武汉理工大学 高数A下 2007级 A卷及答案 理工科
2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤， 也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++，∵1i1i 2a +++是实数，∴102a -=，解得a =1．选B ．（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【解析】由a ·b =0，得a 与b 垂直，选A ．（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-，，(4,0)，得4c =，2a =，24a =，∴22212b c a =-=，∴双曲线方程为221412x y -=．故选A ．（5）设a b ∈R ，，集合{}1{0}b a b a b a+=，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=，，，，知0a b +=或0a =．若0a =则ba无意义，故只有0a b +=，1b =（若1ba=，这与0a b +=矛盾），∴1a =-，2b a -=．故选C ．（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，【解析】逐一检查，选C ．（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ D ）A ．15B ．25C ．35D ．45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45，选D ．（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ，()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=，()()g x g x -=当然有()()h x h x -=；反之则未必，故选B ．（10）21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A 1D 1 C 1B 1AD CBA （综合法）（坐标法）A 1C 1 B 1AD CB第（7）题D 1A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==，若常数项为15，令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩，64n r =⎧⎨=⎩，选D ． （11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ C）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．2()33ππ，B ．()62ππ，C ．(0)3π，D ．()66ππ-，()0x >，则第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答） 【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共35A 种；其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种，则不同的选法共有35A -1224A A =36种．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．【解析】()f x =3()xx ∈R ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比AC1A A 0（16）题。
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖北卷)
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案选择题：本题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1.B2.A3.B4.D5.C6.B7.A8.D9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分25分。
11.6；12.（2，1）（或满足a=2b的任一组非零实数对（a,b））13.- 14. 15. ；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。
解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,则由.(Ⅱ) ＝即当.17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.分组频数频率4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合计100 1.00 （Ⅱ）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+ ×0.30＝0.44. (Ⅲ)总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02＝1.4088.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.解法1：（Ⅰ）是等腰三角形，又D是AB的中点，又(Ⅱ)过点C在平面VD内作CH⊥VD于H，则由（Ⅰ）知CH⊥平面V AB.连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角在Rt△CHD 中，设,即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.解法2：（Ⅰ）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D( )，从而同理＝即又(Ⅱ)设直线BC与平面V AB所成的角为φ,平面V AB的一个法向量为n=(x,y,z)则由n·19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py 联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是=(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则= 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得＝又由点到直线的距离公式得.从而，得可取于是.即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.解法：（Ⅰ）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如衅所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,- )，于是∴平面V AB⊥平面VCD.(Ⅱ)设直线BC与平面V AB 所成的角为，平面V AB的一个法向量为则由得可取厂是又0 即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）解法4：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D( )，设V(0,0,t)(t>0).(Ⅰ) 即又(Ⅱ)设直线BC与平面V AB所成的角为设n(x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量，则取z=a,得x=y=t,可取于是即直线BC与平面V AB所成角的取值范围为（0，）.综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立.(Ⅱ)证：当n≥6,m ≤n 时，由（Ⅰ）得于是( Ⅲ) 解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，3≠ 4 ，等式不成立；当n=2时，32+42＝52，等式成立；当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x ≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.综上所述，所证不等式成立.(Ⅱ)证：当而由（Ⅰ），（Ⅲ）解：假设存在正整数成立，即有（）+ ＝1.②又由（Ⅱ）可得（）+ + 与②式矛盾，故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.下同解法1，（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有令为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线.20. 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学。
