ci0) (ci0)
as
h/2as h h/2as
as
As
1
c1 s
i
ci M
Zi
N
截面中心线 s n
As
b
sAs ci
sAs
对钢筋混凝土柱， 有时也可能会出现
s < 0
s s(s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
As
as 1
h/2-
i
as h h/2-
•界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量 指标
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定 P
平截面假定----平均应变意义上
As’
as’
dy
y
h
L/3
L/3
ct
L
c
s’ nh0
As
(1-n)h0
s
b c
as
b
nh c t0ycnh0s 'as'(1sn)h0
五、受弯构件正截面受力分析
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As
as 1
h/2-
i
as
Zi
h h/2-
as
截面中心线 s
n
as
As
b
c1 s ci M
N
sAs ci
sAs
ci > t0
该条带混 凝土开裂
ci > tu
该条带混凝 土退出工作
ci = 0
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
1
1 (1 1 1 3
c0 ) cu
xn=nh
0
c0=1fc
yc C
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
2
Mu
Mu
1
1
2 3
c0 cu
1
1
1 6
c0
c0 cu
sAs
sAs
3 cu
当fcu50Mp时 a ，
1100.9.68924
c
c
净距30mm 钢筋直径d
净距30mm 钢筋直径d
h h0=h-60
c25mm d
c
b
净距25mm 钢筋直径d
h h0=h-35
b
h b
2~3.5(矩形截)面 2.5~4.0(T形截面 )
d 1~ 0 2m 0(桥 m 1 梁 ~ 4 4m 中 0)m
三、截面尺寸和配筋构造
1. 板
c15mm d
1. 基本假定
混凝土受压时的应力-应 变关系
当应力较小 c时 0.3f， c时如 ，可 c Ecc
n26 1(0fcu5)0当 ,n2时， n2取
c fc
c
fc 110c
n
o
0
00.0020.5fcu501 05
00.00时 2 ， 0取 0.002
c u
u 0.0033fcu50105
u 0.00时 33，u取 0.003
在试验中测得s及Mu，于是：
sAs
M0 X 0
Mu EssAsh0(12)
21
Mu
Ess Ash0
1c 0h 0 b E ssA s11 fch 0 b
11 1fcc0hh00bbE 1fscshA0sb
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
1c0
11 1fcc0hh00bbE 1fscshA0sb
c0 0.00,2cu0.0033
11.0
1
0.8, 0.7,
fcu 50Mpa fcu 50Mpa
线性插值（《混凝土结构设计
规范》GB50010 ）
Байду номын сангаас
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
定义：
x h0
xn=nh
0
1c0
yc C
x=1xn
对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es， Mu
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
平衡破坏（界限破坏，界 限配筋率）
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
最小配筋率
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果 P
M
超筋 平衡
III
适筋
L/3 L
II 少筋 I O
最小配筋率
c
c
c
c
L/3
(c’<u) c
MI
Mcr
MII
My
(Mu) MIII
t<ft
sAs
sAs t=ft(ct =tu)
s<y
sAs
s= fyAs
y
fyAs s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计 时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同 时，混凝土压碎
as b
ci Zi
As
1
i
Zi
截面中心线 s n
As
c1 s ci M
N
sAs ci
sAs
s '
(h 2
as
'
)
s
(h 2
a s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的物理方程（对物理方程的处理）
cic(ci) cic(ci)
s s ( s )
s s (s )
t t Ec
s s Es
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct
c
h0 h
M
s b c
As b
xn
sAs
（E-1）As
s t
s Ess E Ecst Et
用材料力学的方法求解
TsAsEAst
将钢筋等效成混凝土
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
当cb =tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作（约束受拉）
CT
解一元二次方程
n f(n)
n
yc
Mu
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
cu
c0=1fc
xn=nh
xn=nh
yc
xn=nh0
0
C
0
C
A
h0 h
Mu
s
Mu
s
sAs
sAs
b
xn=nh
0
Mu
1c0
yc C
x=1xn
sAs
引入参数1、1进行简化
原则：C的大小和作用点 位置不变
Ec=25.1103MPa.
150
钢筋： fy=376MPa; fsu=681MPa; Es=205103MPa; As=284mm2.
100 50 0
裸钢筋 152 混凝土中的钢筋 N
0.001
0.002
N 915
152
0.003
平均应变 0.004
“拉伸硬 化”现象
三、截面尺寸和配筋构造
1. 梁
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
对超筋梁，达极限状态时，
ct cu0.0033
xn=nh
0
M
ct= c0
ct
yc
c
C
0
C c 0 bn h 0(1 1 30 0 ..0 00 0 ) 0 3 2 .83 c 0 bn h 0
sAs（fyAs）
T sA s E ssA s E s( 1 n h n 0 ) h 0c tA s 0 .0E 0 s1 3 n nA s 3
Zi
as
截面中心线 s
n
as
As
b
c1 s ci M
N
sAs ci
sAs
n
X0 ,
c i A is 'A s ' sA sN 0
i 1
M 0 , M i n 1c A iiZ isA s(h 2 a s)sA s( a s h 2 ) ＝ 0
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
五、受弯构件正截面受力分析
3. 开裂阶段的受力分析
ct
ct
xn=n
c
h0
A
h0 h
y
M
s
s
yc C xn
sAs
cb
b
M较小时， c可以认为 是按线性分布，忽略拉
区混凝土的作用
c
E c c
E
c
t c
y nh0
t c
y nh0
X 0
0.5ctbnh0 sAs EssAs Es (1nhn0)h0ctAs
X 0
A
s
0.5ctbcxr0.5Ectu(hxcr) sAs
xn=n h0 h0 h
c
M
s
t0
cb= tu
b
ct
C xn=xc
r
T
c
sAs
设EE Ecs ,近似认 s 为 tu
xcr
1 2 E As
bh
1 E As
h 2
bh
对一般钢筋混凝土梁 As / bh 0.5 ~ 2%,
E 6 ~ 7