换元法

换元法
换元法：又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。

使用换元法时要注意“新元”的范围，“新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。

换元的总目的是化繁为简，具体地说是：化超越为代数，化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次等等。

例1. 分解因式
分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。

解：法一：对和换元，用换元法解
设
则原式
法二：用换元法来解
设，则
原式
法三：将原式整理成关于x的二次三项式
原式
在函数中的应用
1、求函数的定义域
例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x²)的定义域。

解：设x²=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x²≦3,所以-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式
例3、已知f(x+1)=x²-2x,求f(x)的解析式
解：设x+1=t,则x=t-1, 所以
f(t)=(t-1)²-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x²-4x-1。

例4、已知f(x+1/x)=x²+1/x², 求f(x)的解析式
解：设x+1/x =t，则x²+1/x²=(x+1/x)²-2，即x²+1/x²=t²-2
故f(t)=t²-2, 因此f(x)=x²-2
化简求值：
例5. 计算
分析：通过观察发现，
，
显然，在待定计算的式子中，均以的形式出现，故可用换元法来解
解：设
原式
例6 若x，y，z满足方程组，求的值。

分析：本题中有三个未知数，而仅有两个方程，不可能求出x，y，z的值，因此只能把看成一个整体来替换
解：设
则
得
说明：换元法是数学解题中的重要方法，较复杂的因式分解、计算、化简，方程、方程组等题目摆在面前时，应该考虑到换元法。

例7. 实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5 （①式），设S＝x2＋y2，求＋
的值。

【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。

其它换元法（和差换元）
例8．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，
求cos的值。

【注】均值换元法。

结合三角形角的关系与三角公式进行运算。

例9. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx〃cosx－2a2的最大值和最小值。

【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。

例9. 设对所有实数x，不等式x2log2＋2x log2＋log2>0恒成立，求a的取值范围。

【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。

例10. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。

【注】等量换元，减少变量个数。

例11. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

【注】三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。