2007-2008第二学期线代试卷A及答案)
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。
………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分） 于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分） 则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分） 当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。
2007年高考数学卷(湖北.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；VAx（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．样本数据18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a a C A a B a D V a θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 22a aVD θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥． 同理2211(0)tan 0022222a aABVD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··． ADBCHV得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥．同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x yz =，，n，则由00AB DV ==，··n n ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，．可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin sin 2BC a BC θϕθ===n n ···，π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，n n ····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CBa =，，， A于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，． 12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--，222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．（Ⅱ）证：当6n m n ，≥≤时，由（Ⅰ）得111033mm n n ⎛⎫+-> ⎪++⎝⎭≥， 于是11133n nmm n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭≤11132mn mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12m n =，，，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，2121111111113332222n nnnn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2131333n nnn n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即34(2)(3)nnn n n n ++++<+．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，222345+=，等式成立； 当3n =时，33333456++=，等式成立；当4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，故4444434567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n 只有23n =，． 解法2：（Ⅰ）证：当0x =或1m =时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当1x >-，且0x ≠时，2m ≥，(1)1mx mx +>+． ①（ⅰ）当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+，因为0x ≠，所以20x >，即左边>右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当(2)m k k =≥时，不等式①成立，即(1)1kx kx +>+，则当1m k =+时，因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以20kx >．于是在不等式(1)1kx kx +>+两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，所以1(1)1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132nm mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 而由（Ⅰ），111033mm n n ⎛⎫--> ⎪++⎝⎭≥， 1111332nnm mm n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴≤．（Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式00000034(2)(3)nn n n n n ++++=+成立，即有0000002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ②又由（Ⅱ）可得00000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭00011111112222n n n -⎛⎫⎛⎫<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与②式矛盾． 故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．。
武汉理工大学2012-2013学年第二学期高等数学(A)下期中试卷及答案[1]
![武汉理工大学2012-2013学年第二学期高等数学(A)下期中试卷及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c4ef8048f01dc281e53af055.png)
(A) (B)
(C) (D)
4、设区域 由曲线 围成，则 （C）
(A) (B) (C) (D)
5、若级数 收敛，则级数(D)
(A) 收敛(B) 收敛(C) 收敛(D) 收敛
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题4分）
1、向量 两两垂直，且 ， 则 .
解：由形心公式 ，…………………2分
，…………………5分
， .…………………7分
5、计算 ，其中 是从点 沿椭圆 上方至 的一弧段.
解： ……3分
.……7分
6、计算 ，其中 为曲面 与平面 所围成的立体边界曲面的外侧.
解： …………………2分
…………………5分
.…………………7分
7、将函数 在 处展开成幂级数.
合计
满分
15
20
49
10
6
100
得分
得分
一、选择题（本题共5小题，每小题3分）
1、设 ，则（C）
（A） 与 都不存在（B） 存在， 不存在
（C） 不存在， 存在（D） 与 都存在
2、设函数 可微，且对任意 ， 都有 ， ，则使不等式 成立的一个充分条 (D) ，
2、曲面 上与平面 平行的切平面方程为 .
3、已知曲线 的方程为 ，起点是 ，终点是 ，则曲线积分
0.
4、设有球面 ，则 .
5、若 ，则幂级数 的收敛半径为 .
得分
三、计算题（本题共7小题，每小题7分）
1、设 具有二阶连续偏导数，求 .
解： …………………3分
…………………7分
2、求微分方程 的通解.
