二元关系习题课答案
《离散数学》课后习题解答--第5章
习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬，B=⎨1,2,3⎬，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解：⑴不能构成函数。
因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。
因为dom f3≠A⑷不能构成函数。
因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。
2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？⑴A=N(N为自然数集合)，f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a＋b＜10⎬⑵A=R(R为实数集合)，f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合)，f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合)，f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合)，f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|＋1⎬解：⑴不能构成函数。
由于1+1＜10且1+2＜10，所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。
⑵能构成函数。
⑶不能构成函数。
由于12=1且(-1)2=1，所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。
⑷能构成函数。
⑸能构成函数。
3. 回答下列问题。
⑴设A=⎨a,b⎬，B=⎨1,2,3⎬。
求B A，验证|B A|= |B||A|。
第五组二元关系和函数题目及答案
第五组二元关系和函数题目及答案选择（单选）1. 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中不一定是等价关系的有( )A、R∪SB、R∩SC、R－SD、R⊕S2. 设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={, , , }∪IA，则对应于R的A的划分是（）A、{{a},{b, c},{d}}B、{{a, b},{c}, {d}}C、{{a},{b},{c},{d}}D、{{a, b}, {c,d}}3. 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )A、下界B、上界C、最小上界(D)以上答都不对4. N是自然数集定义f:N→N，f(x)=(x)mod3 (即x除以3的余数) 则f是 ( )A、满射不是单射B、单射不是满射C、双射D、不是单射也不是满射5.集合A={1 2 3 4}上的偏序关系图则它的哈斯图为（）C D B D A填空1. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)};α3, α4.2. 设A={a,b,c}考虑以下子集S1={{a,b},{b,c}} S2={{a},{a,b},{a,c}} S3={{a},{b,c}},S4={{a,b,c}}S5={{a},{b},{c}} S6={{a},{a,c}}则A的覆盖有A的划分有S1, S2, S3, S4, S5S3，S4, S53. 偏序集的哈斯图为则R={,,,,,,,,,}∪IA4. 设f,g是自然数集N上的函数?x∈N,f(x)=x+1,g(x)=2x 则fｏg(2x+15．S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，≤是S上的整除关系。
离散数学课后习题答案(第三章)
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
离散数学(第11讲)二元关系
运算“ ”称为合成运算。
XDC
12
C
S
|
S
W
注意，在合成关系中，R的后域B一定是S的 前域B，否则R和S是不可合成的。合成的结果R S 的前域就是R的前域A，后域就是S的后域C。如果 对任意的x∈A和z∈C，不存在y∈B，使得xRy和 ySz同时成立，则R S为空，否则为非空。并且， R=R =。
S
W
U
S T
=R-1∩S-1=R-1-S-1
XDC
9
C
S
|
设R是A上的二元关系，那么R是对称的当且仅 当R＝R-1 证明：充分性
a,b∈A，如<a,b>∈R，则<b,a>∈R－1， 由于R－1＝R，故<b,a>∈R，∴R是对称的。 必要性 <a,b>∈R－1，则<b,a>∈R， 又因为R是对称的，故<a,b>∈R，∴R－1R， <a,b>∈R，因R是对称的，
S
W
U
S T
∴<b,a>∈R，∴<a,b>∈R－1，∴RR－1，
从而有 R＝R－1。
XDC
10
C
S
|
结论
R是A上反对称关系的充要条件是RR－1A。
S
W
U
S T
设R和S是A上的反对称关系，则R－1、 RS、也是A的反对称关系。 R、S均是 反对称的，未必能得出RS也是反对称 的。
XDC
40--11
C
S
|
三、关系的合成运算
设R是一个从集合A到集合B的二元关
S
W
系，S是从集合B到集合C的二元关系(也可
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
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54
90
135
6
9
15
3
{6,15,90}上确界：90
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下确界：3 第6页
四、证实题
⒈ 设R是集合A上关系。证实：R是偏序关系，iff R-1∩R=IA且Ｒ=rt(Ｒ)。 ⒉ 设R是集合A上关系。证实：R是拟序关系，iff R-1∩R=Φ且Ｒ=t(Ｒ)。
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① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( 2,4) 8. {1,2,3,4,5}上全序关系一定是 关系。
①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 (1,4,5)9. {1,2,3,4,5}上良序关系一定是
① 自反 ② 反自反 ③ 对称 ④ 反对称 ⑤ 传递
(1,2,3,4)10. 设Ｒ和Ｓ都是Ａ到Ｂ关系，以下关系式中正确有：
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( 2 )⒌ 若R和S是集合A上等价关系，则以下关系中一定是等价关 系有
① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S (1,2,4)⒍ 若R是集合A上等价关系，则
① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( 1,2,3,4,5)⒎ 空集上空关系是 关系。
( 1,2,3 )⒊ 设R={<1,2>}是Ａ＝{1,2,3}上关系，则
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ ③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序
( 5 )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C关系，且R·S=Φ，那么
① R是空关系 ② S是空关系 ③ R和S都是空关系
④ R和S中最少有一个是空关系 ⑤ 以上答案都不对
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二、多项选择题
第三章书后答案详解
习题三一、单项选择题1.设系、学生、教师3个实体之间存在约束：一个系可以有多名教师，一名教师只属于一个系，一个系可以有名学生，一名学生只属于一个系。
下列E-R图中能准确表达以上约束的是（ B ）。
PID→Pname，PID→Tel，GoodsID→GoodsClassID，GoodsID→GoodsName，GoodsName→GoodsPrice，则这个关系模式的主码为（ C ）。
A) (PID,GoodsName) B) (PID,GoodsClassID)C) (PID,GoodsID) D) (PID, GoodsPrice)7.下列关于模式分解的叙述中，不正确的是（ A ）。
A)若一个模式分解保持函数依赖，则该分解一定具有无损连接性B)若要求分解保持函数依赖，那么模式分解可以达到3NF，但不一定能达到BCNFC)若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解可以达到3NF，但不一定能达到BCNFD)若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定可以达到BCNF8.下列关于部分函数依赖的叙述中，正确的是（ C ）。
A)若 X→Y，且存在属性集 Z，Z⋂Y≠φ，X→Z，则称 Y 对 X 部分函数依赖B)若 X→Y，且存在属性集 Z，Z⋂Y=φ，X→Z，则称 Y 对 X 部分函数依赖C)若 X→Y，且存在 X 的真子集 X′，X′→Y，则称 Y 对 X 部分函数依赖D)若 X→Y，且对于 X 的任何真子集 X′，都有 X′→Y，则称 Y 对 X 部分函数依赖9.设U是所有属性的集合，X、Y、Z 都是 U 的子集，且 Z=U-X-Y，下列关于多值依赖的叙述中，正确的是（ D ）。
此题不用做Ⅰ. 若 X→→Y，则 X→Y Ⅱ. X→Y，则 X→→YⅢ .若 X→→Y，且 Y'→→Y，则 X→→ Y' Ⅳ .若 X→→Y，则 X→→ZA)只有Ⅱ B)只有Ⅲ C)Ⅰ和Ⅲ D)Ⅱ和Ⅳ10.设有关系模式SC（Sno, Sname, Sex, Birthday, Cno, Cname, Grade, Tno, Tname）满足函数依赖集：{Sno→Sname, Sno→Sex, Sno→Birthday, Cno→Cname, (Sno, Cno)→Grade, Tno→Tname}。
《离散数学》第9—11章 习题详解!
