数学： 离散型随机变量的期望学案新人教B版选修

离散型随机变量的期望【基础知识导引】１．了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

２．理解公式“E （a ε+b ）=aE ε+b ”，以及“若ε～B （n ，p ），则E ε=np ”。

能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望。

３．了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差、标准差。

４．理解公式“εεD a b a D 2)(=+”，以及“ε～B （n ，p ），则D ε=npq （这里q=１—p ）”，应会用上述公式计算有关随机变量的方差。

【教材内容全解】离散型随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律，但是分布列往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它的取值的平均水平、集中位置、稳定与波动情况、集中与离散程度等。

离散型随机变量的期望与方差就是体现上述特点的最重要的两种特征数（或数字特征）。

１．期望（１）概念分析课本从一个具体的例子入手，引入了离散型随机变量的期望的概念。

对于这个概念，我们应从以下两点来理解：１随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中所取的平均值，所以随机变量的数学期望（期望）又常称为随机变量的平均数、均值。

又由于离散型随机变量的期望的计算是从它的概率分布出发，因而期望就是离散型随机变量的概率平均值。

２课本中给出的离散型随机变量的数学期望实质上是一个不严格的定义，所以课本中涉及到的离散型随机变量所有可能取的不同值的个数是有限的，这个定义对于在离散型随机变量取有限个值是成立的。

今后不作特别说明离散型随机变量的取值均为有限个不同值。

（２）根据离散型随机变量的期望的概念和意义，在实际应用中，我们可以用它来解决一些问题和作出科学的决策。

例如，对于本章引言中的一个问题。

我们设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益为ε万元，则：P （ε=１0）=0．6，P （ε=—４）=0．４，∴E ε=１0×0．6+（—４） ×0．４=４．４（万元）即国庆节在当地有雨的概率是４0%的情况下，在商场外促销活动的经济效益的期望为４．４万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益２万元。

所以，商场应该选择商场外的促销活动。

但应注意，对于这样一次商场外的促销活动，该商场不是赚１0万，就是亏４万元。

若该商场每年国庆节均重复这样的商业活动，那么，从平均意义上说，每次可获的经济效益为这个期望值。

正如概率作为随机变量发生的频率一样，要在大量现象中才能显现出来。

（３）关于随机变量的函数η=a ε+b 的期望的计算公式的理解，关键是弄清b ax b a i +=+=εη的重要条件是i x =ε，从而有)()(i i x P b ax P ==+=εη，i=１，２，…由此可得到η的分布列，由期望的定义求得η的数学期望E η=aE ε+b 。

（４）对二项分布的数学期望E ε=np 的证明是本节的难点，可以按以下程序进行思考： 设在一次试验中某事件发生的概率p ，η是k 次试验中此事件发生的次数，令q=１—p ，则k=１时，p （η=0）=q ，p （η=１）=p ，E η=0×q+１×p=p ；k=２时，2)0(q p ==η，p （η=１）=２pq ，2)2(p p ==η，222210p pq q E ⨯+⨯+⨯=ηp p q p 2)(2=+=由此可知，在一次试验中，此事件平均发生p 次；二次试验中，此事件平均发生２p 次。

由此，我们作出猜想，“若ε～B （n ，p ），则E ε=np ”，为公式的证明作了必要的铺垫。

努力探究数学知识的发生过程，对一些数学结论逐步作出科学猜想，并给出理性的证明，有利于培养我们敢于独立思考，勇于创新的科学精神。

（５）这部分教材安排了四个例题，其中例１和例２着重帮助理解期望概念。

例１实际上指出了随机事件发生的概率p 与一次随机试验中随机事件发生的次数的期望之间的相等关系。

例２的随机变量以相等的概率61取6个不同数值，那么随机变量的期望就等于这些不同数值的平均数，在一定程度上揭示了某类随机变量的数学期望与相应数值的算术平均数之间的关系。