2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35 D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件AB 1B1A1D1C CD（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A ．4B ．C ．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e x xf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． （22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D（2）B（3）A（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36 （14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设SD与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AOOB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x xg x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x xg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解： （Ⅰ）由题设：11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=-+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+ 所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
A2007级试卷及答案
②随着 ω 的增大，由 0 变到 π ， B1 B2 越来越小， A1 A2 越来越大，则 H ( jω ) 越来越小； ③当 ω = π 时， A1 = 0.4, A2 = 1.4, B1 = 0, B2 = 1 ，则 H ( e jπ ) =
B1 B2 =0； A1 A2
④随着 ω 的继续增大，由 π 变到 2 π ， B1 B2 越来越大， A1 A2 越来越小，则 H ( jω ) 越来越大； ⑤当 ω = 2π 时， A1 = 1.6, A2 = 0.6, B1 = 2, B2 = 1 ，则 H ( e j 2π ) = 系统的幅频响应曲线如图所示。
r(t)=0
t +1/ 2
（3 分）
r(t)=
∫
0
1 1 1 τ dτ = (t + )2 2 4 2 1 3 3 τ dτ = t 2 − 2 4 16 1
2
t +1/ 2
(3) 1<t<3/2
r(t)=
t −1 2
∫
(4) 3/2<t<3 (5) 3<t
r(t)=
t −1
∫ 2 τ dτ = 4 (3 + 2t − t
1 3 F ( z) − 2 = + 2 z z −1 z − 3 1 3 − z z 2 + 2 （4分） F ( z) = z −1 z − 3
（1） z > 3
3 k 1 f ( k ) = − ε ( k ) + ⋅ ( 3) ε ( k ) 2 2
k
（Hale Waihona Puke 分）（2） z < 1
（1 分） （1 分）
（1 分）
2007年高考试题与答案-全国卷2数学理2007年高考试题与答案-全国卷2数学理
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学（必修 + 选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k P P C k P k n k k n n =-=-一、选择题 （1）=210sin（A ）23 （B ）23-（C ）21 （D ）21-（2）函数|sin |x y =的一个单调增区间是 （A ）)4,4(ππ- （B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ（D ）)2,23(ππ（3）设复数z 满足==+z i zi 则,21 （A ）－2+i （B ）－2－i（C ）2－i（D ）2+i （4）下列四个数中最大的是（A ）2)2(ln（B ）)2ln(ln（C ）2ln（D ）2ln（5）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,31,2CB CA CD DB AD（A ）32 （B ）31 （C ）31-（D ）32-（6）不等式0412>--x x 的解集是 （A ）（－2，1） （B ）（2，+∞） （C ）),2()1,2(+∞- （D ）),1()2,(+∞--∞（7）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 所成的角的正弦值等于（A ）46 （B ）410 （C ）22 （D ）23 （8）已知双曲线x x y ln 342-=的一条切的斜率为21，则切点的横坐标为（A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）21（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f（A ）23+-x e（B ）23-+x e（C ）32+-x e（D ）32-+x e（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种（11）设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使 ||3||902121AF AF AF F ==∠且 ，则双曲线的离心率为（A ）25（B ）210（C ）215（D ）5（12）设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA（A ）9（B ）6（C ）4（D ）3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）82)1)(21(xx x -+的展开式中常数项为 ① .（用数字作答）（14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布).0)(,1(2>σσN 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为 ② .（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2.（16）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n ，则2limn S nx ∞→= ④ .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值.（18）（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB 、SC 的中点.（Ⅰ）证明EF//平面SAD .（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求PA 、PB 的取值范围.（21）（本小题满分12分）设数列}{n a 的首项.,4,3,2,23),1,0(11 =-=∈-n a a a n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式;（Ⅱ）设,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明其中n 为正整数. （22）（本小题满分12分）已知函数x x x f -=3)(.（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明：).-a<<(afb2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数.4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C（7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B二、填空题5（13）－42 （14）0.8 （15）2+42（16）2三、解答题（17）解：（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3200,0,3ππ<<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知,sin 4sin 3sin32sin sin x x B ABC AC ===π).32sin(4sin sin x C A BC AB -==π因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)sin 21cos 23(sin 4+++=x x x y =),6566(32)6sin(34ππππ<+<++x x 所以,当26ππ=+x ,即y x ,3时π=取得最大值36.