第九章 代 数 系 统
９．１ 内 容 提 要
1．二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 一元运算 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的． 二元与一元运算的算符 ，倡，· ，◇，Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2．二元运算的性质 （１） 涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果 ｜S ｜＞１，则单位元不等于零元． 定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１ ．
3．代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１ ，f２ ，…，fk 组成的系统，记作 ＜S，f１ ，
f２ ，…，fk ＞． 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１ ，b１ ＞· ＜a２ ，b２ ＞＝＜a１ a２ ，b１ 倡b２ ＞ ＞为 V１ 与 V２ 的积代数，记作 V１ ×V２ ．这时也称 V１ 和 V２ 为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２ 基 本 要 求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算． ２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章 代 数 系 统
177
３．会求二元运算的特异元素． ４．掌握子代数的概念． ５．掌握积代数的定义及其性质 ６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３ 习 题 课
本章的习题主要有以下题型． 题型一 判断运算是否封闭（ 集合与运算是否构成代数系统） ，并对封闭的运算确定其性质 及特异元素
二元方程组练习题带答案
二元方程组练习题带答案二元方程组是数学中的一个重要概念，它涉及到两个未知数的关系。
在解决实际问题中，经常会遇到需要解二元方程组的情况。
为了帮助大家更好地掌握解二元方程组的方法和技巧，下面将给大家提供一些练习题，并附上答案供参考。
1. 题目：解方程组2x + 3y = 74x - y = 1解答：首先，我们可以通过消元法来解决这个方程组。
将第二个方程的两边同时乘以3，得到4x - y = 3。
然后将这个方程与第一个方程相加，消去y的项，得到6x = 10，即x = 10/6 = 5/3。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值，即2(5/3) + 3y = 7，化简得到3y = 7 - 10/3 = 21/3 - 10/3 = 11/3，即y = 11/9。
因此，方程组的解为x = 5/3，y = 11/9。
2. 题目：解方程组x + y = 52x - y = 1解答：这个方程组也可以通过消元法来解决。
首先，将第二个方程的两边同时乘以2，得到2x - y = 2。
然后将这个方程与第一个方程相加，消去y的项，得到3x = 7，即x = 7/3。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值，即7/3+ y = 5，化简得到y = 5 - 7/3 = 15/3 - 7/3 = 8/3。
因此，方程组的解为x =7/3，y = 8/3。
3. 题目：解方程组3x - 2y = 42x + y = 3解答：这个方程组可以通过消元法或代入法来解决。
我们选择代入法来解决这个方程组。
首先，将第二个方程解出y，得到y = 3 - 2x。
然后将这个表达式代入第一个方程，得到3x - 2(3 - 2x) = 4，化简得到7x - 6 = 4，即7x = 10，即x = 10/7。
将x的值代入第二个方程，可以求得y的值，即2(10/7) + y = 3，化简得到y = 3 - 20/7 = 21/7 - 20/7 = 1/7。
因此，方程组的解为x = 10/7，y = 1/7。
(完整版)《数据库原理及应用》课后习题参考答案解析
《数据库原理与应用》课后习题参考答案第一章作业参考答案1. 单选题 C C D B C2. 判断题对错错错对3填空题网状模型用户商业智能数据挖掘系统设计4简答题1）数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
数据模型是指描述事物对象的数据组成、数据关系、数据约束的抽象结构及其说明。
3）数据约束：用于描述数据结构中数据之间的语义联系、数据之间的制约和依存关系，以及数据动态变化的规则。
主流数据库采用关系图模型。
数据库典型数据模型：层次数据模型网状数据模型关系数据模型其它数据模型（如对象数据模型、键值对数据模型、列式数据模型。
）2）数据库——是一种依照特定数据模型组织、存储和管理数据的文件，数据库文件一般存放在辅助存储器以便长久保存。
数据库具有如下特点：数据不重复存放；提供给多种应用程序访问；数据结构独立于使用它的应用程序；对数据增、删、改、检索由统一软件进行管理和控制。
3）数据库(Database)是一种依照特定模型组织、存储和管理数据的数据结构。
在数据库中，不仅存放了数据，而且还存放了数据与数据之间的关系。
数据库内部元素：用户表：用户在数据库中创建的数据库表；系统表：数据库中系统自带的数据库表；视图：数据库中用于对数据进行查询的虚拟表；索引：数据库中用于加快数据查询的索引项；约束：数据库中对数据、数据关系施加的规则；存储过程：数据库内部完成特定功能处理的程序；触发器：数据库内部因数据变化自动执行的一类存储过程等等4）数据库系统包括：用户、数据库应用程序、数据库管理系统和数据库四个组成要素。
5）数据库管理系统（Database Manage System，DBMS ）——是一种专门用来创建数据库、管理数据库、维护数据库，并提供对数据库访问的系统软件。
数据库管理系统（DBMS）主要功能：创建数据库和表; 创建支持结构,如索引等; 读取数据库数据 ; 修改数据库数据; 维护数据库结构; 执行规则; 并发控制; 提供安全性;执行备份和恢复等等第二章作业参考答案1 单选题 C B D A A2. 判断题对对错对错3填空题全外连接数据约束候选键用户定义完整性4简答题外码键1）在关系模型中，使用“关系”来存储“实体”中的数据。
二元关系的基本运算与性质复习题答案
第4章 二元关系的基本运算与性质一、选择题（每题3分）1、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是自反的，1R -为其逆，则必有（ A ）A 、A I R ⊆B 、1A R R I -⊆C 、A R I =∅D 、1A R I -=∅2、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反自反的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、A R I =∅D 、1A R R I -=3、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是对称的，1R -为其逆，则必有（ C ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1R R -=D 、1A R R I -=4、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反对称的，1R -为其逆，则必有（ D ）A 、A I R ⊆B 、1A I R -⊆C 、1A I R R -⊆D 、1A R R I -⊆5、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是传递的，1R -为其逆，则必有（ B ）A 、2R R ⊆B 、2R R ⊆C 、1R R -=D 