2知识讲解 曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
第二讲：曲线的参数方程
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
x 1 cos
∴
参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
第2讲-1-曲线的参数方程第1课时
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
x＝1＋2cos α， 已知直线 y＝x 与曲线 y＝2＋2sin α，
(α 为参数)相交于
当 堂 双 基 达 标
两点 A 和 B，求弦长|AB|.
【解】
x＝1＋2cos α， 由 y＝2＋2sin α， x－1＝2cos α， 得 y－2＝2sin α.
数．圆的参数方程中，其中参数 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
参数方程的概念
课 前 自 主 导 学
x＝1＋2t 已知曲线 C 的参数方程是 2 y ＝ at
(t 为参数，
当 堂 双 基 达 标
3＝1＋2t， 2 － 1 ＝ t ，
课 时 作 业
这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
点与曲线的位置关系 满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的 位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上． (1)对于曲线 C 的普通方程 f(x，y)＝0，若点 M(x1，y1)在
因此点 A(2,0)在曲线 C 上， 对应参数 θ＝0， 同理， 把 B(－
课 前 自 主 导 学
3 3，2)代入参数方程，得 － 3＝2cos θ， 3 ＝3sin θ. 2 3 cos θ＝－ 2 ， ∴ sin θ＝ 1. 2
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
菜 单
课 时 作 业
主题2参数方程第一讲曲线的参数方程精品
课标考纲解读1、通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数方程，了解参数的意义。
2、能够进行参数方程与普通方程的互化。
考点知识清单1、参数方程的概念⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数｛：兗）），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_______ ，联系变数x,y的变数t叫做_______ ，简称 _____ 。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _____ 。
⑵_____ 联系变数x,y的桥梁，可以是一个有______ 义或______ 意义的变数，也可以是 ______ 的变数。
2、参数方程和普通方程的互化⑴曲线的_____ 和 ____ 是曲线方程的不同形式。
⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使 ______保持一致。
例题及母题迁移［例1］设质点沿原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为n rad/s试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
60［解析］显然点M的坐标x,y随着/ AOM的变化而变化，直接写出x 与y的关系式有困难，选一个新的变数0 = AOM，用B将坐标x,y 表示出来，再找0与t的关系。
［答案］解:如图2- 1-1所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0.设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知｛：舊鳥，又0青t （t以s为单位），得参数方程｛心卞旨_0）y Jsin —t—60［母题迁移］1、当方程是（）0变化时，由点P（2cos 0 ,3sir所确定的曲线的参数A{ x =2cos VA{y ：3sin 'ix z3cos 71 C{y =2sin 二B{ x =3sin JB{y =2cos '1x -」sin ■'D{y=J2cos ■'［例2］设飞机一匀速v=150m/s做水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度）⑴求炸弹离开飞机后的轨迹方程；⑵飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标［答案］解：⑴如图2- 1-2所示，A为投弹点，坐标为（0,588）, B 为目标，坐标为（x0, 0）.记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M（X,Y）为飞行曲线上任意一点，它对应时刻t.炸弹初速度V。
曲线的参数方程 课件
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
一、曲线的参数方程
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以 便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
THANKS FOR WATCHING
参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间 上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求 解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目 录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述
曲线的参数方程
特点：参数方程 可以表示出曲线 的形状和位置
应用：在物理、 工程、计算机图 形学等领域有广 泛应用
标准形式：x=f(t), y=g(t)
参数方程： x=f(t,y), y=g(t,y)
极坐标形式： x=r*cos(θ), y=r*sin(θ)
参数方程的转换： x=f(t), y=g(t) -> x^2+y^2=f^2 (t)+g^2(t)
机械设计：参 数方程用于描 述机械零件的
形状和尺寸
建筑设计：参 数方程用于描 述建筑物的形
状和结构
电子设计：参 数方程用于描 述电子设备的
形状和电路
航空航天设计： 参数方程用于 描述飞行器的
形状和结构
物理学：描述运动物体的轨迹
计算机图形学：生成复杂的三维 图形
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工程学：用于设计曲线形状的机 械零件
描述电磁场：参 数方程可以描述 电磁场的分布如 电场线、磁场线 等。
描述流体力学： 参数方程可以描 述流体力学中的 流场如速度场、 压力场等。
曲线的表示：参数方程可以表示各种类型的曲线如直线、圆、椭圆等
曲线的性质：参数方程可以方便地描述曲线的性质如曲率、长度、面积等
曲线的变换：参数方程可以方便地进行曲线的变换如平移、旋转、伸缩等 曲线的拟合：参数方程可以用于拟合各种类型的曲线如拟合实验数据、拟 合图像等
确定参数方程的 形式
找出参数方程中 的未知参数
利用已知条件求 解参数方程
验证求解结果是 否满足已知条件
示例1：求解参数方程x=t^2, y=t^3
示例3：求解参数方程x=t^2+3, y=t^3+4
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