（18）解（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品” 则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故P （A ）=P （A 0+A 1）=P （A 0）+P （A 1） =)1()1(122p p C p -+-21p -=于是 0.9621p -=解得 2.02.021-==p P （舍去） （Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2.若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故.495316)0(2100280===C C P ξ.495160)1(2100130180===C C C P ξ.49519)2(2100220===C C P ξ所以ξ的分布列为ξ0 1 2P49531649516049519（19）解法一（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结AG FG ////,21CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.EF//AG ,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD . 所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形.取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A . 所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.212tan ===∠HM DH DMH 所以二面有A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则)2,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(ba F a a E a C a a B ,)2,0,(b a EF -=,取SD 的中点)2,0,0(bG ,则)2,0,(ba AG -=,,,,//,SAD EF SAD AG AG EF AG EF 平面平面⊄⊂=所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,21,0),F (0, 21,1).EF 中点M (21,21,21),.,0,),1,0,1(),21,21,21(EF MD EF MD EF MD ⊥=-=---= 又EF EA EF EA EA ⊥=⋅-=,0),0,21,0(,所以向量EA MD 和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，33||||,cos =⋅<EA MD EA MD ，所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 33.（20）解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 2314=+=r得圆O 的方程为422=+y x .（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得 A （－2，0），B （2，0） 设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++即 .222=-y x).1(24),2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x PB PA内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+24222y x y x由此得：y 2<1所以 PB PA ⋅的取值范围为).0,2[- （21）解：（Ⅰ）由 ,4,3,2231=-=-n a a n n ，， 整理得 ).1(2111---=-n n a a 又 }1{011n a a -≠-，所以是首项为11a -，公比为21-的等比数列，得 11)21)(1(1----=n n a a（Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）可知.0230><<n n b a ，故 那么， 221n n b b -+2222121)1(49)23()2323()23()23()23(-=---⨯--=---=++n n n n n n n n n n a aa a a a a a a a 又由（Ⅰ）知010221>-≠>+n n n n b b a a ，故且，因此 1+<n n b b ，n 为正整数. 方法二：由（Ⅰ）可知 .1230≠<<n n a a ， 因为 231nn a a -=+ 所以 .2)3(23111nn n n n a a a a b -=-=+++由2)23()23(1n n n n a a a a -<-≠可得 即n n n n a a a a 22)23()23(-<- 两边开平方得.2323n nn n a a a a -<-即 n b b n n ，1+<为正整数. （22）解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(32t x t y --=（Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使322)13(t a t b --=于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t有三个相异的实数根，记 ,32)(23b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=' )(6a t t -=当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根；当0=+b a 时，解方程2300)(at t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根；当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得20)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+0)(0a fb b a 即 ).(a f b a <<-。
【历年经典高考】2007年理科数学试卷及答案-全国1
2007年普通高等学校招生全国统一·考试·理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．·考试·结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-， （7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABC D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面A B C D ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于AC ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一·考试· 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． 22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤， 也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．笔记卡。
2007年湖北省高考数学试卷(理科)及解析