、1A R R I -=6、设R 是集合A 上的自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ B ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为17、设R 是集合A 上的反自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ A ）A 、全为0B 、全为1C 、不全为0D 、不全为18、设R 是集合A 上的反对称关系，其关系矩阵中的任一元素为ij a ，当i j ≠时，总有（ D ）A 、ij ji a a =B 、1ij ji a a +=C 、0ij ji a a =D 、若1,ij a =则0ji a =9、非空集合X 上的空关系∅不具备的性质是（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、反对称性D 、传递性11、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ）A 、R 对称，但不反对称B 、R 反对称，但不对称C 、R 对称，又反对称D 、R 不对称，也不反对称12、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ）A 、R 不自反，也不反自反B 、R 不对称，也不反对称C 、R 传递D 、R 不传递13、{1,2,3,4}A =上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><>只不具备（ C ） A 、 反自反性 B 、 反对称性 C 、对称性 D 、传递性 14、设12,R R 是集合A 上的关系，1112,R R --分别为12,R R 的逆，则下列命题错误的是（ D ）A 、1111212()R R R R ---=B 、1111212()R R R R ---=C 、1111212()R R R R ----=-D 、1111212()R R R R ---=15、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、若S R ,自反，则R S 自反B 、若S R ,对称，则R S 对称C 、若S R ,反自反，则R S 反自反D 、若S R ,反对称，则R S 反对称16、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言错误的是（ A ）A 、若S R ,自反，则R S -自反B 、若S R ,对称，则R S -对称C 、若S R ,反自反，则R S -反自反D 、若S R ,反对称，则R S -反对称17、设S R ,是集合A 上的关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、若S R ,自反，则S R 自反B 、若S R ,对称，则S R 对称C 、若S R ,反自反，则S R 反自反D 、若S R ,反对称，则S R 反对称18、设S R ,是集合A 上的自反关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 自反B 、R S 自反C 、R S -自反D 、S R 自反19、设S R ,是集合A 上的反自反关系，则下列断言错误的是（ D ）A 、R S 反自反B 、R S 反自反C 、R S -反自反D 、S R 反自反20、设S R ,是集合A 上的对称关系，则下列断言错误的是（ C ）A 、R S 对称B 、R S 对称C 、R S -对称D 、S R 对称21、设S R ,是集合A 上的传递关系，则下列断言正确的是（ A ）A 、R S 对称B 、R S 传递C 、R S -传递D 、S R 传递二、填充题（每题4分）1、设{}2,3,4A =，则其上的小于关系A <={}2,3,3,4<><>，整除关系A D ={}2,4<>．2、设关系{}1,2,2,4,3,3R =<><><>，{}1,3,2,4,4,2S =<><><>，则R S = {}1,4,2,2<><>，1()R S -= {}4,2<>，1()R S --={}2,1,3,3<><>．3、设集合,A B 分别含有,m n 个不同元素，则A 到B 的二元关系的个数为2mn ．提示：A 到B 的二元关系的个数即为()A B ρ⨯的基数．4、设集合A 含有n 个不同元素，则A 上二元关系的个数为22n ．设{}3,4,5A =上的关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R ={}3,3,3,4,3,5,4,5,5,3,5,4,5,5<><><><><><><>．5、设{}1,2,3,4A =上的二元关系{}2,4,3,3,4,2R =<><><>，其关系矩阵中的任一元素为ij m ，则24m =1，34m =0．6、{},A a b =上全域关系的关系矩阵为1111⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 7、设{},A a b =到{}1,2,3B =的关系{},1,,2,,3R a b b =<><><>，则其关系矩阵为100011⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 8、设{}1,2,3,4A =上R 的关系图如右图，则2R ={}1,1,1,3,2,2,2,4<><><><>． 9、设{},,A a b c =上二元关系R 的关系矩阵是101110111R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则=R R M 111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．三、问答题（每题6分）1、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是自反又不是反自反的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,1,2R =<><>．2、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是对称又不是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,2,1,3,2,1R =<><><>．3、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既是对称又是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,2,2,3,3R =<><><>．4、若A 上的二元关系R 是自反的，问1R -是否也是自反的？为什么？答：是的；,a A R ∀∈ 自反，,,a a R <>∈∴则 1,a a R -<>∈，即1R -也是自反的． 5、若A 上的二元关系R 是反自反的，问1R -是否也是反自反的？为什么？答：是的；因R 反自反，则,A R I =∅有11111(),A A A R I R I R I -----===∅=∅ 即1R -也是反自反的． 6、若A 上的二元关系R 是对称的，问1R -是否也是对称的？为什么？答：是的；因R 对称，则111()R R R ---==，即1R -也是对称的．7、若A 上的二元关系R 是反对称的，问1R -是否也是反对称的？为什么？答：是的；因R 反对称，则1,A R R I -⊆ 有111(),A R R I ---⊆ 即1R -也是反对称的．8、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反． 9、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；12,R R 自反，12,A A I R I R ⊆⊆∴，则12A I R R ⊆ ，故12R R 自反．