13.2 参数方程
1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的 倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然 后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换 写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点 到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二 参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方 程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等 变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离
曲线的参数方程课件
(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
参数方程总结知识点
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。
2 第2讲 参数方程
第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t①，y ＝1tt 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1， 再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 【解】 (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l距离的最小值为7.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4，y ＝t sin π4(t为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85.2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.[基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|P A |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|P A |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x－23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t－16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2，0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x －y ＋2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4，设M ⎝⎛⎭⎫－2＋22t 1，22t 1，N (－2＋22t 2，22t 2)，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ，因为|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，所以|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，所以(22a )2－4×8a ＝8a ，所以a ＝5.3．(综合型)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.。
第2讲-1-曲线的参数方程第2课时
当 堂 双 基 达 标
y＋2 3＋sin θ ∴k＝ ＝ . x＋1 1＋cos θ
课 堂 互 动 探 究
∴sin θ－kcos θ＝k－3 即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3.(φ 由 tan φ＝－k 确定) k－3 ∴sin(θ＋φ)＝ 2. 1＋k
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-4
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 1 － k 2 要，如 sin2α＋cos2α ＝1 ，(ex＋e－x)2－(ex－ e－x)2 ＝4， ( ) 1＋k2
课 时 作 业
2k 2 ＋( 2) ＝1 等． 1＋k
菜 单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
2． 把参数方程化为普通方程时， 要注意哪一个量是参数， 并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影 响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，
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第 2 课时
课 前 自 主 导 学
参数方程和普通方程的互化
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.了解参数方程化为普通方程的 意义． 课标 2．理解参数方程与普通方程的 解读 互相转化与应用． 3．掌握参数方程化为普通方程 的方法.
课 时 作 业
菜
单
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当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
可表示不同的曲线．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示
课 前 自 主 导 学
曲线的形状：
x＝2cos θ (1) y＝2sin θ
参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。
参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。
本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。
设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。
那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。
曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。
二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。
设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。
由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。
三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。
3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。
四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。
可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。