2007年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A．3 B．5 C．6 D．102．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）A．B．C．D．3．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：①m′⊥n′⇒m⊥n；②m⊥n⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）若数列{a n}满足（p为正常数），则称{a n}为“等方比数列”．甲：数列{a n}是等方比数列；乙：数列{a n}是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于（）A．﹣1 B．xOy C．D．8．（5分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．72条D．78条二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a=；b=．12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是．（写出一个有序实数对即可）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为．14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin2的最大值与最小值．17．（12分）分组频数[1.30，1.34） 4[1.34，1.38）25[1.38，1.42）30[1.42，1.46）29[1.46，1.50）10[1.50，1.54） 2合计100在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．（Ⅰ）求证：平面V AB⊥平面VCD；（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面V AB所成的角为．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．21．（14分）已知m，n为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．2007年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．【解答】解：由展开式通项有=C n r•3n﹣r•（﹣2）r•x2n﹣5r由题意得，故当r=2时，正整数n的最小值为5，故选项为B【点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．2．（5分）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P′（x′，y′），P（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选A法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．故选A．【点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选C．为简单题．3．（5分）【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P ﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．4．（5分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：∵AC⊥BD但A1C，BD1不垂直，故①错；∵A1B⊥AB1但在底面上的射影都是AB故②错；∵AC，BD相交，但A1C，BD异面，故③错；∵AB∥CD但A1B，C1D异面，故④错故选D【点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．5．（5分）【考点】极限及其运算．【分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．【解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，则，可见应选C法二∵∴（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]令，m分别取p和q，则原式化为∵，所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）故选C．【点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选B；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B，看错项数而错选D．6．（5分）【考点】数列的应用．【分析】由题意可知，乙⇒甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．【解答】解：由等比数列的定义，若乙：{a n}是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列{a n}是等方比数列，即即公比不一定为q，则命题乙不成立，故选B【点评】本题是易错题．由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C7．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|MF1|和|MF2|，代入答案可得．【解答】解：由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得故原式=，【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性．8．（5分）【考点】等差数列的前n项和．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．9．（5分）【考点】数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．【点评】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．（5分）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，±8），（﹣6，±8），（8，±6），（﹣8，±6），（±10，0），（0，±10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A【点评】本题主要考查直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征．是较难问题．易错点：不能准确理解题意，甚至混淆．对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）【考点】反函数．【分析】本题考查对互为反函数的两个函数关系的理解，可有两种方法，其一，求出y=2x ﹣a的反函数令其与y=bx+3的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，取特殊点求解．【解答】解：法一：函数y=2x﹣a的反函数为y=x+a，与y=bx+3对照可得a=6，b=法二：在y=bx+3上取点（0，3），得点（3，0）在y=2x﹣a上，故得a=6；又y=2x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=bx+3由此可得a=6，b=答案：a=6；b=【点评】本题主要考查反函数的概念及其对称性的应用．直接求反函数也可，较为简单．该题的易错点：运算错误导致填写其他错误答案．12．（5分）【考点】复数的基本概念．【分析】本题主要考查复数的基本概念和运算，有一般结论需要写出一个具体结果，属开放性问题．在解答过程中要注意本题的易错点：复数运算出错导致结果写错，或审题马虎，只写出a=2b，不合题意要求．【解答】解：由复数运算法则可知z2﹣4bz=a2﹣b2﹣4ab+（2ab﹣4b2）i，由题意得2ab﹣4b2=0（b≠0），∴a=2b（a≠0，b≠0），则有序实数对（a，b）可以是（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对故答案为：（2，1）或满足a=2b的任意一对非零实数对【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．13．（5分）【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y 的最小值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点时，z取得最小值为；故答案为：【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．（5分）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．【解答】解：∵由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次∴本题是一个独立重复试验∴所求概率故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率，直接用公式解决．易错点是把“恰好投进3个球”错误理解为某三次投进球，忽略“三次”的任意性．15．（5分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）当0≤t≤0.1时，可设y=kt，把点（0.1，1）代入直线方程求得k，得到直线方程；当t＞0.1时，把点（0.1，1）代入求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．