10、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问21R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；21,,R R A a ∈∀自反，21,,,R a a R a a >∈<>∈<∴，从而 21,R R a a >∈<，即21R R 也是自反的．11、若A 上的二元关系1R 和2R 是自反的，问12R R -是否也是自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,,,}R a a b b =<><>， 则21,R R 是自反的，但12{,}R R a b -=<>不是自反的．12、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：是的；若1R 反自反，则1,A R I =∅于是1212()()A A R R I R I R ==∅ ，故12R R 反自反．13、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问12R R 是否也是自反的？为什么？ 答：是的；若1R 和2R 反自反，则12,A A R I R I =∅=∅ ，于是1212()()()A A A R R I R I R I ==∅ ，故12R R 反自反．14、若A 上的二元关系1R 和2R 是反自反的，问21R R 是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =，12{,,,}R R a b b a ==<><>，则21,R R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b =<><> 是自反的．15、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反自反的，问12R R -是否也是反自反的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,,,}R a a a b b b =<><><>，2{,}R a b =<>， 则2R 是反自反的，但12{,,,}R R a a b b -=<><>是自反的．（若1R 是反自反的，结论对）16、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．17、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？答：是的；12,R R 反对称，111122,A A R R I R R I --⊆⊆∴ ，则11111121212121122()()()()()()A R R R R R R R R R R R R I -----==⊆ ，故12R R 反对称．18、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R 是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ---== ，故12R R 对称．19、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问12R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,,,}R R a b b a =<><> 是对称的．20、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问12R R -是否也是对称的？为什么？答：是的；12,R R 对称，111122,R R R R --==∴，则111121212()R R R R R R ----=-=-，故12R R -对称．21、若A 上的二元关系12,R R 中有一个是反对称的，问12R R -是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,,,}R a a a b =<><>，2{,}R a b =<>，则2R 是反对称的，但12{,}R R a a -=<>是对称的．注：当1R 是反对称的，则必有12R R -也是反对称的．22、若A 上的二元关系1R 和2R 是对称的，问21R R 是否也是对称的？为什么？ 答：不一定；如{},,A a b c =，},,,{1><><=a b b a R ，},,,{2><><=b c c b R ， 则21,R R 是对称的，但},{21><=c a R R 不是对称的．23、若A 上的二元关系1R 和2R 是反对称的，问21R R 是否也是反对称的？为什么？ 答：不一定；如{},A a b =， 1{,}R a b =<>，2{,}R b a =<>，则1R 和2R 是反对称的，但12{,}R R a a =<> 是对称的．四、计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =上的关系为{,|02}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧≤-<，用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}R =<><><><><>，其关系矩阵为110011001R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2、设{1,2,3,4}A =到{1B =的关系为2{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧=， 用列举法写出关系R ，写出关系矩阵．解：{1,1,,,4,2}R =<><><>，其关系矩阵为100000001010R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．3、设({0,1})A ρ=到({0,1,2}{0})B ρ=-的二元关系为{,|}R a b a A b B a b =<>∈∧∈∧-=∅，写出关系矩阵，画出关系图．解：{,{0},{1},{0,1}}A =∅，{{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}B =，其关系矩阵为111111001101101011001001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，关系图如右图． 4、集合}4,3,2,1{=A 上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><=R ，写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110100100101R M ，R 的关系图为 因R M 对角元皆为1，故R 是自反的，不是反自反的；因R M 为对称矩阵，故R 是对称的； 因1,3,3,1R <><>∈，故R 不是反对称的；又因1,3,3,4R <><>∈，但1,4R <>∉，故R 无传递性．5、设R 是集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系，{1,1,1,2,1,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3}R =<><><><><><><><><>， 写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，R 的关系图为 因R M 对角元不全为1，也不全为0，故R 不是自反的，也不是反自反的；因R M 为非对称矩阵，故R 是反对称的，不是对称的；因2R R =，故R 是传递的．6、在实数平面上，画出关系}0R 所示区域，并判定关系的五种性质．解：关系图为对任意实数x ，直线y x =上的点在区域内，即,x x R <>∈ ，故R 自反；因R 自反且结点集非空，故R 不是反自反；若R y x >∈<,， 有 2x y -< ，则2y x -<， 即 R x y >∈<,，故R 对称； 因1,0,0,1R R <>∈<>∈，故R 不是反对称；因1,0,0,1R R <>∈<->∈ ，而 R >∉-<1,1，故R 不是传递的．