拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中，直接计算

是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

一、拉氏变换的基本概念

定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分0

()pt f t e dt +∞

-⎰

在P 的某一区域内收敛，则

此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即

dt

e t

f P F pt ⎰

∞

+-=

)()( （12.1）

称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的拉氏变

换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作

)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：00

00

[]()[]pt

pt

pt pt a a a L at ate

dt td e e e dt p p p +∞

+∞+∞---+∞-=

=-=-+⎰

⎰⎰

二、单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电

流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变化率，即

t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)

()(lim )()(0-+==

→，

所以，当0t

≠时，()0i t =；当0t =时，

∞

=-=-+=→→)1

(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引

进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。

定义12.2

设0,

01(),00,

t t t t εδεε

ε<⎧⎪⎪

=≤≤⎨⎪>⎪⎩，当0ε→时，()t εδ的极限0

()lim ()t t εεδδ→=

称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为δ-函数。

当0t ≠时，()t δ的值为0；当0t =时，()t δ的值为无穷大，即0,

0(),0t t t δ≠⎧=⎨∞=⎩

。

显然，对任何0ε>，有0

1

()1t dt dt εεδε

+∞-∞

==⎰⎰，所以()1t dt δ+∞-∞

=⎰。

工程技术中，常将δ-函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将δ-函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示δ-函数的积分，叫做δ-函数的强度。

例12.2 求单位脉冲信号()t δ的拉氏变换。

解：根据拉氏变换的定义，有

dt

e dt e

dt e

dt e

t t L pt pt

pt

pt

-→∞

+-→-→∞+-⎰

⎰

⎰

⎰

=⋅+=

=

ε

εε

εε

εε

ε

δδ0

1

lim

0lim

)1

lim

()()]([

1

1

lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000

==''-=

-=

-

=-→-→-→-→ε

εε

εε

εεεεε

εp p p pt

pe p e p e

p p

e ，

即

1)]([=t L δ。

例12.3 现有一单位阶跃输入0,

0()1,

t u t t <⎧=⎨

≥⎩，求其拉氏变换。

解：00

011

[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p

+∞

+∞

---+∞=

==-

=⎰

⎰，(0)p >。 例12.4 求指数函数()at

f t e =（a 为常数）的拉氏变换。

解：()001

[]at

at pt p a t L e e e dt e dt p a

+∞

+∞

---=

==

-⎰⎰，()p a >，即 类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；

22

[cos ](0)p

L t p p ωω=>+。 三、拉氏变换的性质

拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。

性质12.1 (线性性质) 若1a ，2a 是常数，且11[()]()L f t F p =，22[()]()L f t F p =，则

)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += （12.2）

证明：