（2）根据题意可知y≤0.25，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．【解答】解：（I）由题意和图示，当0≤t≤0.1时，可设y=kt（k为待定系数），由于点（0.1，1）在直线上，∴k=10；同理，当t＞0.1时，可得（II）由题意可得，即得或或t≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，在（II）中填写了其他错误答案．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）【考点】三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出θ的取值范围；（Ⅱ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f（θ）=2sin2为一个角的一个三角函数的形式，根据（Ⅰ）的范围，求出函数的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴．（Ⅱ）====．∵，，∴．即当时，f（θ）max=3；当时，f（θ）min=2．【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．17．（12分）【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（I）条件的表中给出了分组和频数，要完成频率分布表，需要把频率做出来，列出频率分布表，写上每一个频数对应的频率．（II）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10，而要求的纤度小于1.40的数据有一部分需要把一个分组分成两部分，使得这两部分的概率相等，得到结果．（III）要做纤度的期望，需要有各组数据的平均值，同一组数据常用该组区间的中点值做平均值，利用期望的公式，写出这组数据的期望．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）由频率分布表知纤度落在[1.38，1.50）中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，纤度小于1.40的概率约为．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．【点评】本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．18．（12分）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】法一：（Ⅰ）要证平面V AB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角．求出，使得直线BC与平面V AB所成的角为．法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面V AB⊥平面VCD．（Ⅱ）求出平面V AB的一个法向量，利用，求出使得直线BC与平面V AB所成的角为的θ的值．【解答】解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面V AB．连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面V AB所成的角，依题意，所以在Rt△CHD中，；在Rt△BHC中，，∴，∵，∴，故当时，直线BC与平面V AB所成得角为．解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，于是，，，．从而，即AB⊥CD．同理，即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）设平面V AB的一个法向量为n=（x，y，z）则由，得可取，又，于是=，即，∵，∴，故当时，直线BC与平面V AB所成得角为．解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），，，，，于是，，．从而，即AB⊥DC，同理，即AB⊥DV．又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．又AB⊂平面V AB，∴平面V AB⊥平面VCD．（2）设平面V AB的一个法向量为n=（x，y，z），则由得取n=（tanθ，0，1），又，于是，即．又∵，∴．故当时，直线BC与平面V AB所成的角为．【点评】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力19．（12分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（，y1+），由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．由此能求出△ANB面积的最小值．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）﹣（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则．由此入手能够求出抛物线的通径所在的直线．【解答】解：法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，﹣p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得，消去y得x2﹣2pkx﹣2p2=0．由韦达定理得x1+x2=2pk，x1x2=﹣2p2．于是==，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为（）．∵，，∴|PH|2=|O'P|2﹣|O'H|2==，∴|PQ|2=（2|PH|）2=．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=，又由点到直线的距离公式得．从而，∴当k=0时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x﹣0）（x﹣x1）+（y﹣p）（y﹣y1）=0，将直线方程y=a代入得x2﹣x1x+（a﹣p）（a﹣y1）=0，则|x1﹣x2|2=．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），则有．令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．【点评】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．20．（13分）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）﹣g（x）大于等于0，得证．【解答】解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．∵f'（x）=x+2a，，由题意f（x0）=g（x0），f'（x0）=g'（x0）．即由得：x0=a，或x0=﹣3a（舍去）．即有．令，则h'（t）=2t（1﹣3lnt）．于是当t（1﹣3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；当t（1﹣3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．故h（t）在为增函数，在为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为．（Ⅱ）设，则F'（x）=．故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）﹣g（a）=a2+2a2﹣3a2lna+a2﹣3a2lna=0，故当x＞0时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．21．（14分）【考点】用数学归纳法证明不等式；数学归纳法．【分析】解法一：（Ⅰ）直接利用用数学归纳法证明的证明方法证明即可；（Ⅱ）对于n≥6，已知，利用指数函数的性质以及放缩法证，m=1，2…，n；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，以及验证n=1，2，3，4，5时等式是否成立，即可求出满足等式3n+4m+…+（n+2）m=（n+3）n的所有正整数n．解法二：：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明．（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）利用反证法证明当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．验证同解法一．