五、证明题（每题10分）1、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T = ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∨<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∨∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∨<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．2、设,,R S T 是A 上的二元关系, 证明：()R S T R T S T ⊆ ．证明：,()(,,)x y R S T z x z R S z y T <>∈⇔∃<>∈∧<>∈((,,),)z x z R x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈((,,)(,,)z x z R z y T x z S z y T ⇔∃<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈(,,)(,,)z x z R z y T z x z S z y T ⇒∃<>∈∧<>∈∧∃<>∈∧<>∈,,x y R T x y S T ⇔<>∈∧<>∈ ,x y R T S T ⇔<>∈ ，故原命题成立．3、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A = ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∨∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∨∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∨∈⇔∈ ，故原命题成立．4、设S 是X 到Y 的关系， i A X ⊆，(){(,)},1,2i i S A y x x y S x A i =∃<>∈∧∈=， 证明：1212()()()S A A S A S A ⊆ ．证明：1212()(,)y S A A x x y S x A A ∈⇔∃<>∈∧∈12(,())x x y S x A x A ⇔∃<>∈∧∈∧∈12((,)(,))x x y S x A x y S x A ⇔∃<>∈∧∈∧<>∈∧∈12(,)(,)x x y S x A x x y S x A ⇒∃<>∈∧∈∧∃<>∈∧∈1212()()()()y S A y S A y S A S A ⇔∈∧∈⇔∈ ，故原命题成立．5、设R 是集合A 上的二元关系，若R 是自反的和传递的，则2R R =．证明：因R 是传递的，则2R R ⊆，因R 是自反的，则对y A ∀∈,有,y y R <>∈，于是2,,,,x y R x y R y y R x y R <>∈⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈，则2R R ⊆，故2R R =．6、设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的． 证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,,由R 的传递性知， R x x >∈<, ，此与R 反自反矛盾，故R 反对称．7、设R 是集合A 上的一个自反关系，求证：R 是对称的和传递的当且仅当,a b <>和,a c <>在R 中，则有,b c <>在R 中．证明：⑴R 是对称的和传递的⇒若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈．若,a b R <>∈，由R 对称性有,b a R <>∈，而,a c R <>∈，由R 传递性得,b c R <>∈； ⑵若,a b R <>∈，,a c R <>∈，则有,b c R <>∈⇒ R 是对称的和传递的． 若,a b R <>∈，因R 自反，则,a a R <>∈，由条件知,b a R <>∈，即R 对称； 若,a b R <>∈，,b c R <>∈，由R 对称性知,b a R <>∈，再由条件知,a c R <>∈， 即R 具有传递性．。
集合论-第三四章习题
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。 例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。 前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。 这种性质称为三歧性，故这个定理称为三歧性定理。
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。 1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？ 例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
离散数学 第4章习题答案
第4章习题答案1.解P(A)×A＝{∅，{a}，{ b}，{a，b}}×{a，b}＝{<∅，a>，<∅，b>，<{a}，a>，<{a}，b>，<{ b}，a >，<{ b}，b >，<{a，b}，a >，<{a，b}，b >}。
2. 解 (1)不正确。
例如，令A＝∅，B＝{1}，C＝{2}，则A×B＝A×C＝∅，但B＝C不成立。
(2)正确。
因为<x，y>∈(A－B)×C⇔x∈(A－B)∧y∈C⇔(x∈A∧x∉B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C∧x∉B)∨(x∈A∧y∈C∧y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧(x∉B∨y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧⌝(x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈(A×C)∧<x，y>∉(B×C)⇔<x，y>∈(A×C)－(B×C)所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。
(3)正确。
例如，令A＝∅，则A⊆A×A。
2，所以X3.解X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个mn2个。
到Y的二元关系总共有mn4. 证明 (2)因为<x，y>∈A×(B∩C)⇔ x∈A∧y∈(B∩C)⇔ x∈A∧(y∈B∧y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)⇔<x，y>∈A×B∧<x，y>∈A×C⇔<x，y>∈(A×B)∩(A×C)所以A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)。
(3) )因为<x，y>∈(A∪B)×C⇔x∈(A∪B)∧y∈C⇔(x∈A∨x∈B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C)∨x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈A×C∨<x，y>∈B×C⇔<x，y>∈(A×C)∪(B×C)所以(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)。
第四章二元关系剖析
第四章⼆元关系剖析第四章⼆元关系1.填空：1．如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|A?B |=( a )2．A?Φ=Φ?B=( b )2.设A={0,1}，B={a,b}，分别求A?B ，B?A，A?A 。