例３是产品抽查问题，理解起来较困难。

在这类问题中常涉及次品率、抽样是否放回的问题。

若采用放回抽样，则各次抽样时的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件。

若采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，因而各次抽样不独立。

但是直观上看，当产品的数量很大而抽查次数较少时，在抽样时抽出次品与否对后面抽样的次品率影响很小，因而也可以认为各次抽样是彼此独立的。

例４是利用二项分布的数学期望公式解决实际问的一个例子。

２．方差（１）方差的概念较难理解，因此课本采用与初中代数中介绍的一组数据的方差定义类比的方法，直接定义离散型随机变量ε的方差。

这样我们对离散型随机变量方差的概念的建立就不感到突然，而且理解起来也较容易。

方差体现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散、稳定与波动的程度。

它是继数学期望后的另一种随机变量的重要数字特征，在现实生活中有广泛的应用。

（２）方差与标准差的计算较复杂，教材只要求能根据定义求出离散型随机变量的方差和标准差。

另外，为计算方便，课本上直接给出了两个计算方差的简单公式：１εεD a b a D 2)(=+； ２如果ε～B （n ，p ），则D ε=npq 。

这两个公式只要求会应用就行了。

（３）这部分教材中安排了两个有关方差、标准差的例题。

在这两个例题中，都有21εεE E =，但21εεD D ≠。

其中例５中，1ε和2ε都以相等的概率取各个不同的数值，1ε取较为分散的数值，2ε取较为集中的数值。

421==εεE E ，41=εD ，04.02=εD 。

方差比较清楚地指出了2ε比1ε取值更集中。

由21=σε，2.02=σε，可以看出这两个随机变量取值与其期望的偏差，这个偏差我们甚至可以从随机变量的分布列通过猜想得到。

在例6中，1ε和2ε所有可能取的值是一致的，只是概率分布不一样。

21εεE E =，这时通过1εD 和2εD 来比较1ε和2ε的集中与离散程度，即两个射手射击成绩的稳定状况。

通过上述两例我们可以明确在实际问题中，常常在21εεE E =或1εE 与2εE 很接近时用1εD 和2εD 来比较两个随机变量1ε和2ε，并决定取舍。

【难题巧解点拨】例１ 交５元钱，可以参加一次摸奖。

一袋中有同样大小的球１0个，其中有8个标有１元钱，２个标有５元钱，摸奖者只能从中任取２个球，他所得奖励是所抽２球的钱数之和。

求抽奖人获利的数学期望。

分析 抽到的２个球上的钱数之和ε是个随机变量，其每一个ε取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望。

由ε与η关系为η=ε—５，利用公式E η=E ε—５可获解答。

解 设ε为抽到的２球钱数之和，则ε的可能取值如下：ε=２（抽到２个１元），ε=6（抽到１个１元，１个５元），ε１0（抽到２个５元）。

所以，由题意：4528)2(21028===C C P ε，4516)6(2101218===C C C P ε， 451)10(21022===C C P ε，45162451104516645282=⨯+⨯+⨯=εE ， 又设η为抽奖者获利可能值，则η=ε—５，所以抽奖者获利的期望为：4.1575451625-=-=-=-=εηE E 。

点拨 要分清楚是谁获利？不能忽视了先交５元才能参加这一抽奖。

因此，不能只计算E ε，最终E η的结果为负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏１．４元。

例２ 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数P106 101 103 P 105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较。

分析 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小。

解 工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ， 891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ； 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定。

点拨 期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够。

如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差。

方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定。

例３ 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ε的方差不超过41。

分析 一次试验中事件A 发生的次数ε只有两个值，因此，只要求出随机变量的概率分布，用定义就可以解决。

解 记一次试验中事件A 发生的次数ε可能值为0，１。

ε的分布列为ε0 １ p１—p p∴ε的期望E ε=0×（１—p ）+１×p=p ，ε的方差p p p p D ⨯-+-⨯-=22)1()1()0(ε 41)1(2≤-=-=p p p p 当且仅当p=１—p 即21=p 时取等号。

点拨 将文字叙述性问题，转化为数学符号表达，这是一种重要的数学抽象思维能力。

例４ 某寻呼台共有客户３000人，若寻呼台准备了１00份小礼品，邀请客户在指定时间来领取。

假设任一客户去领奖的概率为４%。

问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析 可能来多少人，是一个随机变量。

由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行。

解 设来领奖的人数ε=k ，（k=0，１，２，…，３000），所以k k k C k p --==30003000)04.01()04.0()(ε，则ε～B （３000，0．0４），那么E ε=３000×0．0４=１２0（人）>１00（人）。

答：寻呼台不能向每一位客户都发送领奖邀请。

若要使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备１２0份礼品。

点拨 数学期望反映了随机变量取值的平均水平。

用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要价值。

因此，要想到用期望来解决这一问题。

【课本习题解答】练习（P １２）１．离散型随机变量的期望是对随机变量在试验中所取得的值的平均值的一种描述，一般情况下未必等于它在试验中出现的概率最大的值。