【解答】解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，x≠0时，证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得，于是=，m=1，2，n．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时，，∴．即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立；当n=2时，32+42=52，等式成立；当n=3时，33+43+53=63，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n只有n=2，3．解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x＞﹣1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx．①（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，因为x＞﹣1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵，∴，而由（Ⅰ），，∴．（Ⅲ）解：假设存在正整数n0≥6使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得=，与②式矛盾．故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．下同解法1．【点评】本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．注意放缩法的应用．第21页（共21页）。
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖北卷)
增加危机意识，提高应对实力,防止和正确处理因平安生产事故引发的群体性事务--------------------------------------------------------------------------------来源：煤监科更新时间：2010-4-27 9:29:17 点击数：70增加危机意识，提高应对实力防止和正确处理因平安生产事故引发的群体性事务荆门市安监局局长王春光随着我国政治体制、经济体制改革不断深化，速度不断加快，个人利益发生巨大改变，各种社会冲突日益凸显，由此而引发的各类群体性事务也呈易发多发之势。
现实中，由平安生产事故引发的群体性事务也已渐渐成为影响社会稳定和谐的突出问题。
正确处理好每一起平安生产事故，进而有效避开由其引发的群体性事务，既是深化实行科学发展观、构建和谐社会的内在要求，也是维护社会稳定和谐的现实要求，更是社会各界的职责。
全社会都要高度重视，增加危机意识，提高应对和解决问题的实力。
要以维护社会稳定为考量，深化“四点”相识，切实把正确处理平安生产事故作为从源头预防群体性事务发生的重点工作来对待从平安生产事故本质特征看，平安生产事故已成为引发群体性事务的重要诱因之一。
一是平安生产事故的干脆破坏性已成为引发群体性事务的重要危急源。
人是构成社会的细胞，家庭是组成社会的基本单位，人的平安与健康、家庭的平安华蜜是社会安定的基础。
2002年以来，我市已有1644人死于平安生产事故，致伤致残者更是在此之上，每年都有200多个家庭支离破裂，还有一些事故肇事者论为阶下囚。
有的因为一把大火、一场爆炸而败尽家业，有的因为人员死伤、财产毁损而背上沉重包袱，不少单位发生重特大恶性事故后，只能依靠政府“埋单”，给一方经济和社会的发展带来严峻影响。
特殊是对事故受害者来说，一旦发生事故，不单意味着受害者本人身体的残缺或生命的消逝，更意味着一个或多个家庭“精神和经济顶梁柱”的倒塌，把受害者的妻子、儿女、父母、岳父母、兄弟姐妹等亲人的生活推向无望的境地。
2007年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ） A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin cos 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132mmm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，；VAx（III ）求出满足等式34(2)(3)n nn m n n ++++=+的所有正整数n ．参考答案与解析一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1． 答案：选Ｂ解析：由展开式通项有()21323rn rrr n T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n rn r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒==-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。
2007年高考数学(理)真题(Word版)――全国2卷(试题+答案解析)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学（理）试题（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径，P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n(k)=C P k(1－P)n－k一、选择题1．（）A．B．C．D．2．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．设复数满足，则（）A．B．C．D．4．下列四个数中最大的是（）A．B．C．D．5．在中，已知是边上一点，若，则（）A．B．C．D．6．不等式的解集是（）A．B．C．D．7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（）A．B．C．D．10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）A．9 B．6 C．4 D．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm．16．已知数列的通项，其前项和为，则 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点． （1）证明平面； （2）设，求二面角的大小．20．（本小题满分12分） 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案解析一、选择题 1.答案：D 解析：sin2100 =，选D 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高数A 下 2007级 A 卷及答
案 理工科
武汉理工大学考试试题（A 卷）
课程名称：高等数学A （下） 专业班级：2007级理工科专业
备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。
一、单项选择题（35⨯=15分）
1. 曲面1=xyz 在点（1，1，1）处的切平面方程为（ ） A ．03=-++z y x , B ．03=+++z y x , C ．01=+++z y x , D ．01=-++z y x 。
2. 设)2,3,(x a =
，)4,,1(y b -= ，若b a //，则有（ ）
A ．3,1=-=y x ，
B ．6,21-=-=y x ，
C ．7,1-==y x ，
D ．6,2
1
=-=y x 。
3.
=-→y xy y x )
sin(lim
)0,1(),(（ ）.
A ．1 ，
B ．-1 ，
C ．0 ，
D ．不存在。
4. 设)(u f 为连续函数，区域{}
y y x y x D 2),(22=+=，则⎰⎰=D
dxdy xy f )(（ ）
A ．⎰⎰
----1
1
112
2
)(x x dy xy f dx ， B ．⎰⎰
-2
20
2
)(2y y dx xy f dy ，
C ．⎰
⎰
π
θ
θθθ0
sin 20
2)cos sin (dr r f d ， D ．⎰⎰
πθ
θθθ0
sin 20
2)cos sin (rdr r f d 。
5. 级数)0()cos 1()1(1
>--∑∞
=a n a
n n 的收敛情况是 （ ）．
A ．发散 ，
B ．收敛性与a 有关，
C ．绝对收敛 ，
D ．条件收敛。
二、填空题（35⨯=15分）
1. 函设)arctan(
)1(),(2xy y x y x f -+=，则=)1,1('x f 。
2.由方程22
22=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微
分dz = _.