3.证明(A∪B)?C= (A?C)∪(B?C)4.名词解释1．⼆元关系：2．关系的定义域：3．关系的值域：5.X={a,b,c} Y={s} ，求X到Y的所有关系。
6.设|A|=n ，有多少个A上的关系？为什么？7.选择填空：如果|A|=m, |B|=n，则可以定义( )个从A到B的不同的关系。
供选择答案：A：mn B：m n C：n m D：2mn8.令A={2,3,5}，分别画出A上空关系Φ、完全关系(全域关系)、恒等关系I A的关系图。
再分别写出它们的矩阵。
9.设R是集合A中的关系，分别写出R是⾃反、反⾃反、对称、反对称、传递的谓词定义。
10.如何从R的关系图判断R是否有⾃反、反⾃反、对称、反对称性。
11.如何从R的关系矩阵判断R是否有⾃反、反⾃反、对称、反对称性。
12.判断下⾯命题的真值，并说明理由。
1．⼀个关系不是⾃反的，就是反⾃反的。
2．⼀个关系如果它是对称的，就不是反对称的。
反之如果它是反对称的，就不是对称的。
13.设A={1,2,3}，给定A中如下四个关系，如图所⽰。
1．判断这四个关系是否有如下性质，⽤Y表⽰有，⽤N表⽰⽆，填下表。
⾃反性反⾃反性对称性反对称性传递性R1R2R3R42．这四个关系中哪些是等价关系？是等价关系求对应的商集。
哪些是偏序关系，对偏序关系画出哈斯图。
14.令I是整数集合，I上关系R定义为：R={|x-y可被3整除}，求证R是⾃反、对称和传递的。
15.设R是集合A上的⼀个⾃反关系, 求证：R是对称和传递的，当且仅当和在R中，则有也在R中。
16. R和S都A上是⾃反、对称、传递的，求证R∩S也是⾃反、对称和传递的。
17.已知R是A上的反⾃反的、传递的⼆元关系，Ｒ是否是反对称的？为什么？18.给定A={1,2,3},A中关系R和S如下：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}分别求复合关系RοS，SοR，I AοR, RοI A。
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
THANKS
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
关系数据理论练习题与答案(详细完整版)
第一部分：一、求最小依赖集例：设有依赖集：F={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG}，计算与其等价的最小依赖集。
解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→A，CE→G }2、在F1中去掉依赖左部多余的属性。
对于CE→A，由于C→A成立，故E是多余的；对于ACD→B，由于（CD）+=ABCEDG，故A是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F2={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE →G }3、在F2中去掉多余的依赖。
对于CG→B，由于（CG）+=ABCEDG，故CG→B是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F3={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→D，CE→G }CG→B与CD→B不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。
二、求闭包例：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算（AE）+。
解：令X={AE}，X（0）=AE；计算X（1）；逐一扫描F集合中各个函数依赖，在F中找出左边是AE 子集的函数依赖，其结果是：A→D，E→C。
于是X（1）=AE∪DC=ACDE；因为X（0）≠X（1），且X（1）≠U，所以在F中找出左边是ACDE子集的函数依赖，其结果是：CD→I。
于是X（2）=ACDE∪I=ACDEI。
虽然X（2）≠X（1），但在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X （2）的子集，所以不必再计算下去，即（AE）+=ACDEI。
三、求候选键例1：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D}，F={A→B，C→D}，试求此关系的候选键。
解：首先求属性的闭包：（A）+=AB，（B）+ =B，（C）+ =CD，（D）+ =D（AB）+ =AB，（AC）+=ABCD=U，（AD）+ =ABD，（BC）+ =BCD，（BD）+ =BD，（CD）+ =CD（ABD）+ =ABD，（BCD）+ =BCD，因（AC）+=ABCD=U，且（A）+=AB，（C）+ =CD，由闭包的定义，AC→A，AC→B，AC→B，AC→D，由合并规则得AC→ABCD=U；由候选码的定义可得AC为候选码。
离散数学_傅彦_二元关系部分例题精选(可编辑)
离散数学_傅彦_二元关系部分例题精选（可编辑）第8章二元关系部分例题精选例8.1设有集合A0,1,2,3,4,在集合A上定义关系R如下:?R1x,y|x,y?A?x+y4?R2x,y|x,y?A?x0?2x3?R3x,y|x,y?A?kxky?k2?R4x,y|x,y?A?xy+2试写出每个Ri的具体的元素;画出Ri的关系图;写出Ri的关系矩阵。
解 1 ?R10,4,4,0,1,3,3,1,2,2?R20,0,0,1,0,2,0,3,0,4,1,0,1,1,1,2,1,3,1,4?R30,0,0,1,0,2,0,3,0,4,1,1,2,2,3,3,4,4?R42,0,3,1,4,22R1~R4的关系图如图8.2所示。
(3)例8.2设A1,2,3,4 R1,2,2,4,3,3 S1,3,2,4,4,2 求R?S,R?S,R-S,,R-1,RoS,SoR,R3。
解 R?S1,2,2,4,3,3,1,3,4,2R?S2,4R-S1,2,3,3A×A-R1,1,2,2,4,4,1,3,1,4,2,1,2,3,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3RoS1,2,2,4,3,3o1,3,2,4,4,21,4,2,2SoR1,3,2,4,4,2o1,2,2,4,3,31,3,4,4R21,2,2,4,3,3o1,2,2,4,3,31,4,3,3R31,4,3,3o1,2,2,4,3,33,3例8.3设R和S是定义在P上的二元关系,P是Rx,y|x,y?P?x是y的父亲Sx,y|x,y?P?x是y的母亲1RoR表示的是什么关系?2S-1oR表示的是什么关系?3SoR-1表示的是什么关系?4x,y|x,y?P?y是x的外祖母可表示为。
5 x,y|x,y?P?y是x的祖母可表示为。
解 1 RoRx,y|x,y?P?x是y的祖父2 S-1oR3 SoR-1x,y|x,y?P?x是y的妻子4 x,y|x,y?P?y是x的外祖母可表示为SoS -15 x,y|x,y?P?y是x的祖母可表示为SoR -1例8.4设A1,2,3,定义在A上的关系图如图8.3所示。
2.二元关系
2.二元关系1.按有序对的定义写出有序三元组和有序对<,c>的集合表达式。