2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。
例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线的参数方程是数学中一种描述曲线形状的方法，通过给定参数的取值范围，我们可以得到曲线上的每一个点。
本文将详细介绍曲线的参数方程及其应用。
一、什么是曲线的参数方程曲线的参数方程是将曲线上的每个点的坐标表示为参数的函数形式。
以二维曲线为例，通常用参数 t 表示，曲线上的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。
其中，x(t) 和 y(t) 分别是参数 t 的函数。
通过给定参数 t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
参数方程有许多种形式，常见的有直角坐标形式、极坐标形式和常数值形式等。
根据具体应用需求和曲线形状特点选择合适的参数方程形式。
二、直角坐标形式的参数方程直角坐标形式的参数方程将曲线上的点的坐标表示为直角坐标系中的 x 和 y 坐标分量的函数。
举个例子，我们考虑平面直线的参数方程。
假设直线通过点(x1, y1) 和 (x2, y2)，则直线上坐标为 (x, y) 的点可以表示为：x(t) = x1 + (x2 - x1) * ty(t) = y1 + (y2 - y1) * t其中 t 的取值范围为 [0, 1]，表示直线上的比例位置。
三、极坐标形式的参数方程极坐标形式的参数方程将曲线上的点的坐标表示为极坐标系中的极径和极角的函数。
以一个圆为例，其极坐标形式的参数方程为：r(t) = Rθ(t) = t * 2π其中 R 是圆的半径，t 的取值范围为 [0, 1]。
四、常见曲线的参数方程1. 直线：直线的参数方程可以使用直角坐标形式，通过给定两个端点的坐标实现参数化表达。
2. 圆：圆的参数方程可以使用极坐标形式，通过给定圆心和半径实现参数化表达。
3. 抛物线：抛物线的参数方程可以使用直角坐标形式，通过给定焦点、准线和离心率实现参数化表达。
4. 椭圆：椭圆的参数方程可以使用极坐标形式或直角坐标形式，通过给定焦点、离心率和长短轴实现参数化表达。
5. 双曲线：双曲线的参数方程可以使用极坐标形式或直角坐标形式，通过给定焦点、离心率和长短轴实现参数化表达。
曲线的参数方程
曲线的参数方程引言曲线是二维空间中的一条连续曲线，可以由不同的数学方程来描述。
常见的曲线方程有直角坐标方程和参数方程。
在参数方程中，曲线上的点由参数t决定，而不像直角坐标方程使用x和y来表示。
参数方程可以更加灵活地描述曲线的形状和运动，因此在物理学、计算机图形学和工程学等领域被广泛使用。
参数方程的定义曲线的参数方程以参数t为自变量，通过参数与直角坐标系中的点之间的关系，描述出曲线上的点的位置。
参数方程可以是二维或三维的，具体形式因曲线的形状而定。
例如，对于二维平面上的曲线，参数方程可以写作(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
举例说明以下举几个常见的曲线参数方程的例子进行说明。
1. 圆的参数方程圆可以由参数方程$(x(t), y(t)) = (r\\cos(t), r\\sin(t))$来描述，其中r是圆的半径，t是参数，范围一般取自$[0, 2\\pi]$，这样可以得到完整的圆。
2. 椭圆的参数方程椭圆可以由参数方程$(x(t), y(t)) = (a\\cos(t), b\\sin(t))$来描述，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的半径，t是参数，范围一般取自$[0, 2\\pi]$。
参数方程中的x(t)和y(t)分别决定了椭圆上的点的横坐标和纵坐标。
3. 螺线的参数方程螺线可以由参数方程$(x(t), y(t)) = (r\\cos(t), r\\sin(t), at)$来描述，其中r是螺线的半径，a是螺线的升降速度，t是参数，范围可以是任意实数。
螺线的参数方程中的x(t)和y(t)决定了螺线上的点的横坐标和纵坐标，而at决定了螺线的升降速度。
参数方程的优点相比直角坐标方程，参数方程具有以下优点：1.灵活性：参数方程可以更灵活地描述曲线的形状和运动。
通过改变参数的范围和方程中的参数关系，可以得到不同形状的曲线。
2.参数化：参数方程将曲线上的点与参数t一一对应，使得可以通过控制参数t 的变化来描述曲线的变化，方便进行动画和模拟等应用。
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曲线的参数方程【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。
2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。
3. 掌握参数方程与普通方程的互化。
4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数，即()...........()x f ty g t=⎧⎨=⎩①，并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y=，叫做曲线的普通方程。
要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。
要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等.要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2、普通方程化为参数方程（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。
（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。
要点诠释：互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。
注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x,y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。
要点四、圆的参数方程 （1）圆的参数方程定义：已知圆心为(,)a b ，半径为r 的圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数，R θ∈）； 特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆222x y r +=的参数方程为：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）。
（2）参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
要点注释：（1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径. 要点五、圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程（1）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（2）参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角。
如图所示，点P 对应的离心角为QOx θ=∠（过P 作PQ x ⊥轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q ），切不可认为是POx θ=∠。