3. 设)(x f 满足收敛定理的条件，其傅立叶级数的和函数为)(x S ，已知)(x f 在
0=x 处左连续，且2)0(,1)0(=-=S f ，则=+
→)(lim 0
x f x 。
4. 函数)ln(22y x z +=在点(1,1)处沿方向)1,1(=的方向导数l
z
∂∂= _. 5. 设L 为圆周122=+y x ，则=+⎰ds y x L
22 。
三．计算题（3⨯8=24分）
1．设),(x y x
f z =具有二阶连续偏导数，求22x
z ∂∂。
2．计算⎰⎰
+++=D
dxdy y
x xy I 2
211，其中D ：0,12
2≥≤+y y x 。
3．交换积分次序，然后计算⎰⎰
=1
sin x
x
dy y
y
dx I 四．计算题（2⨯8=16分）
1．计算⎰-+-=L
x dy y xy dx y x xe I )sin ()(2222
，其中L 是从点A （a ，0）沿上半
圆222a y x =+ )0(>a 到点B （a -，0）的弧段. 2．计算曲面积分dxdy z z dzdx y dydz x I )2(222-++=⎰⎰∑
其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 及1=z 之间的部分的下侧。
五．计算题（2⨯8=16分）
1．将x
x f +=
31
)(展开成)2(-x 的幂级数，并指出收敛域 2．已知曲线积分⎰'+++'-L
x dy x f ydx e x f x f )(]4)(6)([与路径无关， 且1)0(,0)0(='=f f ，求函数).(x f
六．（8分）欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的长宽高的尺寸 七．（6分）设幂级数∑∞
=0n n n x a 在),(+∞-∞内收敛，其和函数)(x y 满足微分方程
042=-'-''y y x y ，且1)0(,0)0(='=y y 。
（1）证明：),2,1,0(1
2
2 =+=
+n a n a n n （2）求和函数)(x y 的表达式。
07级高数A(下)(A 卷)参考答案(2008年7月)
一、A D B D C 二、2； dy dx 2-； 5； 2； π2。
三、1、解：
''1
21f f y
x z +=∂∂， 分4 ''''2
''1221211
222f f y f y
x z ++=∂∂ 分8
2、解：⎰⎰++=
D
dxdy y x
I 2
2
11
分4
rdr r d ⎰⎰
+=π
θ0
1
0211
2ln 2
π
=
分8
3、解：⎰⎰⎰⎰-=-==
1
0101021sin 1sin sin sin y y ydy y ydy dx dy y y
I 四、1、解：加边0:=y BA ，x 从a -到a ， 分4
记L 与BA 围成的区域为D ，由格林公式： ⎰⎰⎰--+=
D
a
a
x dx xe d y x
I 2
)(2
2
σ=
4
4
a π 分8
2．解：设1∑ 为1=z
)1(22≤+y x 的上侧， 分2
⇒ ⎰⎰∑+∑=
1
I ⎰⎰∑-1
⇒ ⎰⎰⎰Ω
-++=dv z y x I )1(2dxdy xy
D ⎰⎰--)1(
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
-dv zdv 22
π+ 分6
=6
53223221
0π
πππππ=
+-=+-
⎰⎰⎰z
D dxdy zdz
分8
五、1、解：5
2115
1
)(-+
=
x x f =∑∞=--0)2(5)1(51n n
n n x =∑∞
=+--01)2(5
)1(n n n n
x 分6 由
15
2
<-x 可得收敛域为73<<-x 。
分8 2、 解：由曲线积分与路径无关得：
x e x f x f x f -=-'-''4)(6)()(， 分3
其特征方程为062=--r r ，2,321-==r r 。
对应的齐次方程的通解为：x x
e C e C 2231-+。
分6
特解的形式为
x ae x f =*)(，代入原方程得：1-=a ，即x e x f -*-=)( 原方程的通解为
x x x e e C e C x f ---+=2231)(。
由1)0(,0)0(='=f f 得5
3,5221==C C 。
故x x
x e e e x f ---+=
235
352)(。
分8 六、解：设长、宽、高分别为z y x ,,米，
由题意求xyz V =在条件36223=++yz xz xy 下的最大值。
作函数：)36223(-+++=yz xz xy xyz L λ 分4
令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-++=++==++==++=0362230)(2023023'
'
'yz xz xy y x xy L z x xz L z y yz L z y x λλλλλ 解之得：3,2===z y x
驻点是唯一的，由实际问题本身可知最大值一定存在，所以当长宽高分别为2米，2米，
3米时，容积最大（为12立方米）。
分8
七、解：（1）设∑∑∞
=-∞
===
1
1
'
0)(,)(n n n
n n
n x na x y x a
x y ， ∑∑∞
=+-∞
=++=-=022
2
'
')2)(1()1()(n n n n n n x a n n x
a n n x y
代入微分方程得
∑∑∞
=∞
=++=++0
2
)42()2)(1(n n n n n
n x a n x a
n n ，比较系数得：
n n a n a n n )42()2)(1(2+=+++，即n n a n a 1
2
2+=
+ 分3 （2）由0)0(=y 可得00
=a ，再由1)0('=y 得11=a ，
由n n a n a 122+=
+，经计算归纳可得：!
1,0122n a a n n ==+， 于是20
2012!)(!)(x n n
n n xe n x x n x x y ===∑∑∞
=∞
=+。
分6。