答：根据定义=<,c>={{},{,c}}={{{{a},{a,b} }},{{{a},{a,c}},c }}2.简单，录入麻烦.略去3.<a,>=能成立吗？为什么？不能成立，根据有序n元组定义=<,c> ≠<a,>4.下列哪些等式是成立的？1）<φ, φ>=φ 不成立2）<φ, φ>={φ} 不成立3）<φ, φ>={{φ}} 成立4）<φ, φ>={φ，{φ}} 不成立5) <φ, φ>={{φ}，{φ, φ}} 成立6) ={{a}} 不成立7)={{a},{a,{a}}} 成立5．在什么条件下，下列等式成立?(1)A X B=φA=φ 或者B=φ(2)AXB=BXAA=B或者A=φ或者B=φ(3)AX(BXC)=(AXB)XCA=φ或者B=φ或者C=φ6.设A,B,C,D为任意的集合，证明下列各式成立1) (A XC)∪(BXD) 包含于(A∪B) X( C∪D)证明：对于任意∈(AXC)∪(BXD)<=>∈(AXC) ∨ ∈(BXD)<=>(x∈A∧y∈C) ∨ (x∈B∧y∈D)<=>( x∈A∨ x∈B) ∧( x∈A ∨y∈D) ∧(y∈C∨ x∈B) ∧( y∈C ∨y∈D)=>( x∈A∨ x∈B) ∧( y∈C ∨y∈D)<=>x∈(A∪B) ∧y∈( C∪D)<=>∈(A∪B) X( C∪D)2)(A --B) X(C --D) 包含于(AXC)—(BXD)证明：对于任意∈(A --B) X(C --D)<=>x∈(A--B) ∧y∈(C--D)<=>(x∈A ∧x￠B)∧ (y∈C∧y￠D)<=>( x∈A∧y∈C) ∧(x￠B∧y￠D)=>∈AXC ∧￠BXD<=>∈AXC ∧∈~(BXD)<=>∈(AXC)∩~(BXD)<=>∈(AXC)—(BXD)7,设A,B,C为任意集合，证明下列等式成立1）（A--B）XC=(AXC)—(BXC)证明对于任意我的证明是：<=>(x∈A ∧x￠B)∧ y∈C<=>((x∈A ∧y∈C)∧x￠B)∨F<=>((x∈A ∧y∈C)∧(x￠B ∨y￠C)<=>∈A×C ∧ ～(x∈B ∨ y∈C)<=>∈A×C ∨ ～∈B×C: <=>∈AXC ∧∈~(BXC): <=>∈(AXC)∩~(BXC): <=>∈(AXC)—(BXC)（谢谢akaru）2)(A⊕B)XC=(AXC) ⊕(BXC)证明：对于任意∈(A⊕B)XC<=>x∈(A⊕B) ∧y∈C<=>( x∈(A∩~B) ∨x∈(~A∩B)) ∧y∈C<=>(( x∈A∧x∈~B)∨(x∈~A∧ x∈B))∧y∈C<=> ((x∈A∧y∈C)∧(x∈~B∧y∈C)) ∨((x∈B∧y∈C)∧(x∈~A∧y∈C))<=>(∈(AXC) ∧∈~(BXC)) ∨(∈(BXC) ∧∈~(AXC))<=>∈((AXC)—(BXC)) ∨∈((BXC)—(AXC))<=>∈((AXC)—(BXC)) ∪((BXC)—(AXC))<=>∈(AXC) ⊕(BXC)8.设A,B为两集合，在什么条件下，有AXB包含A成立？等号能成立吗？答：当A=φ∨ B=φ时成立当A=φ时，等号成立9.设A是n元集，B是m元集，A到B共有多少个不同的二元关系？答：有 2^mn个不同的二元关系设A={a,b,c},B={1}所有A到B二元关系为：A1=φ,A2={},A3={},A4={},A5={,}A6={,},A7={,},A8{,,}同理可列出8个B</a,</a,到A的二元关系10.设R是非空集合A上的二元关系，证明fld R=∪∪R证明：1)如果R为空集，命题显然成立2)设z∈fldR, 那么必存在∈R∨∈R如果∨∈R=>{z,x}∈∪R(根据定义因为∨∈R,且{z,x}∈∧，所以{z,x}∈∪R)=>z∈∪∪R(根据定义因为{z,x}∈∪R,且z∈{z,x}，所以z ∈∪R{z,x}∈R)所以fldR包含于∪∪R2．设z∈∪∪R=>必存在集合K1∈∪R∧z∈K1(定义)=>必存在集合K2∈R∧K1∈K2∧z∈K1=>z∈fldR(根据二元关系转化为集合那种形式的定义)所以∪∪R包含于fldR所以fld R=∪∪R11，设R1={,,,},R2={,,,},A={a,c}求1）R1∪R2 R1∩R2 R1⊕R2R1∪R2={,,,,,,}R1∩R2={}R1⊕R2={,,,,,}2)domR1,domR2,dom(R1∪R2) domR1={a,b,c}domR2={a,b,d}dom(R1∪R2)={a,b,c,d}3)ranR1,ranR2,ranR1∩ranR2 ranR1={b,c,d}ranR2={b,c,d}ranR1∩ranR2={b,c,d}4) R1↑A,R1↑{c},(R1∪R2) ↑A,R2↑A R1↑A={,,}R1↑{c}={,}(R1∪R2)↑A={,,,}R2↑A={}5)R1[A],R2[A],R1∩R2[A]R1[A]={b,c,d}R2[A]={c}R1∩R2[A]= φ6)R1oR2,R2oR1,R1oR1R1oR2={,,}R2oR1={,,,,}R1oR1={,,}12.设R={<φ, {φ,{ φ}}>,<{φ},φ>，<φ, φ>}，求1)R^-1R^-1={<{φ,{ φ}},φ>,<φ,{ φ}>,<φ, φ>}2) RoRRoR={<{φ},φ>，<φ, {φ,{ φ}}>,<φ, φ>,<{φ}, {φ,{ φ}}>} 3)R↑φ ,R↑{φ}. R↑{{φ}}, R↑{φ, {φ}}R↑φ= φR↑{φ}={<φ, {φ,{ φ}}>,<φ, φ>}R↑{{φ}}={<{φ},φ>}R↑{φ, {φ}}=R4)R[φ] ,R[{φ}]. R[{{φ}}], R[{φ, {φ}}]R[φ]= φR[{φ}]={ {φ,{ φ}}, φ }R[{{φ}}]={φ}R[{φ, {φ}}]=ranR5)domR,ranR,fldRdomR={φ,{φ}}ranR={{φ,{ φ}},φ}fldR={φ,{φ},{φ,{ φ}}}13.设R是非空集合A上的二元关系，证明：1）R∪R^-1是包含R的最小的对称二元关系证明：1)显然R包含于R∪R^-12)对于任意∈ R∪R^-1<=>∈R∨∈R^-1<=>∈R^-1∨∈R<=>∈R∪R^-1所以R∪R^-1是对称二元关系3)假设存在R包含于R’，|R’|<|R∪R^-1|,R’也是对称二元关系存在∈R∪R^-1,且￠R’∈R∪R^-1<=> ∈R∨∈R^-1<=> ∈R∨∈R=>∈R’∨∈R’如果∈R’,与假设矛盾如果∈R’,因为R’是对称的，所以∈R’,与假设矛盾所以不存在R’所以R∪R^-1是包含R的最小的对称二元关系2）R∩R^-1是含与R的最大的对称的二元关系证明：1)显然R∩R^-1包含于R2)对于任意∈ R∩R^-1<=>∈R∧∈R^-1<=>∈R^-1∧∈R<=>∈R∩R^-1所以R∩R^-1是对称二元关系4)假设存在R’包含于R，R∩R^-1真包含于R’,R’也是对称二元关系存在∈R’,且￠R∩R^-1∈R’=>∈R( R’包含于R)∈R’=>∈R’=>∈R=>∈R^-1所以∈R∩R^-1,矛盾，所以R∩R^-1是含与R的最大的对称的二元关系14.设R是非空集合A上的二元关系，若对于任意x,y,z∈A,如果xRy yRz则xRz，则称R是A上的反传递的二元关系1）举一些反传递关系的例子R={<1,2>,<2,3>}2)证明,R是反传递的当且仅当R^2∩R=φ其中R^2=RoR证明：1)必要性：∈R^2<=>存在z(∈R∧∈R )=>￠R所以R^2∩R=φ2)充分性：对于任意∈R∧∈R<=>∈R^2=>￠R所以 R是反传递的15，设A为一集合，R,S,T包含于P(A) X P(A),其中R={|x,y∈P(A),x真包含于y}R是反自反，传递，反对称（因为根据定义，前提不存在）S={|x,y∈P(A),x∩y=φ}S是对称的T={|x,y∈P(A),x∪y=A}T是对称的16．设A={0,1,…,12},R,S包含于AXA，其中R={|x,y∈A,x+y=10}S={|,xy∈A,x+3y=12}1）用列举法表示R,SR={<0,10>,<1,9>,<2,8>,<3,7>,<4,6>,<5,5>,<6,4>,<7,3>,<8,2>,<9,1>,<10,0>}S={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>,}2)分析R,S的性质R是对称的S是传递的,反对称的17，设A={0,1,2,3},R包含于AXA,且R={|x=y∨x+y∈A}求R的关系矩阵关系图，并讨论R的性质R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1, 2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}R是自反的，对称的19 ,R1是自反的R2反对称，传递R3,反自反，对称R4无任何性质20,21题，易，略去22.设R是非空集合A上的二元关系，试证明,如果R是自反的，并且是传递的，则RoR=R,但其逆不为真.证明：1)对于任意∈RoR<=>存在z(∈R∧∈R)=>∈R所以 RoR包含于R对于任意∈R=>∈R∧∈R=>∈RoR所以R包含于RoR2)举反例A={1,2,3}R={<1,1>}RoR={<1,1>}=R所以R是传递的，但不是自反的23.设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意∈RoS<=>RoS<=>存在z(∈S ∧∈R)<=>存在z(∈S ∧∈R)<=>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意∈RoS<=> ∈SoR<=>存在z(∈R ∧∈S)<=>存在z(∈S ∧∈R)<=>∈RoS所以：RoS具有对称性。