要点注释：从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆12222=+by a x 上任意一点可设成(cos ,sin )a b θθ，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
2.双曲线的参数方程双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的参数方程为：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈且3,22ππθθ≠≠）。
（注：1sec cos θθ=） 参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角。
双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）上任意一点的坐标可设为(sec ,tan )a b θθ。
3.抛物线的参数方程抛物线22y px =(0p >)的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 是参数）。
参数t 的几何意义：抛物线上一点（除顶点）与其顶点O 连线的斜率的倒数，即1OPt k =。
要点六、参数方程的用途引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：①有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；②有些动点（x ，y ）的轨迹，坐标x 、y 的关系不好找，我们引入参变量t 后，很容易找到x 与t 和y 与t 的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。
此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。
③可以用曲线的参数方程表示曲线上的一点坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决。
圆锥曲线的参数方程主要功能就是它。
④有些曲线参数方程的参变量t 有几何意义。
若能利用参变量的几何意义解题，经常取得想不到的效果。
若利用直线标准参数方程中t 的几何意义解题，会使很多难题化易，繁题化简。
总之，我们引进参数方程才能更广泛地研究曲线。
【典型例题】类型一、求曲线的参数方程例1. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【思路点拨】从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
【解析】设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(14221--=-⊥x ky l ，l l 的方程为则直线由 ，，A x l )0k 42(1-∴的坐标为轴交点与 ，k ，B y l )240(2+的坐标为轴交点与 ∵M 为AB 的中点，)(1222421242为参数k k k y k k x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=∴消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
【总结升华】1） 本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程。
2） 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。
也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 举一反三：【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为60πrad ／s ．试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【答案】 如图所示，在运动开始时质点位于点A 处，此时t=0． 设动点M （x ，y ）对应时刻t ， 由图可知2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又60t πθ=（t 以s 为单位）， 得参数方程2cos 60(0)2sin 60x t t y tππ⎧=⎪⎪≥⎨⎪=⎪⎩． 【变式2】过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【答案】由题意分析知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程y=kx 。
把它代入抛物线方程，得。
因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得),624()624,(+∞+-⋃---∞∈x 。
设A （），B （），M （x ，y ），由韦达定理得。
由424+2k x k k y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2消去k 得224y x x =-。
又，所以),6()6,(+∞⋃--∞∈x 。
∴点M 的轨迹方程为),6()6,(,422+∞⋃--∞∈-=x x x y 。
【变式3】设飞机以匀速v=150m ／s 做水平飞行，若在飞行高度h=588 m 处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度）， （1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标．【答案】（1）如图所示，A 为投弹点，坐标为（0，588），B 为目标，坐标为（x 0，0）．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t=0．设M （x ，y ）为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t ．炸弹初速度v 0=150 m ／s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得0221588(9.8m / s )2x v t y gt g =⎧⎪⎨=-=⎪⎩， 即2150588 4.9x t y t=⎧⎨=-⎩．这是炸弹飞行曲线的参数方程．（2）炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y=0，即20588 4.90t -=，解得0230t =．由此得0150230300301643(m)x =⨯=≈．即飞机在离目标1643m （水平距离）处投弹才能击中目标． 类型二、参数方程与普通方程互化 例2．把下列参数方程化为普通方程（1）3cos 0,3sin 2x y θπθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎨ ⎪=⎝⎭⎩为参数 (2)⎩⎨⎧+==θθ2cos 2sin y x (R θ∈，θ为参数)；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t t y t t x 1211 (1t ≠-,t 为参数)；【思路点拨】（1）利用三角恒等式进行消参；（2）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把t 用x 表示，反解出()t f x =后再代入另一表达式即可消参； 【答案】（1）∵02πθ≤≤，∴0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩．22229cos 9sin 9x y θθ+=+=，即x 2+y 2=9（0≤x ≤3，0≤y ≤3）。