集合与二元关系
集合与关系部分习题参考答案习题三3.1 （1）假（2）真（3）真（4）真（5）假（6）假（7）假（8）真（9）假（10）真3.2 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11}(2)A∩C={3}(3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}(4)A－B={1,9}(5)C－D={3,6,12}(6)BÅD ={3,4,5,7,8,11}3.3 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11} (2)A∩C={3} (3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}(4)A－B ={1,9} (5)C－D ={3,6,12} (6)BÅD ={3,4,5,7,8,11} 3.4(1)如下图（2）（3）AB C（4）3.5（1）)P={Æ,{Æ}}(A（2）)P={Æ,{{1}},{1},{{1},1}}(A（3）)P={Æ,{Æ},{{1}},{{2}},{{1,2}},{Æ,{1}},{Æ,{2}},{Æ,{1,2}},(A{{1},{2}},{{1},{1,2}},{{2},{1,2}},{Æ,{1},{2}},{Æ,{1},{1,2}},{Æ,{2},{1,2}}, {{1},{2},{1,2}},A}（4）P={Æ,{{1,1}},{{2,1}},{1,2,1},{{1,1},{2,1}},{{1,1},{1,2,1}},{{2,1},{1,2, )(A1}},A}3.6 原式=((A∪(B－C))∩A)∪(B－(B－A))=A∪（A∩B）=A3.7（1）假。
例如，A={1,2},B={1,3},C={2,3}不成立（2）假。
例如，A=Æ, B={1},C={2}不成立3．8证明(A∪C)-(B∪C)=A-B-C。
（原题有误，右式少了C）证明：(A ∪C )-(B ∪C )= (A ∪C ) ∩C B=(A ∪C ) ∩C B =B C C A ))(( =B C A=C B A --3.9（1）(A ∩B )-C =A ∩(B -C )，右式左式=-===)()(C B A C B A C B A（2）A ∪(B -A )=A ∪B ， 右式左式=====B A E B A A A B A A B A ))()()()(（3）A -(A -B )=A ∩B ， 右式左式=====B A B A A A B A A B A A )()()(()(（4）A -(B -C )=(A -B )∪(A ∩C )， 右式左式====)()()(()(C A B A C B A C B A（5）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C )， 右式左式=--===)()()()())(C B C A C B C A C B A（6）A ∪B =A ∪(B ∪(A ∩B ))。
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3.设Ａ={3,6,9,15,54,90,135,180}，｜为自然数的整除 关系。画出<Ａ;｜>的Ｈasse图，并求{6,15,90}的 上、下确界。
180
54
90
135
6
9
15
3
{6,15,90}的上确界：90 下确界：3
四、证明题
⒈ 设R是集合A上的关系。证明：R是偏序关系， iff R-1∩R=IA且Ｒ=rt(Ｒ)。
① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
(1,2,3,4)10. 设Ｒ和Ｓ都是Ａ到Ｂ的关系，下列关系式中正确的有：
① (Ｒ∪Ｓ)-1＝Ｒ-1∪Ｓ-1
③ (Ｒ－Ｓ)-1＝Ｒ-1－Ｓ-1
② (Ｒ∩Ｓ)-1＝Ｒ-1∩Ｓ-1
④ (Ｒ⊕Ｓ)-1＝Ｒ-1⊕Ｓ-1
三、计算与作图
1.若集合Ａ={1,2,3,4,5}上的等价关系Ｒ ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<1,2>,<2,1>,<3,4>,<4,3 >}，求商集Ａ/Ｒ 解：Ａ/Ｒ= {{1,2},{3,4},{5}} 2.Ｒ为集合Ａ={1,2,3,4,5}上的等价关系，已知商集Ａ/Ｒ ={{1,2},{3},{4,5}}，求R 解：Ｒ=ＩA ∪ {<1,2>,<2,1>,<5,4>,<4,5>}
二、多项选择题 (1,2 )⒈ 下列说法中正确的有： ① 任何集合都不是它自身的元素 ③ 若Ａ×Ｂ＝Φ，则Ａ＝Ｂ＝Φ 是空集 ② 任何集合的幂集都不是空集 ④ 任意两集合的迪卡尔积都不
( 4,5 )⒉ {1,2,3,4,5}上的关系R={<1,1>,<1,3>,<2,3>}是 ① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
⒉ 设R是集合A上的关系。证明：R是拟序关系， iff R-1∩R=Φ且Ｒ=t(Ｒ)。
( 2 )⒌ 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中一定是等价 关系的有 ① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S (1,2,4)⒍ 若R是集合A上的等价关系，则 ① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( 1,2,3,4,5)⒎ 空集上的空关系是 关系。 ① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( 2,4) 8. {1,2,3,4,5}上的全序关系一定是 关系。 ①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 (1,4,5)9. {1,2,3,4,5}上的良序关系一定是
( 1,2,3 )⒊ 设R={<1,2>}是Ａ＝{1,2,3}上的关系，则
① rst(R)是等价关系 ② Ｒ10＝Φ ① R是空关系 ② S是空关系 ③ r(R)是偏序 ④ tr(R)是良序 ③ R和S都是空关系 ⑤ 以上答案都不对 ( 5 )⒋ 设R和S分别是A到B和B到C的关系，且R·S=Φ，那么
一. 判断题
( F)⒈ 设A、B、C和D是四个非空集合, 且A×CB×D，则AB且CD。 ( F )⒉ 设A、B、C和D是四个集合，则A×C=B×D，iff A=B且C=D。 ( F ) 3. 传递关系的对称闭包仍是传递的。 ( F ) 4. 非空集合上的关系不是对称的，则必是反对称的。 ( T ) 5. 非空集合上的自反关系必不是反自反的。 ( F ) 6. 若R和S是二个有完全相同的二元组的集合，则称它们是相等的二 元关系。 ( F ) 7. 设A是一个非空集合，则A上的等价关系都不是偏序关系。 ( T ) 8. 有限集上的全序关系必是良序关系。 ( F ) 9. 有限集上的偏序关系必是全序关系。 ( F ) 10. <A;R>是偏序集，则Ａ的任何非空子集必有极小元。 ( F ) 11. <A;R>是偏序集，则Ａ的非空子集Ｂ的上确界必是Ｂ的最大元。 ( F ) 12. <A;R>是全序集，则Ａ的任何非空子集必有唯一极小元。 ( F ) 13. <A;R>是全序集，则Ａ的非空子集Ｂ的下确界必是Ｂ的最小元。